Общее доказательство иррациональности корня n-ой степени

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1541162 писал(а):

То есть тут чисто э... языковая, терминологическая придирка.

Пожалуйста, придирайтесь как можно больше! Буду только благодарен.

nnosipov в сообщении #1541040 писал(а):

Вообще говоря, о простых числах можно и не упоминать, а пользоваться свойствами взаимно простых чисел. Иными словами, доказать утверждение "$\gcd{(p,q)}=1$ влечет $\gcd{(p^n,q^n)}=1$", не ссылаясь на основную теорему арифметики.

nnosipov в сообщении #1541122 писал(а):

Начните, например, со случая $n=2$.

Не знаю, наверное, это не то, что Вы имели в виду, но пока ничего другого не нашел.

$$\gcd (p^2, q^2)=\big ( \gcd (p,q)\big )^2, \;\;\; \gcd (p^n, q^n)=\big ( \gcd (p,q)\big )^n.$$

Поэтому

$$\gcd{(p,q)}=1 \Rightarrow \gcd{(p^n,q^n)}=1.$$

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541165 писал(а):

$$\gcd (p^2, q^2)=\big ( \gcd (p,q)\big )^2$$

А доказать это равенство?

[Vladimir Pliassov]

$$p=\gcd{(p,q)}\cdot a, \;\;\; q=\gcd{(p,q)}\cdot b,$$

где $a$ и $b$ взаимно простые числа. Отсюда

$$p^2=[\gcd{(p,q)}]^2\cdot a^2, \;\;\; q^2=[\gcd{(p,q)}]^2\cdot b^2,$$

где $a^2$ и $b^2$ также взаимно простые числа, поскольку квадраты взаимно простых чисел взаимно просты (надо доказывать?). Отсюда

$$\gcd (p^2, q^2)=[\gcd (p,q)]^2.$$

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541179 писал(а):

поскольку квадраты взаимно простых чисел взаимно просты (надо доказывать?).

Вы же именно это и доказываете, вроде? Тогда - надо.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541179 писал(а):

поскольку квадраты взаимно простых чисел взаимно просты

Ну вот, круг и замкнулся. Посмотрите теперь, с чего Вы начали (т.е. что хотели доказать).

[eugensk]

Vladimir Pliassov

Я советую взять книгу Фаддеев Лекции по алгебре, и неспешно, без пропусков пройти первые несколько страниц. Утверждение про корень будет доказано на 13-й, еще до простых чисел. Это очень хороший учебник.

[Vladimir Pliassov]

eugensk в сообщении #1541193 писал(а):

Я советую взять книгу Фаддеев Лекции по алгебре, и неспешно, без пропусков пройти первые несколько страниц. Утверждение про корень будет доказано на 13-й, еще до простых чисел. Это очень хороший учебник.

Спасибо! Начал читать.

[Vladimir Pliassov]

zykov в сообщении #1541134 писал(а):

то что "дробь может быть представлена как несократимая дробь" - это не содержательно. И так понятно, что после сокращения можно получить несократимую дробь.

Спасибо, понятно.

zykov в сообщении #1541134 писал(а):

В равенстве $p^n=r \cdot q^n$ разложения $p^n$ и $q^n$ содержат только степени, которые кратны $n$. Значит разложение $r$ тоже содержит только степени кратные $n$

Доказательство. В каноническом разложении $p^n$ содержатся те же множители, что и в каноническом разложении $r \cdot q^n$.

Если из канонического разложения $p^n$ убрать некоторые (простые) множители в степенях, кратных $n,$ а именно, множители канонического разложения $q^n,$ то останутся также простые множители в степенях, кратных $n,$ а именно, множители канонического разложения $r.$ То есть разложение $r$ тоже содержит только степени, кратные $n.$

Так?

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1541186 писал(а):

Ну вот, круг и замкнулся. Посмотрите теперь, с чего Вы начали (т.е. что хотели доказать).

Да, круг замкнулся: взаимную простоту $p^n$ и $q^n$ я попытался доказать через равенство

$$\gcd{(p,q)}=1 \Rightarrow \gcd{(p^n,q^n)}=1,$$

а это равенство -- через взаимную простоту $p^n$ и $q^n$.

Я в затруднении... Правда, я мог бы теперь доказать взаимную простоту $p^n$ и $q^n$ при помощи основной теоремы арифметики, а затем -- через взаимную простоту $p^n$ и $q^n$ -- доказать равенство

$$\gcd{(p,q)}=1 \Rightarrow \gcd{(p^n,q^n)}=1$$

и потом уже через это равенство доказать взаимную простоту $p^n$ и $q^n$.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541269 писал(а):

Я в затруднении...

Тогда надо читать какой-нибудь учебник. Речь идет о свойствах взаимно-простых чисел. Для их доказательства необязательно использовать понятие простого числа. Начните с базового: докажите, что для взаимно простых чисел $a$ и $b$ найдутся такие числа $x$ и $y$, что $ax+by=1$.

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1541270 писал(а):

Начните с базового: докажите, что для взаимно простых чисел $a$ и $b$ найдутся такие числа $x$ и $y$, что $ax+by=1$.

У Фаддеева https://mahalex.net/151-153/Faddeev.pdf стр. 9-10 нашел (понятное мне) доказательство того, что

$$au_0+bv_0=d,$$

где $d=\gcd (a, b).$ Переведу в другие обозначения:

$$px+qy=d,$$

где $d=\gcd (p, q).$

Отсюда при взаимной простоте $p$ и $q$ имеем

$$px+qy=1.$$

Тогда $(px+qy)^2=1^2,$ то есть

$$p^2x^2+2pxqy+q^2y^2=1.$$

Но я не вижу, как это поможет доказать, что найдутся такие целые числа $u, v,$ что будет

$$p^2u+q^2v=1.$$

Или это не тот путь?

-- 02.12.2021, 15:39 --

Сейчас нашел Предложение 8 у Фаддеева https://mahalex.net/151-153/Faddeev.pdf стр. 12 , которое доказывает взаимную простоту степеней взаимно простых чисел.

-- 02.12.2021, 16:15 --

У Фаддеева (https://mahalex.net/151-153/Faddeev.pdf стр.13, третий абзац) нашел в принципе то же доказательство, что и у меня, но грамотно изложенное.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov
Да, все так (я имею в виду лекции Фаддеева). Обратите внимание, что нужный результат получен, не обращаясь к понятию простого числа и основной теореме арифметики (она еще впереди). Впрочем, есть учебники, где все наоборот: сначала доказывается основная теорема арифметики, а затем из нее выводятся свойства взаимно простых чисел.

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1541366 писал(а):

Да, все так (я имею в виду лекции Фаддеева). Обратите внимание, что нужный результат получен, не обращаясь к понятию простого числа и основной теореме арифметики (она еще впереди).

Да, как Вы и говорили:

nnosipov в сообщении #1541040 писал(а):

Вообще говоря, о простых числах можно и не упоминать, а пользоваться свойствами взаимно простых чисел. Иными словами, доказать утверждение "$\gcd{(p,q)}=1$ влечет $\gcd{(p^n,q^n)}=1$", не ссылаясь на основную теорему арифметики.

Я, прочитав это, отметил, что сам (в первом варианте доказательства) шел именно по этому пути (то есть не разлагал $p$ и $q$ на простые множители), правда, должен согласиться с Вашим замечанием:

nnosipov в сообщении #1541122 писал(а):

Вы всего лишь произнесли заклинание, а доказать --- не доказали.