Почему физ. явления описываются элементарными функциями?

[Mihaylo]

Честно говоря, не припомню физические законы, которые бы математически описывались как-то сложно, нетривиально.
Ну, например, в качестве исключения: сила трения скольжения равна 0, если относительная скорость равна нулю, и равна $\mu N$ при скорости отличной от нуля. Но это физическое явление - трение - не является элементарным, поэтому и матмодель сложная.
В итоге, мы сталкиваемся с физическими уравнениями, которые, очень грубо говоря, в 80% состоят из сложения/вычитания, умножения/деления. В остальных случаях - логарифмы, экспоненты, тригонометрические функции и некоторые другие.

Мы как будто замкнуты в мире элементарных функций. Вопрос: почему так происходит?

[waxtep]

В математической физике, квантовой механике, волновой оптике и др., куда ни кинь - попадешь в спецфункцию Есть некоторое количество учебников с названиями вида "специальные функции математической физики", можно там глянуть, откуда они берутся на нашу голову

[ozheredov]

waxtep
Спецфункция, в которую попадёшь, является решением достаточно простого дифура, записываемого именно что при помощи

Mihaylo в сообщении #1554027 писал(а):

сложения/вычитания, умножения/деления (оператор дифференцирования тоже будем считать "одноклеточным").

Т.С. ведь спрашивал про

Mihaylo в сообщении #1554027 писал(а):

физические законы

, а не про следующее из них поведение системы (к примеру, в игре Конвея крайне простые "физические законы", рождающие очень сложное поведение системы - это норма).

Пока присоединяюсь к вопросу ТС, позже напишу свои соображения ))

[sergey zhukov]

Mihaylo
Наверное, этим набором элементарных операций все удается приблизить достаточно хорошо.

Математика - это язык. Вот мы не часто в жизни испытываем потребность придумать новое слово или даже языковое правило, хотя наверняка это часто было бы полезно. Нам кажется, что нашего языка для описания всего вполне достаточно. Если чувствуем нехватку слова, то просто употребляем в этом месте больше известных нам слов (своеобразное "разложение в ряд").

[Pphantom]

Для начала можно задуматься над таким вопросом: по каким критериям функции относятся (или не относятся) к элементарным?

[worm2]

А что там, например, с решением уравнения Навье-Стокса?
Ну хорошо, не Навье-Стокса, это всё-таки дифур в частных производных, там почти никогда не получается элементарных или известных спецфункций.
А что, например, с задачей трёх тел, где обыкновенные дифуры?

[ozheredov]

Pphantom в сообщении #1554056 писал(а):

по каким критериям функции относятся (или не относятся) к элементарным?

Небольшая оговорка вначале: оператор тоже считаем функцией одной(унарный) или двух(бинарный) переменных. Теперь припишем каждой функции вес, равный нормированному числу людей, уверенно умеющих применять данную функцию по назначению. Чем меньше функцию мы больше, тем больше меньше мы её. Чем больше вес, тем примитивнее функция. Понятно, что $\pm\cdot/$ лидируют с гигантским отрывом. Производную как скорость протекания процесса среднему человеку тоже понять не сложно.

worm2 в сообщении #1554059 писал(а):

дифур в частных производных

worm2, ТС говорит о "правилах игры", а не об описании динамики позиций в игре. Само-то УРЧП Навье-Стокса в плане используемых операторов наверняка достаточно примитивно. Шахматы имеют достаточно примитивные правила. А чтобы ущучить динамику, потребовались разные там StockFish и LilaChess.

[Mihaylo]

waxtep в сообщении #1554032 писал(а):

"специальные функции математической физики"

Спасибо, я погрузился в альтернативный мир. Прочитал статью Стивена Вольфрама:
https://habr.com/ru/company/wolfram/blog/258189/

sergey zhukov в сообщении #1554055 писал(а):

Математика - это язык. Вот мы не часто в жизни испытываем потребность придумать новое слово или даже языковое правило, хотя наверняка это часто было бы полезно. Нам кажется, что нашего языка для описания всего вполне достаточно. Если чувствуем нехватку слова, то просто употребляем в этом месте больше известных нам слов (своеобразное "разложение в ряд").

Что так или что не так с этим языком и с физикой нашего мира? Почему все устроено именно так: достаточно выучить десяток-другой функций и вся базовая физика укладывается в этот язык. А есть исключения?

