Пентадекатлон мечты

[Dmitriy40]

VAL в сообщении #1556333 писал(а):

А как обстоят дела со 164-я, 172-я и 188-ю делителями?

164 считается, 5-ка и 6-ка найдены (за десяток минут и пару часов), а вот 7-ки так и нет (как и второй 6-ки кстати), уже больше суток. Похоже всё же идея с простыми в первой степени плоха. Для 172-х делителей от неё откажусь. А 164 пусть уж досчитывается как может, даже интересно когда же найдётся 7-ка.

[Yadryara]

Новый рекорд:

$ T(6,14) \leqslant 1608866392835868597645176729504328346 \hspace{.8cm} \text{2022-06-05}$

Проверено:

$\text{ КМК}37-11 \hspace{.8cm} < 100000e33$
$11-23 \hspace{1.69cm} < \hspace{.36cm} 4900e33$
$11-35 \hspace{1.69cm} < \hspace{.36cm} 2600e33$
$11-61 \hspace{1.69cm} < \hspace{.36cm} 2253e33(26 \text{групп}) \text{ и } < 1610e33(38\text{ групп})$

[EUgeneUS]

Yadryara в сообщении #1556429 писал(а):

Новый рекорд:

Поздравляю!

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1556321 писал(а):

Сделал ускорители для M84n11, в том же облаке
папка M84n11 с архивом x32 SSE

Запустил счет (два по четыре потока).
Довольно быстро нашлись два кандидата в девятку. Но факторизация недостающих чисел затянулась - уже несколько часов длится

Dmitriy40 в сообщении #1556321 писал(а):

Один круг 1e105 под gp64 занимает минут 20, под gp32 минут 40. Делить работу удобно по 100e105.

У меня под gp64 занимает около 45 минут на одном компе и около часа - на другом.

[Huz]

Hi all, I'm Hugo van der Sanden. Anton tells me that it is ok to post here in English, so I thought I should. I regret I do not speak Russian, so I rely on Google to translate it for me. Some days it does a good job, other days not so good.

As some of you know, I have been working on extending https://oeis.org/A292580 ("Table read by rows: T(n,k) is the start of the first run of exactly k consecutive integers having exactly 2n divisors") as well as related sequences such as A072507, A119479, A006558 and A075036.

I am currently maintaining an A-file for A292580 showing both confirmed values and best known upper bounds up to T(50,7), updating it monthly on OEIS. The choice to limit it to 100 factors and to monthly updates is a compromise - the OEIS usually concerns itself with stable information (sequences with known values) rather than with transient information: they have limited disk space, and limited editorial capacity to check and accept updates. So while I am impressed and excited by the achievements of the members of this forum, the OEIS and the entry for A292580 in particular do not have an obvious place to record and celebrate more than a fraction of these results.

I am mainly a programmer rather than a mathematician, and I have written various programs (in a mixture of C and Perl, with libgmp for large integer support) to help find these results, mostly available at https://github.com/hvds/seq/tree/master/divrep. If anyone is interested in using those programs or contributing to them, I would welcome contact.

Of particular interest may be the factorization algorithm used by the Math::Prime::Util::GMP module, and an update I recently proposed (https://github.com/danaj/Math-Prime-Util-GMP/pull/30) to have it return individual factors, allowing it to answer the question "is $\tau(n) = k$" in many cases without needing to fully factorize $n$. (A few years ago this factorization algorithm claimed to be quite a bit faster than PARI-GP, but I do not know if that is still true.)

My latest estimate for proving the next unconfirmed value of A292580, T(6,10), was 488 CPU-days, but I think I've improved things by 20-30% since then. My ambition is to confirm up to T(6,15), but that seems far out of reach for now.

Best regards, Hugo.

[Yadryara]

Привет, Hugo. Уверен, все рады Вас здесь видеть.

Я буду говорить короткими предложениями. Так Вам будет проще перевести.

Конечно мы в курсе, что Вы делаете а-файл для A292580. Полистайте тему, мы очень много об этом говорили.

Да, я тоже по-прежнему занимаюсь 12-ю делителями. Нам надо договориться, чтобы не считать одно и то же. Я ищу T(6,15) и T(6,14). Правда, у меня очень медленный компьютер.

Антон.

[Huz]

Yadryara в сообщении #1556521 писал(а):

Нам надо договориться, чтобы не считать одно и то же.

I'm not sure how valid that is when we are using different techniques, but ok.

I usually have 6 processes running. I am currently working on full minimization for T(44,7), T(10,7), T(14,7) and T(50,4), on capped minimization ($p<50$) for T(24,12), and more randomly for any example of T(24,15).

"Full minimization" means I generate all possible candidates up to the known upper bound, to prove the minimal value. I do this by fixing prime powers in each element to satisfy the odd divisors of $\tau(n)$, then factorize what has not been fixed to verify whether a solution has been found.

"Capped minimization" means I only generate candidates in which the fixed primes go up to some limit. I do this with the intent of reducing the upper bound, so that a future full minimization can complete faster.

My T(24,15) search is currently doing a capped search ($p \le 37$) with $v_0 < 10^{34}$ and fixing powers of 2..13 such that $v_0 \equiv 4486369145 \pmod{7214407200}$. A similar approach for T(24,14) found 9721439902882994590514319997146 after about 4 days, so we'll see what happens with this one.

Since the last update I also found improved bounds for T(9,5), T(14,7), T(15,4), T(21,4), T(22,7), T(26,7), T(33,4), T(34,7), T(36,7), T(39,4), T(50,5). Nothing newly proved minimal - I had believed that T(44,7) and T(10,7) were complete, but I found that I was relying on a buggy implementation of sqrtmod(), and have to redo about 3 weeks of calculations.

