Общее доказательство иррациональности корня n-ой степени

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1541034 писал(а):

Это потому, что вы не почитали по ссылке ув. zykov которую он вам дал два раза.

Просмотрел рекомендованную статью более подробно (но в ближайшее время пройду ее насколько смогу фундаментально): если не ошибаюсь, произведение всех простых множителей, на которые разлагается натуральное число, называется просто разложением?

wrest в сообщении #1541034 писал(а):

Так вот существование и единственность этого разложения -- и есть предмет моего замечания. Это не такое уж очевидное свойство натуральных чисел, и его в вашем доказательстве надо было или упомянуть, или привести его доказательство.

Мне кажется, что достаточно будет только упомянуть. Изложу исправленное доказательство целиком.

Доказательство. Пусть $p, q, n$ -- натуральные числа, и при этом дробь $\frac {p}{q}$ несократима и $q\ne 1$, а также пусть

$$\bigg(\frac {p}{q}\bigg)^n=r. \eqno (1)$$

Выражение (1) можно представить в виде

$$\underbrace{\frac {p}{q}\times \frac {p}{q}\times \ldots \times\frac {p}{q}}_{n}=r. $$

Левая часть этого равенства также может быть представлена как несократимая дробь, поскольку отношение

$$\frac {p\cdot p\cdot \ldots \cdot p}{q\cdot q\cdot \ldots \cdot q}$$

по основной теореме арифметики может быть представлено как отношение некоторых натуральных чисел $a$ и $b$, разложения которых не имеют общих делителей. При этом дробь

$$\frac ab=\frac {p\cdot p\cdot \ldots \cdot p}{q\cdot q\cdot \ldots \cdot q}$$

не может быть равна натуральному числу, так как $q\ne 1$. Таким образом $r$ не может быть натуральным числом, и равенство (1) при указанных в Предложении условиях невозможно, ч. т. д..

[Sinoid]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541036 писал(а):

если не ошибаюсь, произведение всех простых множителей, на которые разлагается натуральное число, называется просто разложением?

Почитайте.

[nnosipov]

Вообще говоря, о простых числах можно и не упоминать, а пользоваться свойствами взаимно простых чисел. Иными словами, доказать утверждение "$\gcd{(p,q)}=1$ влечет $\gcd{(p^n,q^n)}=1$", не ссылаясь на основную теорему арифметики.

[mihaild]

Если есть основная теорема арифметики, то ИМХО проще сказать, что любое (положительное) рациональное число - это произведение простых в целых степенях, и заметить если возвести его в $n$-ю степень, то степени простых в разложении получившегося числа делятся на $n$.

[wrest]

(термины)

Vladimir Pliassov в сообщении #1541036 писал(а):

произведение всех простых множителей, на которые разлагается натуральное число, называется просто разложением?

Мне кажется что "просто разложение" это любое, не обязательно на простые сомножители. То есть представление числа в виде произведения сомножителей (не обязательно простых) это "разложение на сомножители", а представление в виде суммы слагаемых "разбиение на части". Почему там разложение, а тут разбиение - не знаю.

Vladimir Pliassov в сообщении #1541036 писал(а):

по основной теореме арифметики может быть представлено как отношение некоторых натуральных чисел $a$ и $b$, разложения которых не имеют общих делителей.

Я, честно говоря, читая эту часть, подумаю что автор "слышал звон", простите меня... Ещё раз: мысль верная, но формулировка кривая.

[nnosipov]

mihaild в сообщении #1541021 писал(а):

Так что любое его доказательство должно как-то явно использовать что целые числа - это не произвольная область целостности (достаточно использовать факториальность, но может быть сойдет и какое-то другое свойство).

Это в чистом виде свойство целозамкнутости. Если кольцо факториально, то оно автоматически целозамкнуто. Обратное, конечно, неверно. Опираясь на нецелозамкнутость, можно косвенно (не приводя конкретных примеров неединственности разложения, что может быть затруднительно) доказывать нефакториальность конкретной области целостности.

mihaild в сообщении #1541061 писал(а):

Если есть основная теорема арифметики, то ...

Да, с ее помощью (или хотя бы с привлечением самого понятия простого числа) многое упрощается. Например, доказательство леммы Гаусса (про произведение примитивных многочленов) становится почти очевидным. Однако есть и принципиально другое доказательство: Gauss' Lemma without Primes https://www.haible.de/bruno/papers/math ... /gcdgauss/ Но бывают же кольца, где вообще нет простых элементов, там подобные рассуждения могут пригодится.

[Vladimir Pliassov]

Sinoid в сообщении #1541038 писал(а):

Почитайте.

Цитата:

Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители.

Спасибо!

nnosipov в сообщении #1541040 писал(а):

Вообще говоря, о простых числах можно и не упоминать, а пользоваться свойствами взаимно простых чисел. Иными словами, доказать утверждение "$\gcd{(p,q)}=1$ влечет $\gcd{(p^n,q^n)}=1$", не ссылаясь на основную теорему арифметики.