-- 08.05.2022, 11:15 --

worm2 в сообщении #1554059 писал(а):

А что там, например, с решением уравнения Навье-Стокса?
Ну хорошо, не Навье-Стокса, это всё-таки дифур в частных производных, там почти никогда не получается элементарных или известных спецфункций.
А что, например, с задачей трёх тел, где обыкновенные дифуры?

Наличие или отсутствие аналитического решения уравнений - это (наверное) про другую проблематику.
Я бы уточнил свой вопрос так: почему все (известные мне) элементарные физические законы выражаются элементарными функциями?

[Anton_Peplov]

Элементарные функции - это функции, получаемые из простейших элементарных с помощью композиции и арифметических операций.
Простейшие элементарные - это тригонометрические, полином, показательная и логарифм. Этот зоопарк выглядит собранным по принципу "какие функции нужны на практике чаще всего". Что, думаю, и имел в виду Pphantom. Хотя есть и альтернативные мнения:

Mikhail_K в сообщении #998338 писал(а):

Я только уберу из простейших элементарных функций тригонометрические: средствами ТФКП они выражаются через показательную.
Остаются следующие: линейная, показательная, логарифмическая, степенная.
И вот какие красивые определения у них.

Линейная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Показательная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.
Логарифмическая функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)+f(y)$.
Степенная функция - это непрерывная функция на $\mathbb{R}$, удовлетворяющая $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$.

Можно показать, что это именно определения, они однозначно определяют эти функции с точностью до какого-то коэффициента.

Другими словами, элементарные функции создала не просто слепая история. Как только мы определили сложение и умножение, класс элементарных функций возникнет с необходимостью.

[sergey zhukov]

Mihaylo
Очень может быть, что мы открываем в первую очередь такие закономерности, которые описываются на известном нам языке. Как бы ищем под фонарем. Язык предопределяет возможности наблюдения.

Скажем, в начале поиска экзопланет было найдено непропорционально много массивных планет, обращающихся довольно близко к своей звезде. Так получалось не потому, что это типичные планетные системы в зоне нашего наблюдения, а потому, что наша методика поиска отыскивала в первую очередь именно их.

Задают и более общий вопрос: почему вообще именно математика так хорошо ко всему подходит? Она же как будто "не от мира сего", так с чего бы ей с ним так часто совпадать? Даже на этот вопрос нет однозначного ответа. Пожалуй, как говорил Галилей, "книга Природы написана языком математики", а мы просто учим этот язык. Фундаментальные законы мира довольно естественно должны тогда соответствовать основам этого языка.

В общем, тема довольно неопределенная. Скажем, не хватает примера закона, даже гипотетического, выраженного "не элементарно". Пример с трением я, если честно, не очень понял. Что именно в нем сложного? Нелинейность? Наличие порога? Скажем, существуют не ньютоновские жидкости, у которых есть подобный порог для деформации сдвига. Будет ли дифференциальное уравнение динамики такой жидкости, на ваш взгляд, законом физики, выраженным "не элементарно"?

[upgrade]

Mihaylo в сообщении #1554027 писал(а):

Честно говоря, не припомню физические законы, которые бы математически описывались как-то сложно, нетривиально.

Так релятивистские законы. Да и та же гравитация или заряды (ускорение растет при уменьшении расстояния).

[Mihaylo]

sergey zhukov в сообщении #1554126 писал(а):

В общем, тема довольно неопределенная.

В моем представлении есть понятие "элементарный физический закон" - это не любое физическое уравнение, а лишь те, у которых, в первую очередь, соблюдается причинно-следственное отношение. Например, $I = \frac U R$ - это правильный физический закон, а $U = IR$ - это математически обращенный физический закон. То есть нерешимые проблемы обратных задач физики (кинематики, термодинамики и др.) не являются признаком того, что спецфункции или неизвестные ученым иные альтер-функции сигнализируют о кризисе элементарных функций.
Другой признак элементарности физического явления - возможность разбиения явления на атомарные. Трение не относится к атомарным физическим явлениям, а вот гравитация - да.

[upgrade]

Mihaylo в сообщении #1554147 писал(а):

I = U/R

Это для сверхпроводимости тоже также?

[GraNiNi]

Mihaylo в сообщении #1554147 писал(а):

Другой признак элементарности физического явления - возможность разбиения явления на атомарные.

Вы сами и ответили.

Любой самый сложный процесс можно разбить на отдельные - более простые, для математического описания которых уже достаточно элементарных функций.
Более того, если что-то сложное не будет поддаваться "элементарному" описанию, то это означает, что мы еще не проникли в суть явления и не смогли вычленить из него более низкие уровни сложности.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.