Экспоненциальное диофантово уравнение 4 переменных

[mathematician123]

Натуральные числа $a, b, c, d$ таковы, что $4^a - 9^b = 4^c - 9^d$. Докажите, что $a = c$ и $b = d$.

[Pphantom]

(Оффтоп)

А она точно олимпиадная? А то даже при моей полной безграмотности и заодно сильной нелюбви к этому разделу математики решение кажется совершенно очевидным.

[mathematician123]

Pphantom
Можете привести Ваше решение? Я простого решения не вижу.

Возможно возникло недопонимание из-за формулировки. Вот альтернативная формулировка: при любом натуральном $n$ уравнение $4^x-9^y = n$ имеет не более одного решения в натуральных числах.

[Pphantom]

mathematician123 в сообщении #1555941 писал(а):

Я простого решения не вижу.

Я, как оказалось, тоже, в быстро придуманном есть ошибка.

(Оффтоп)

Имелось в виду следующее:

mathematician123 в сообщении #1555921 писал(а):

$4^a - 9^b = 4^c - 9^d$

отсюда $4^a - 4^c = 9^b - 9^d$. Тогда $4^c \cdot (4^{a-c}-1) = 9^d \cdot (9^{b-d} - 1)$ и для существования нетривиального решения надо, чтобы скобки были степенями 9 и 4 соответственно.

Дальше можно разными путями. Первое, что мне пришло в голову - цифровой корень степеней четверки бывает равен 1, 4 или 7, а у степеней девятки он всегда 9, поэтому при вычитании единицы из степени 9 всегда будет получаться 8 и степенью четверки это число быть не может. Остается тривиальный вариант - скобки равны нулю, откуда и следует желаемое утверждение.

Ну и прокол в том, что у скобок могут быть другие общие делители, что не позволяет так легко обойти проблему.

[Andrey A]

Pphantom в сообщении #1555946 писал(а):

... для существования нетривиального решения надо, чтобы скобки были степенями 9 и 4 соответственно.

Да всё верно: $9^n-4^m=\pm 1.$ В левой части разность квадратов (этого не может быть, значит скобки равны нулю).

[Dendr]

Andrey A в сообщении #1555947 писал(а):

Да всё верно: $9^n-4^m=\pm 1.$

А разве запрещено

$$4^n-1=9^dA, 9^m-1=4^cA$$

?

По какому модулю это проверять, впрочем - непонятно. Ясно, что $A$ не может быть квадратом, но дальше сложнее.

[maxal]

Dendr в сообщении #1555963 писал(а):

Andrey A в сообщении #1555947 писал(а):

Да всё верно: $9^n-4^m=\pm 1.$

А разве запрещено

$$4^n-1=9^dA, 9^m-1=4^cA$$

?

Это равносильно уравнению:

$$(4^n-1)(9^m-1)=x^2$$

которое является частным случаем http://dxdy.ru/topic6414.html

[Andrey A]

Dendr в сообщении #1555963 писал(а):

... но дальше сложнее.

Да, Вы правы.

maxal в сообщении #1555975 писал(а):

Это равносильно уравнению:

$$(4^n-1)(9^m-1)=x^2$$

Тут еще и с четными степенями.

[maxal]

Andrey A в сообщении #1555985 писал(а):

Тут еще и с четными степенями.

Ну да, я же сказал, что это частный случай.

[nnosipov]

Возможно, в этом частном случае есть решение попроще (во всяком случае, без уравнений Пелля).

[mathematician123]

В таком случае, предлагаю решить немного другое уравнение $4^a-25^b = 4^c - 25^d$. Мой метод работает и в этом случае, и он никак не связан с решением уравнения $(x^n-1)(y^m-1)=z^2 $

[maxal]

mathematician123 в сообщении #1555996 писал(а):

В таком случае, предлагаю решить немного другое уравнение $4^a-25^b = 4^c - 25^d$. Мой метод работает и в этом случае, и он никак не связан с решением уравнения $(x^n-1)(y^m-1)=z^2 $

Ваш метод может и не связан, но метод Волша прекрасно работает и для этого случая и переносится на уравнение $(2^{2n}-1)(5^{2m}-1)=z^2$ почти дословно. Отсутствие решений выводится из того, что $2T_l^2-1$ не может делиться на 5 (как и на 3 в исходном уравнении, рассмотренным Волшем).

