2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение29.01.2022, 17:23 


20/04/15
19
Добрый день. Где можно посмотреть "от и до" алгоритм для определения существования в целых числах уравнения
$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0$
?
Все решения не нужны. Достаточно только определить, существует или нет.

Читал Гельфонда А.О., но там просто посоветовали привести к виду $x^{2}-Ay^{2}=C$, однако полного алгоритма приведено не было.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение29.01.2022, 18:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):
однако полного алгоритма приведено не было
Можно попробовать написать его самостоятельно. См. также Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир, 1980. (стр. 402).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение29.01.2022, 19:44 


23/02/12
3105
Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):
$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0$
С помощью параллельного переноса (посмотрите учебник по линейной алгебре и аналитической геометрии) данное общее уравнение кривой второго порядка приводится к виду, когда $D=0,E=0$, а далее посмотрите Бухштаб "Теория чисел", Москва , 1966 стр.278.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение29.01.2022, 22:17 


20/04/10
1776
Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):
посоветовали привести к виду $x^{2}-Ay^{2}=C$, однако полного алгоритма приведено не было
Попробуйте на частном случае: $5x^2+15xy-7y^2+16x+y-11=0$. Начните с приведения квадратичной формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение02.02.2022, 20:08 


16/08/05
1146
$$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0 \implies $$
$$\Big(y (4 A B-C^2)+2 A E-C D\Big)^2 +(4 A B-C^2) \Big(2 A x+C y+D\Big)^2 = 4 A \Big(B D^2- C D E+A E^2 - (4 A B-C^2)F\Big)$$

В зависимости от знака и квадратности $(4 A B-C^2)$ алгоритм ветвится на три ветви: либо уравнение Пелля решаем, либо квадратный Туе, либо разность квадратов (если $(4 A B-C^2)$ отрицательный полный квадрат).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group