По-моему, я так и сделал с самого начала, когда написал, что выражение

$$\bigg(\frac {p}{q}\bigg)^n=r \eqno (1)$$

можно представить в виде

$$\underbrace{\frac {p}{q}\times \frac {p}{q}\times \ldots \times\frac {p}{q}}_{n}=r$$

и что "левая часть этого равенства также может быть представлена как несократимая дробь, поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей." (В частности, я не говорил о простых числах, а сказал только, что $p$ и $q$ взаимно просты.)

wrest в сообщении #1541062 писал(а):

Мне кажется что "просто разложение" это любое, не обязательно на простые сомножители. То есть представление числа в виде произведения сомножителей (не обязательно простых) это "разложение на сомножители", а представление в виде суммы слагаемых "разбиение на части". Почему там разложение, а тут разбиение - не знаю.

В математике, вообще, как ни странно, очень много случайных обозначений.

wrest в сообщении #1541062 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1541036 писал(а):

по основной теореме арифметики может быть представлено как отношение некоторых натуральных чисел $a$ и $b$, разложения которых не имеют общих делителей.

Я, честно говоря, читая эту часть, подумаю что автор "слышал звон", простите меня... Ещё раз: мысль верная, но формулировка кривая.

Ну почему кривая? Слова

Цитата:

отношение

$$\frac {p\cdot p\cdot \ldots \cdot p}{q\cdot q\cdot \ldots \cdot q}$$

по основной теореме арифметики может быть представлено как отношение некоторых натуральных чисел $a$ и $b$,

означают, что отношение

$$\frac {p\cdot p\cdot \ldots \cdot p}{q\cdot q\cdot \ldots \cdot q}$$

может быть представлено как рациональное число $\frac ab$ (по-моему, претензия состояла именно в том, что это отношение не было представлено в виде рационального числа, то есть в виде отношения двух натуральных чисел), а слова

Цитата:

разложения которых не имеют общих делителей

подразумевают, что натуральные числа $a$ и $b$ -- также по основной теореме арифметики -- могут быть разложены на простые множители, и при этом в канонических разложениях чисел $a$ и $b$ нет равных множителей (не считая $1$), то есть числа $a$ и $b$ не имеют общих делителей (и поэтому левая часть равенства

$$\underbrace{\frac {p}{q}\times \frac {p}{q}\times \ldots \times\frac {p}{q}}_{n}=r $$

может быть представлена как несократимая дробь.)

А как бы Вы написали?

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541118 писал(а):

По-моему, я так и сделал с самого начала

Вы всего лишь произнесли заклинание, а доказать --- не доказали.

Напишите отдельно (подробное!) доказательство того утверждения, что у меня в кавычках. Это содержательное упражнение. Начните, например, со случая $n=2$.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541118 писал(а):

подразумевают, что натуральные числа $a$ и $b$ -- также по основной теореме арифметики -- могут быть разложены на простые множители, и при этом в канонических разложениях чисел $a$ и $b$ нет равных множителей (не считая $1$),

Да, но почему их нет? Как именно это следует из упоминаемой теоремы? Почему при перемножении например $a=pq$ в разложении $a$ на простые множители не может появиться таких простых множителей, которых не было при разложении каждого из $p$ и $q$ на простые множители? Их действительно нет. Но почему?

[mihaild]

Vladimir Pliassov, основная теорема арифметики утверждает, что число может быть однозначно (с точностью до перестановки) разложено на простые множители. Про дроби и произведения она ничего не утверждает. Если вы хотите ей воспользоваться, то вам нужно явно указывать, какое число вы раскладываете и что делаете с этим разложением дальше.

[zykov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541118 писал(а):

что "левая часть этого равенства также может быть представлена как несократимая дробь, поскольку ни один из числителей в ней не может быть сокращен ни с одним из знаменателей."

Содержательное утверждение тут, что дробь $\frac{p^n}{q^n}$ является несократимой (хотя не уверен, нужно ли оно вообще).
А то что "дробь может быть представлена как несократимая дробь" - это не содержательно. И так понятно, что после сокращения можно получить несократимую дробь.

Само доказательство на пальцах. В равенстве $p^n=r \cdot q^n$ разложения $p^n$ и $q^n$ содержат только степени, которые кратны $n$. Значит разложение $r$ тоже содержит только степени кратные $n$ и значит $r=r_1^n$, где $r_1$ целое. Если $r$ не является степенью целого, то оно не равно степени $n$ ни для одного рационального числа (от противного).

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1541125 писал(а):

Почему при перемножении например $a=pq$ в разложении $a$ на простые множители не может появиться таких простых множителей, которых не было при разложении каждого из $p$ и $q$ на простые множители?

Возникает вопрос: что такое перемножение $pq=a$?

Для простоты возьмем случай, когда $p$ и $q$ взаимно просты.

