2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение12.12.2021, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1542553 писал(а):
В статье же рассматривается урезанная функция Мебиуса
Да какая разница. В конечном счете, закон повторного логарифма должен выполняться или не выполняться одновременно для исходной и урезанной.

Пусть $n$ - нечетное число, свободное от квадратов, тогда $2n$ тоже свободно от квадратов, и $\mu(n)\mu(2n)=-1$.

-- Вс дек 12, 2021 11:36:40 --

vicvolf в сообщении #1542553 писал(а):
Попробую пояснить почему блоки брались равной длины.
Нет, не поэтому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение12.12.2021, 15:32 


23/02/12
3160
alisa-lebovski в сообщении #1542560 писал(а):
Пусть $n$ - нечетное число, свободное от квадратов, тогда $2n$ тоже свободно от квадратов, и $\mu(n)\mu(2n)=-1$.
Аналогично и для четного. Разве автор это не проверял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение12.12.2021, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1542590 писал(а):
Аналогично и для четного. Разве автор это не проверял?
Если $n$ - четное, свободное от квадратов, то $2n$ не свободно от квадратов (делится на $4$). Нет, автор этого не проверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение12.12.2021, 22:00 


23/02/12
3160
alisa-lebovski в сообщении #1542608 писал(а):
Если $n$ - четное, свободное от квадратов, то $2n$ не свободно от квадратов (делится на $4$).
Согласен.
Цитата:
Нет, автор этого не проверял.
Автор делает типовые тесты на случайность, которые есть у Кнута и.т.д. Конечно они не рассчитаны на проверку именно функции Мебиуса. Автор так и пишет, что давайте забудем о происхождении данной последовательности. Вот, если бы Вы не знали, что эта функция Мебиуса, то такой бы тест не делали. А сделали бы типовые тесты и они подтвердили случайность этой последовательности с требуемой вероятностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение12.12.2021, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1542663 писал(а):
Автор делает типовые тесты на случайность, которые есть у Кнута и.т.д.
Тут бы и задуматься - а для чего на самом деле предназначены типовые тесты, у Кнута и др., какова их, так сказать, целевая аудитория?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение13.12.2021, 00:05 


23/02/12
3160
alisa-lebovski в сообщении #1542670 писал(а):
Тут бы и задуматься - а для чего на самом деле предназначены типовые тесты, у Кнута и др., какова их, так сказать, целевая аудитория?
Тесты подтвердили случайность данной последовательности с вероятностью 0,95. Значит с вероятностью 0,05 данная последовательность не является случайной и возможны корреляции. Естественно для доказательства случайности тесты не подходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение13.12.2021, 01:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4374
vicvolf в сообщении #1542663 писал(а):
давайте забудем о происхождении данной последовательности

Ну давайте - значит имеем посредственный ГПСЧ. А какое тогда это всё имеет отношение к исходному вопросу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение13.12.2021, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1542675 писал(а):
Тесты подтвердили случайность данной последовательности с вероятностью 0,95. Значит с вероятностью 0,05 данная последовательность не является случайной и возможны корреляции. Естественно для доказательства случайности тесты не подходят.
Да хоть 0,999. Тут все все гораздо сложнее. Во-первых, обсуждаемые статистические тесты изначально разработаны в статистике для анализа последовательностей случайных величин, и проверяют две вещи: что эти случайные величины принимают значения 0 и 1 равновероятно, и что эти величины независимы. Все это вкратце здесь и называют "случайной" последовательностью. Подсовывать им псевдослучайные числа, явление другой природы, это уже значит их обманывать. Все равно что сдавать на анализ мочи яблочный сок (такое было в одной серии "Доктора Хауса"). Во-вторых, статистические тесты все-таки применяются к ГПСЧ, но не как надежная защита от не-случайности, а как сито, которое должны проходить "хорошие" генераторы (именно в этой роли тесты фигурируют у Кнута). В этом контексте эти тесты заведомо не годны как что-то проверяющее случайность, а только как что-то оценивающее качественную иллюзию случайности. В-третьих, вообще непонятно, что такое вероятность применительно к гипотезе Римана, что может значить, что она верна с вероятностью 0,95 или 0,99. Тут нет вероятностного пространства, нет статистики. Или это понимать как меру нашей уверенности в гипотезе? Но такие вещи в теории чисел не применимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение13.12.2021, 18:34 


