Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных

[maxal]

Andrey A в сообщении #1556063 писал(а):

Последний пример: $9^a - 25^b = 9^c - 25^d$ .
$9^c\left ( 9^{a-c}-1 \right )=25^d \left ( 25^{b-d}-1 \right );$ $9^n-1=A \cdot 25^d,\ 25^m-1=A \cdot 9^c.$ Отсюда два Пелля: $\left ( 3^n \right )^2-A \cdot \left ( 5^d \right )^2=1;\ \left ( 5^m \right )^2-A \cdot \left ( 3^c \right )^2=1.$ Смешно, конечно, но mathematician123, вопрос-то знакомый, где же взять для Вас по каждому поводу доказательств? Решения Пелля образуют последовательности подобные Люка, делимость по любому модулю периодична, и каждый член, начиная с некоторого номера имеет "собственный" простой делитель (первое вхождение). Даже квадраты при таких условиях встречаются разве что в ранних номерах, а тут нужно чтобы степени (в том числе и собственных делителей) образовались сразу в числителе и знаменателе подх. дроби. Но это ладно, тут у нас кроме всего прочего еще и не одно решение, а целых два! Расположим их как в последовательности подходящих дробей: $\sqrt{A} \approx \dfrac{3^n}{5^d} \approx \dfrac{5^m}{3^c}...\approx \dfrac{X_i}{Y_i}...$ Игреки Пелля образуют последовательность $0,Y_1,...,Y_{i+1}=2X_1Y_i-Y_{i-1}...$ и оказываются все кратны $Y_1$ из-за нуля в начале. В нашем случае знаменатели взаимно просты $(\gcd (5^d,3^c)=1)$, значит $Y_1=1$.

В общем виде имеем выражение через полиномы Чёбышева: $X_i = T_i(X_1)$ и $Y_i = Y_1\cdot U_{i-1}(X_1)$.
В нашем случае получаем: $3^n = T_s(X_1)$, $5^d = U_{s-1}(X_1)$, $5^m=T_t(X_1)$, $3^c = U_{t-1}(X_1)$ для некоторых $s,t$. Так как $U_i(X_1)$ четно для нечётного $i$, то оба индекса $s,t$ должны быть нечётны. Но тогда $X_1\mid T_s(X_1)=3^n$ и $X_1\mid T_t(X_1)=5^m$, то есть $X_1=1$, что совместно с $Y_1=1$ дает $A=0$. Поэтому с необходимостью имеем $a=c$ и $b=d$.

-- Thu Jun 02, 2022 07:21:22 --

mathematician123 в сообщении #1556072 писал(а):

Все эти уравнения, а также уравнение $8^a - 27^b = 8^c - 27^d$ можно решить без уравнения Пелля.

Рассказывайте, а мы посмотрим, не является ли ваше решений "без Пелля" просто перефомулировкой свойств уравнений Пелля тут возникающих на другой язык.

[Andrey A]

maxal в сообщении #1556162 писал(а):

... перефомулировкой свойств уравнений Пелля

Тут возникает уравнение $X^3-AY^3=1$, причем два решения в положительных числах. Известны ли вообще такие примеры? Не говоря уже о степенях двойки/тройки.

[mathematician123]

Покажу мой метод на уравнении из стартового сообщения. Остальные уравнения решаются аналогично.

Лемма. Пусть $n$ - натуральное число. Если $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ - два решения уравнения $2^x-3^y = n$ в натуральных числах, где $x_2 > x_1$, то $x_2 > \frac{1}{3}|n|$ или $y_2 > \frac{1}{8}|n|$.

Доказательство. Из условия следует, что

$$2^{x_1} - 3^{y_1} = 2^{x_2} - 3^{y_2}$$

$$2^{x_1}(2^{x_2-x_1}-1) = 3^{y_1}(3^{y_2-y_1}-1)$$

Отсюда следует, что $x_2-x_1$ делится на $2 \cdot 3^{y_1-1}$ и $y_2-y_1$ делится на $2^{x_1-2}$. Тогда $x_2 > 2 \cdot 3^{y_1-1}$ и $y_2 > 2^{x_1-2}$. Также из $2^{x_1} - 3^{y_1} = n$ следует, что либо $2^{x_1} \ge \frac{|n|}{2}$, либо $3^{y_1} \ge \frac{|n|}{2}$. Тогда либо $x_2 > \frac{1}{3}|n|$, либо $y_2 > \frac{1}{8}|n|$.

Теперь докажем, что уравнение $4^x - 9^y = n$ имеет не более одного решения при любом натуральном $n$. Предположим, что $(x_1, y_1) $ и $(x_2, y_2) $ - два решения этого уравнения, причём $x_2 > x_1$.

$$(2^{x_2}-3^{y_2})(2^{x_2}+3^{y_2}) = n$$

Отсюда видно, что $2^{x_2} < |n|$ и $3^{y_2} < |n|$. Из леммы следует, что $x_2 > \frac{1}{6}|n|$ или $y_2 > \frac{1}{16}|n|$. Комбинируем полученные неравенства и получаем, что либо $2^{\frac{1}{6}|n|} < |n|$, либо $3^{\frac{1}{16}|n|} < |n|$. Оба эти неравенства невозможны при $|n| > 60$. Остальные значения $n$ проверяются перебором.