Если перемножение натуральных чисел $p=p_{1}^{c_{1}}\cdot p_{2}^{c_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{i}^{c_{i}}$ и $q=q_{1}^{d_{1}}\cdot q_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{d_{k}},$

где $p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{i}, \;\; q_{1}<q_{2}<\ldots <q_{k}$ — простые числа, а $c_{1},\ldots ,c_{i}, \;\; d_{1},\ldots ,d_{k}$ — некоторые натуральные числа,

это взятие в качестве сомножителей всех множителей канонических разложений чисел $p$ и $q$ и только этих множителей, то

$$a=pq=p_{1}^{c_{1}}\cdot p_{2}^{c_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{i}^{c_{i}}\cdot q_{1}^{d_{1}}\cdot q_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{d_{k}},$$

то есть каноническим разложением числа $a$ является произведение всех множителей канонических разложений чисел $p$ и $q$ и только они.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541139 писал(а):

Для простоты возьмем случай, когда $p$ и $q$ взаимно просты.

Это лишнее. И кстати вы же возводите там в доказательстве число в степень (числитель и знаменатель), то есть берете числа состоящие из одних и тех же множителей.

Vladimir Pliassov в сообщении #1541139 писал(а):

то есть каноническим разложением числа $a$ является произведение всех множителей канонических разложений чисел $p$ и $q$ и только они.

Да! Именно это и следует из единственности разложения числа на простые множители (а также коммутативности и ассоциативности операции умножения натуральных чисел, не знаю надо ли это упомянуть, возможно что надо). А раз других простых сомножителей, кроме тех которые уже были в умножаемых числах $p$ и $q$, в произведении не появляется, и это справедливо как для числителя так и для знаметателя в ваших рассуждениях, значит та дробь остается несократимой (не на что сокращать, т.к. общих [простых] множителей до возведения в степень у числителя и знаменателя не было, а новых множителей ни там не там не появилось, значит и общих не появилось).

Vladimir Pliassov в сообщении #1541139 писал(а):

Если перемножение натуральных чисел $p=p_{1}^{c_{1}}\cdot p_{2}^{c_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{i}^{c_{i}}$

Вот, а возведение в степень $n$ даёт нам $$p^n=p_{1}^{nc_{1}}\cdot p_{2}^{nc_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{i}^{nc_{i}}$, т.е. тот же состав простых множителей $p_i$ (и "только его", как вы выразились), в силу единственности разложения числа на простые множители.

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1541146 писал(а):

Да! Именно это и следует из единственности разложения числа на простые множители

Спасибо!

wrest в сообщении #1541146 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1541139 писал(а):

Для простоты возьмем случай, когда $p$ и $q$ взаимно просты.

Это лишнее.

То есть ничего, что в произведении

$$a=pq=p_{1}^{c_{1}}\cdot p_{2}^{c_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{i}^{c_{i}}\cdot q_{1}^{d_{1}}\cdot q_{2}^{d_{2}}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{d_{k}},$$

скажем, $p_{1}^{c_{1}}=q_{2}^{d_{2}},$ понятно.

wrest в сообщении #1541146 писал(а):

И кстати вы же возводите там в доказательстве число в степень (числитель и знаменатель), то есть берете числа состоящие из одних и тех же множителей.

Да, это о том же самом.

В связи с этим, мне вдруг пришло в голову, что никакое целое число, кроме $\pm 1$, не является для самого себя взаимно простым (потому что взаимно простые числа это целые числа, не имеющие никаких общих делителей, кроме $\pm 1$.), но это не имеет отношения к настоящей теме.

wrest в сообщении #1541146 писал(а):

а возведение в степень $n$ даёт нам $p^n=p_{1}^{nc_{1}}\cdot p_{2}^{nc_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{i}^{nc_{i}}$, т.е. тот же состав простых множителей $p_i$ (и "только его", как вы выразились).

Я так выразился в ответ на Ваш вопрос:

wrest в сообщении #1541125 писал(а):

Почему при перемножении например $a=pq$ в разложении $a$ на простые множители не может появиться таких простых множителей, которых не было при разложении каждого из $p$ и $q$ на простые множители?

и, по-моему, очень важным дополнение к определению: "каноническим разложением числа $a=pq$ является произведение всех множителей канонических разложений чисел $p$ и $q$", -- являются слова "и только они".

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541155 писал(а):

и, по-моему, очень важным дополнение

Конечно, в нём (единственности разложения) вся суть. Как только мы любым способом получили хоть какое-то разложение числа на простые множители, мы сразу можем сказать, что других разложений, т.е. отличающихся от полученного нами наборов сомножителей, не существует.

(Оффтоп)

Просто у вас стилистически немного странно используются термины.
Разложение это "представление числа в виде...". "Представление" это способ записи, изображения. Или разложение это "набор", "мультимножество" и т.п.. Но разложение это не произведение (произведение = число). Множители не являются разложением, множители входят в разложение, являются составными частями, членами разложения. То есть тут чисто э... языковая, терминологическая придирка.