23/02/12
3160
alisa-lebovski в сообщении #1542709 писал(а):
Тут все все гораздо сложнее. Во-первых, обсуждаемые статистические тесты изначально разработаны в статистике для анализа последовательностей случайных величин, и проверяют две вещи: что эти случайные величины принимают значения 0 и 1 равновероятно, и что эти величины независимы. Все это вкратце здесь и называют "случайной" последовательностью. Подсовывать им псевдослучайные числа, явление другой природы, это уже значит их обманывать.
Что значит обманывать? Никто не знает в последовательности случайные числа или нет. Для этого их и проверяют.
alisa-lebovski в сообщении #1542709 писал(а):
Во-вторых, статистические тесты все-таки применяются к ГПСЧ, но не как надежная защита от не-случайности, а как сито, которое должны проходить "хорошие" генераторы (именно в этой роли тесты фигурируют у Кнута). В этом контексте эти тесты заведомо не годны как что-то проверяющее случайность, а только как что-то оценивающее качественную иллюзию случайности.
С другой стороны, это псевдослучайные числа и тогда почему их не проверять, как ГПСЧ?
Цитата:
В-третьих, вообще непонятно, что такое вероятность применительно к гипотезе Римана, что может значить, что она верна с вероятностью 0,95 или 0,99.
Вот здесь я полностью согласен не может быть ГР справедлива с определенной вероятностью. Но с другой стороны эквивалентная формулировка ГР об асимптотике может быть справедлива с вероятностью, отличной от 1.
Вообщем, я с Вами согласен - эти статистические тесты в работе ничего не дают, так как не являются доказательством.

-- 13.12.2021, 18:38 --

Geen в сообщении #1542678 писал(а):
А какое тогда это всё имеет отношение к исходному вопросу?
Автор пишет - мы не претендуем на строгое доказательство представленных здесь результатов. Более того, хотели бы выразить надежду, что эта работа будет стимулировать дальнейшие строгие исследования настоящих математиков по этому вопросу и обратить внимание на возможный способ решения давней проблемы, такой как гипотеза Римана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение13.12.2021, 23:31 


23/02/12
3160
vicvolf в сообщении #1542500 писал(а):
Последовательность нулей функции Мертенса приведена здесь https://oeis.org/A028442

Обозначим значения этих нулей: $z_1,z_2,...$. В этом случае отрезки $[0,z_1],[0,z_2]...$ являются вложенными.

При $z_n \to \infty$ последовательность $[0,z_n]$ покрывает натуральный ряд.

На основании сказанного на отрезке $[0,z_n]$ для функции Мебиуса выполняется равенство вероятностей:

$P(\mu(k)=1)=P(\mu(k)=-1)$, где $k \leq z_n$ при $z_n \to \infty$.

Если рассматривать только значения $k$ - свободные от квадратов, то для урезанной функции Мебиуса получаем:

$P(\mu^{*}(k)=1)=P(\mu^{*}(k)=-1)=1/2$, где $k \leq z_n$ при $z_n \to \infty$.


Отсюда вытекает, что среднее значение модифицированной функции Мертенса $E[M^{*}(m)]=0$.

Это соответствует результату, полученному в данной работе на стр 44.

Так как значения, где функция Мебиуса $\mu(m)=0$ не влияют на среднее значение функции Мертенса, то оно также равно $E[M(m)]=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение14.12.2021, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1813
Москва
vicvolf в сообщении #1542751 писал(а):
эта работа будет стимулировать дальнейшие строгие исследования настоящих математиков по этому вопросу и обратить внимание на возможный способ решения давней проблемы
Нет, это НЕ возможный способ, это тупик, сплошное недоразумение. В этом смысле статья абсолютно бесполезна. Так же как проверки на компьютере до больших чисел были бесполезны для доказательства теоремы Ферма. Если когда-то эта проблема будет решена, то НЕ таким способом. Физикам без понимания математики в решении подобных проблем делать нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение14.12.2021, 06:40 


18/09/21
1704
alisa-lebovski в сообщении #1542838 писал(а):
Так же как проверки на компьютере до больших чисел были бесполезны для доказательства теоремы Ферма
Это с чего вдруг?
Если бы нашли контрпример, то это было бы чёткое доказательство ложности утверждения.
Никто же не знал, что она верна. Может она была бы не верна для каких-то больших чисел...