[mathematician123]

Хорошо, тогда предлагаю решить уравнения $4^a-49^b = 4^c - 49^d$ и $9^a - 25^b = 9^c - 25^d$ .

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1555990 писал(а):

... в этом частном случае есть решение попроще (во всяком случае, без уравнений Пелля).

Без него никак ) Последний пример: $9^a - 25^b = 9^c - 25^d$ .
$9^c\left ( 9^{a-c}-1 \right )=25^d \left ( 25^{b-d}-1 \right );$ $9^n-1=A \cdot 25^d,\ 25^m-1=A \cdot 9^c.$ Отсюда два Пелля: $\left ( 3^n \right )^2-A \cdot \left ( 5^d \right )^2=1;\ \left ( 5^m \right )^2-A \cdot \left ( 3^c \right )^2=1.$ Смешно, конечно, но mathematician123, вопрос-то знакомый, где же взять для Вас по каждому поводу доказательств? Решения Пелля образуют последовательности подобные Люка, делимость по любому модулю периодична, и каждый член, начиная с некоторого номера имеет "собственный" простой делитель (первое вхождение). Даже квадраты при таких условиях встречаются разве что в ранних номерах, а тут нужно чтобы степени (в том числе и собственных делителей) образовались сразу в числителе и знаменателе подх. дроби. Но это ладно, тут у нас кроме всего прочего еще и не одно решение, а целых два! Расположим их как в последовательности подходящих дробей: $\sqrt{A} \approx \dfrac{3^n}{5^d} \approx \dfrac{5^m}{3^c}...\approx \dfrac{X_i}{Y_i}...$ Игреки Пелля образуют последовательность $0,Y_1,...,Y_{i+1}=2X_1Y_i-Y_{i-1}...$ и оказываются все кратны $Y_1$ из-за нуля в начале. В нашем случае знаменатели взаимно просты $(\gcd (5^d,3^c)=1)$, значит $Y_1=1$. Это может быть только если $A$ — квадрат без единицы. Сделаем подстановку $A=v^2-1.$ Не понимаю пока что это дает, просто повод для размышления. Короткий период может быть выписан в общем виде: $\sqrt{v^2-1} \approx \dfrac{v}{1},\dfrac{2v^2-1}{2v},...,\dfrac{X_{i+1}=2vX_i-X_{i-1}}{Y_{i+1}=2vY_i-Y_{i-1}}.$ Ага. При таком раскладе последовательность $Y_i$ образует уже строго последовательность Люка ${U_i(2v,1)}=\dfrac{\left ( v+\sqrt{v^2-1} \right )^i-\left ( v-\sqrt{v^2-1} \right )^i}{2\sqrt{v^2-1}}. $ Тут из $p\ \vdots\ q$ следует $Y_p\ \vdots\ Y_q$, поэтому степень простого может быть только под простым номером. Наименьший член кратный заданному модулю может быть найден алгоритмом https://dxdy.ru/post1335809.html#p1335809, как для Фибоначчи: $F_4=3 \cdot 1,F_{12}=3^2 \cdot 16,F_{36}=3^3 \cdot 552976,F_{108}=3^4 \cdot 205444787044698316816$ и т.д., но степень $>2$ кроме $F_6=8$ не встречал. Что из этого следует — может, Вам быстрее в голову придет. Отвечать на посты, кстати, было бы вежливо с Вашей стороны.

[mathematician123]

Andrey A в сообщении #1556063 писал(а):

nnosipov в сообщении #1555990 писал(а):

... в этом частном случае есть решение попроще (во всяком случае, без уравнений Пелля).

Без него никак )

Все эти уравнения, а также уравнение $8^a - 27^b = 8^c - 27^d$ можно решить без уравнения Пелля.