[VAL]

Huz в сообщении #1556505 писал(а):

Hi all, I'm Hugo van der Sanden

Hi Hugo!
I'm glad to to welcome you to our team.

-- 05 июн 2022, 22:18 --

Yadryara в сообщении #1556429 писал(а):

Новый рекорд:

$ T(6,14) \leqslant 1608866392835868597645176729504328346 \hspace{.8cm} \text{2022-06-05}$

[Yadryara]

Huz, Вы Большой Молодец! Проделали столь гигантский объём работы, что даже сложно комментировать.

Поэтому пока фрагментарно.

Huz в сообщении #1556505 писал(а):

My latest estimate for proving the next unconfirmed value of A292580, T(6,10), was 488 CPU-days, but I think I've improved things by 20-30% since then. My ambition is to confirm up to T(6,15), but that seems far out of reach for now.

Эта тема как раз и посвящена нахождению T(6,15). Просто найдя три таких числа, все кроме меня поиск прекратили. И начали обсуждать, искать и успешно находить другие цепочки чисел.

По поводу минимизации T(6,15) были высказаны такие мнения:

VAL в сообщении #1552507 писал(а):

Минимизация пятнашки по 12 делителей представляется мне абсолютно тупиковой задачей.

Dmitriy40 в сообщении #1553425 писал(а):

Мне прямо скажем эта мания увлечённость по шагам уменьшения порога не слишком понятна. Если бы речь про минимальную, то другое дело, но тут ведь даже идей нет как это доказать (точнее идеи-то есть, но их считать годами).

EUgeneUS в сообщении #1555396 писал(а):

Этим заниматься неинтересно.

Моё мнение отличается от всех вышеприведённых. Но я пока не тороплюсь его формулировать.

[mathematician123]

mathematician123 в сообщении #1556155 писал(а):

Удалось доказать $M(d) \le 3$, когда $d \equiv \pm 2 \pmod{12}$ и $gcd(p_i - 1) = 2k \equiv 2 \pmod{4}$. Этот случай можно свести к уравнению $\frac{x^k \pm 1}{x \pm 1} = y^2$, которое является частным случаем Nagell-Ljunggren equation, отсутствие нетривиальных решений которого доказано.

Обнаружил ошибку в доказательстве. Кроме уравнения $\frac{x^k \pm 1}{x \pm 1} = y^2$ нужно ещё рассмотреть уравнение $\frac{x^k \pm 1}{x \pm 1} = ky^2$. Так что в случае $gcd(p_i - 1) = 2k \equiv 2 \pmod{4}, k > 2$ доказана лишь конечность пар $n_0$ и $n_2$.

[EUgeneUS]

mathematician123 в сообщении #1556560 писал(а):

Так что в случае $gcd(p_i - 1) = 2k \equiv 2 \pmod{4}, k > 2$

А здесь всё таки $k>2$ или $ k \ge 2$?

-- 06.06.2022, 13:44 --

Huz
Hi, Hugo! I'm very glad to see you here.
This topic is the sequence of challenges from VAL

(f.e.)

Some time ago I paid attention to

# L(35) in range 3..4

in the your a-file.
But Vladimir said: "I'm sure, that $M(70) \le 3$".
Well, we proved, that $M(70) \le 3$.
Then Vladimir said: "I think, that $M(2pq) \le 3$
Well, we proved, that that $M(2pq) \le 3$ (In this topic)
Is it end? No!
Vladimir said: "It seems, that $M(k) \le 3$, if $ k \eqiv \pm 2 \pmod{12}$
mathematician123 proved that, but using abc conjecture, also he proved some partly cases without abc conjecture.

So it goes

[mathematician123]

EUgeneUS в сообщении #1556580 писал(а):

mathematician123 в сообщении #1556560 писал(а):

Так что в случае $gcd(p_i - 1) = 2k \equiv 2 \pmod{4}, k > 2$

А здесь всё таки $k>2$ или $ k \ge 2$?

Здесь предполагается, что $k$ нечётное, так что это неважно. В случае чётного $k$ доказано $M(d) \le 3$.

[EUgeneUS]

mathematician123
OK, ясно, спасибо!

[mathematician123]

EUgeneUS в сообщении #1556580 писал(а):

(f.e.)

Vladimir said: "It seems, that $M(k) \le 3$, if $ k \eqiv \pm 2 \pmod{12}$
mathematician123 proved that, but using abc conjecture, also he proved some partly cases without abc conjecture.

So it goes

(Оффтоп)

More precisely, I'm proved that $M(k) = 4$ holds only for finite number of values of $k \equiv \pm 2 \pmod{12}$

[EUgeneUS]

Нашлась 9-ка на 84 делителя (M84n9, или верхняя граница для

T(42,9)

в нотации а-файла)

(длинное число)

L2-233:113484085920210537237546260552209007679489635754139167392387167595954454671427275004047180494228121107562491:  0,  1, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84, 84,  0,  valids=8, maxlen=8/9, ALL

Позиция $n+10$ была проверена отдельно, там 84 делителя. Но прошу перепроверить.

Соответственно, 9-ка начинается с числа

113484085920210537237546260552209007679489635754139167392387167595954454671427275004047180494228121107562493

Это не первый кандидат в 9-ки, и не самый меньший. Но первый для которого удалось разложить "нули".
Нашлась ещё одна "чистая" восьмерка и куча кандидатов в восьмерки.
Но кандидатов в 10-ки или 11-ки пока нет...