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение14.12.2021, 14:57 


23/02/12
3160
zykov в сообщении #1542848 писал(а):
alisa-lebovski в сообщении #1542838 писал(а):
Так же как проверки на компьютере до больших чисел были бесполезны для доказательства теоремы Ферма
Это с чего вдруг? Если бы нашли контрпример, то это было бы чёткое доказательство ложности утверждения. Никто же не знал, что она верна. Может она была бы не верна для каких-то больших чисел...
Кстати на стр 29 данной работы показано, как с помощью контрпримера была опровергнута гипотеза Мертенса: In 1985, Andrew Odlyzko and Herman te Riele proved however that the strong version of the Mertens conjecture is false using the Lenstra-Lenstra-Lovasz lattice basis reduction algorithm...

-- 14.12.2021, 15:06 --

alisa-lebovski в сообщении #1542838 писал(а):
Нет, это НЕ возможный способ, это тупик, сплошное недоразумение. В этом смысле статья абсолютно бесполезна.
Может использование тестов в данном случае было действительно не совсем уместно, но в статье есть и интересное. И конечно из-за этого ставить точку на вероятностном подходе к ГР не стоит :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение14.12.2021, 22:04 


23/02/12
3160
vicvolf в сообщении #1542553 писал(а):
Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в совокупность вероятностных пространств $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}{n}$. Тогда произвольную арифметическую функцию $f(k)$ (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как последовательность случайных величин $\xi_{n}$ на этих вероятностных пространствах: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$. На фиксированном вероятностном пространстве арифметическая функция является случайной величиной и на этом вероятностном пространстве можно говорить о мат. ожидании $\mathbb{E}\xi_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и дисперсии $\mathbb{D}\xi_{n}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}-\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}\right\rvert^{2}-\left\lvert\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\bigl\lvert f(k)\bigr\rvert^{2}-\left\lvert\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\right\rvert^{2}$, также моментах более высоких порядков, а для вещественной $f$ — о функции распределения $F_{\xi_{n}}(x)=\frac{1}{n}\bigl\lvert\{k\leqslant n:f(k)\leqslant x\}\bigr\rvert$ и характеристической функции $\varphi_{\xi_{n}}(t)=\mathbb{E}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t\xi_{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tf(k)}$


В данном вероятностном пространстве можно записать аналог закона больших чисел. Я ранее выводил эту формулу в другой теме на основании неравенства Чебышева:

$P_n(|f(m)-A_n| \leq b(n)\sigma_n)=1,n \to \infty$,

где $f(m), m=1,...,n$ - произвольная арифметическая функция, $A_n,\sigma_n$ - соответственно среднее и средне квадратичное отклонение $f(m), m=1,...,n$, а $b(n)$ - любая возрастаюшая функция при $n \to \infty$.

Формула аналога закона больших чисел доказана в работе Кубилюса.

Выше в этой теме я показал, что для арифметической функции Мертенса среднее значение $A_n=0$.

На основании формулы (161), обсуждаемой работы, для функции Мертенса средне квадратичного отклонения равно $\sigma_n=Cn^{1/2}$, где С- постоянная.

Если взять в качестве $b(n)=n^{\epsilon}$, где $\epsilon$ - положительная постоянная, то для функции Мертенса,на основании формулы аналога закона больших чисел, получим:

$P_n(|M(m)| \leq Cn^{1/2+\epsilon})=1, n \to \infty$ или $P_n(M(m)=O(n^{1/2+\epsilon})=1, n \to \infty$.

Таким образом, почти наверное, выполняется эквивалентная формулировка ГР.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайность функции Мебиуса и броуновское движение
Сообщение15.12.2021, 11:29 


23/02/12
3160
Мы раньше договаривались о другой форме записи:

$P_n(|f(m)-A_n| \leq b(n)\sigma_n) \to 1,n \to \infty$,

где $f(m), m=1,...,n$ - произвольная арифметическая функция, $A_n,\sigma_n$ - соответственно среднее и средне квадратичное отклонение $f(m), m=1,...,n$, а $b(n)$ - любая возрастаюшая функция при $n \to \infty$.

Тогда:

$P_n(|M(m)| \leq Cn^{1/2+\epsilon}) \to1, n \to \infty$ или $P_n(M(m)=O(n^{1/2+\epsilon}) \to1, n \to \infty$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group