2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение29.01.2022, 17:23 
Добрый день. Где можно посмотреть "от и до" алгоритм для определения существования в целых числах уравнения
$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0$
?
Все решения не нужны. Достаточно только определить, существует или нет.

Читал Гельфонда А.О., но там просто посоветовали привести к виду $x^{2}-Ay^{2}=C$, однако полного алгоритма приведено не было.

Спасибо.

 
 
 
 Re: Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение29.01.2022, 18:36 
Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):
однако полного алгоритма приведено не было
Можно попробовать написать его самостоятельно. См. также Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир, 1980. (стр. 402).

 
 
 
 Re: Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение29.01.2022, 19:44 
Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):
$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0$
С помощью параллельного переноса (посмотрите учебник по линейной алгебре и аналитической геометрии) данное общее уравнение кривой второго порядка приводится к виду, когда $D=0,E=0$, а далее посмотрите Бухштаб "Теория чисел", Москва , 1966 стр.278.

 
 
 
 Re: Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение29.01.2022, 22:17 
Zeddikus в сообщении #1547385 писал(а):
посоветовали привести к виду $x^{2}-Ay^{2}=C$, однако полного алгоритма приведено не было
Попробуйте на частном случае: $5x^2+15xy-7y^2+16x+y-11=0$. Начните с приведения квадратичной формы.

 
 
 
 Re: Разрешение диофантового уравнения 2 степени от 2 переменных
Сообщение02.02.2022, 20:08 
$$Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0 \implies $$
$$\Big(y (4 A B-C^2)+2 A E-C D\Big)^2 +(4 A B-C^2) \Big(2 A x+C y+D\Big)^2 = 4 A \Big(B D^2- C D E+A E^2 - (4 A B-C^2)F\Big)$$

В зависимости от знака и квадратности $(4 A B-C^2)$ алгоритм ветвится на три ветви: либо уравнение Пелля решаем, либо квадратный Туе, либо разность квадратов (если $(4 A B-C^2)$ отрицательный полный квадрат).

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group