[nnosipov]

Довольно оригинально, раньше мне не встречалось. Понятно, что дело в точных степенях (квадратах, кубах и т.д), но, к сожалению, не было времени серьезно над этим подумать. Выписал только показатели $\nu_3(4^x-1)$, $\nu_2(9^y-1)$ и на этом отложил до лучших времен.

[mathematician123]

nnosipov в сообщении #1556293 писал(а):

Понятно, что дело в точных степенях (квадратах, кубах и т.д),

Этим же методом можно попробовать решить уравнение $2^a - 3^b = 2^c - 3^d$, доказав, что при достаточно большом $|n|$ уравнение $2^x - 3^y = n$ имеет не более одного решения. Но есть проблема. Нужно как-то получить оценки сверху на величину $x, y$. Я нашёл такую оценку: $|2^x-3^y| \ge \frac{c \cdot \max(2^x, 3^y)}{(\max(x, y))^C}$ для некоторых эффективно вычислимых констант $c, C$. Из этой оценки следует невозможность двух решений $2^x-3^y = n$ при достаточно больших $|n|$. Но в этой теме не разбираюсь, поэтому не знаю насколько велики $C, c$. Если они не очень большие, то оставшиеся случаи рассматриваются перебором.

[nnosipov]

mathematician123 в сообщении #1556316 писал(а):

для некоторых эффективно вычислимых констант

На всякий случай, вот книга, которая может быть полезной: Shorey, Tijdeman, Exponential diophantine equations, Cambridge University Press, 1986. Давно ее отложил, но руки так и не дошли. Там фраза "effectively computed" довольно часто встречается (потому и вспомнил). Тема, безусловно, интригующая, но, подозреваю, тяжелая. Поэтому любые популярные тексты на этот сюжет были бы интересны.

[RIP]

mathematician123 в сообщении #1556250 писал(а):

Также из $2^{x_1} - 3^{y_1} = n$ следует, что либо $2^{x_1} \ge \frac{|n|}{2}$, либо $3^{y_1} \ge \frac{|n|}{2}$.

Учитывая, что $2^{x_1}>0$ и $3^{y_1}>0$, на самом деле $\max\left\{2^{x_1},3^{y_1}\right\}>\lvert n\rvert$.

[mathematician123]

RIP в сообщении #1556411 писал(а):

Учитывая, что $2^{x_1}>0$ и $3^{y_1}>0$, на самом деле $\max\left\{2^{x_1},3^{y_1}\right\}>\lvert n\rvert$.

Согласен. Получается, что здесь

mathematician123 в сообщении #1556250 писал(а):

Оба эти неравенства невозможны при $|n| > 60$.

Неравенства невозможны при $|n| > 22$. Хотя перебор и так был небольшим.

maxal в сообщении #1556162 писал(а):

В общем виде имеем выражение через полиномы Чёбышева: $X_i = T_i(X_1)$ и $Y_i = Y_1\cdot U_{i-1}(X_1)$.
В нашем случае получаем: $3^n = T_s(X_1)$, $5^d = U_{s-1}(X_1)$, $5^m=T_t(X_1)$, $3^c = U_{t-1}(X_1)$ для некоторых $s,t$. Так как $U_i(X_1)$ четно для нечётного $i$, то оба индекса $s,t$ должны быть нечётны. Но тогда $X_1\mid T_s(X_1)=3^n$ и $X_1\mid T_t(X_1)=5^m$, то есть $X_1=1$, что совместно с $Y_1=1$ дает $A=0$. Поэтому с необходимостью имеем $a=c$ и $b=d$.

Похоже, что это доказательство будет работать, если 3 и 5 заменить на любые другие нечётные взаимнопростые числа. То есть, все решения уравнения $r^{2a}-s^{2b} = r^{2c} - s^{2d}$ - это $a = c, b = d$, если $r$, $s$ нечётные взаимнопростые.

[maxal]

mathematician123 в сообщении #1556316 писал(а):

Нужно как-то получить оценки сверху на величину $x, y$. Я нашёл такую оценку: $|2^x-3^y| \ge \frac{c \cdot \max(2^x, 3^y)}{(\max(x, y))^C}$ для некоторых эффективно вычислимых констант $c, C$.

Конкретно для $|2^x-3^y|$ есть такой результат:

Mike Bennett in https://mathoverflow.net/q/69794 писал(а):

standard lower bounds for linear forms in $2$ logarithms show that

$$ \left| 2^k - 3^n \right| \geq \min \left\{ 2^k, 3^n \right\}^{0.9}, $$

say, with precisely $23$ exceptions (this is a result from de Weger's thesis; the largest exception is with $(k,n)=(84,53)$).