2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение11.10.2021, 21:35 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
Здравствуйте.
Запутался в следующем.
Пусть нам сообщили или мы посмотрели в какой-то таблице значение некоторой физической величины, например $l_0=38.52\ \text{см}$. Далее говорится, что такая запись означает, что величина $l$ задана с точностью, равной половине младшего разряда, то есть разряда сомнительной цифры, то есть последней цифры. В нашем случаем эта точность равна $\frac{0.01\ \text{см}}{2}=0.005\ \text{см}$. Тогда величина $l$ находится в пределах: $38.515\ \text{см}<l<38.525\ \text{см}$.

С другой стороны, есть формула $l=l_0\pm\Delta l$, где $l_0$ - результат измерения величины $l$, $\Delta l$ - абсолютная погрешность (или точнее граница абсолютной погрешности). Абсолютная погрешность может складываться из разных слагаемых, допустим нам сообщили, что она равна $0.007\ \text{см}$ (мы пишем только одну значащую цифру). Далее говорится, что одним из правил округления является то, что количество значащих цифр в результате измерения должно быть таким, чтобы сомнительная цифра имела порядок абсолютной погрешности. Пусть у нас есть неокруглённый результат косвенного измерения $l_0=28.3147...$, тогда получается, что мы должны его округлить до тысячных: $l_0=28.315\ \text{см}$, и можем написать: $l=(28.315\pm0.007)\ \text{см}$.

Тогда мне непонятно, почему в первой части нам дано значение $l_0=38.52\ \text{см}$ с точностью до сотых, но при этом существует правило для нахождения точности этого значения, которое (правило) дает для этой точности порядок тысячных ($0.005\ \text{см}$), а не сотых. Или первая и вторая части никак не связанны? Точность и абсолютная погрешность это одно и то же? Просто получается разница на один порядок.

И можно ли в первой части вместо строгих неравенств написать нестрогие: $38.515\ \text{см}\leqslant l\leqslant38.525\ \text{см}$ по аналогии со знаком равенства во второй части: $l=(28.315\pm0.007)\ \text{см}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение11.10.2021, 22:57 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24041
Кронштадт
misha.physics в сообщении #1534634 писал(а):
Далее говорится, что такая запись означает, что величина $l$ задана с точностью, равной половине младшего разряда, то есть разряда сомнительной цифры, то есть последней цифры. В нашем случаем эта точность равна $\frac{0.01\ \text{см}}{2}=0.005\ \text{см}$.
Это один из вариантов правила. Не менее часто встречается вариант с единицей младшего разряда, а главное во всем этом - то, что фактически это порядковая оценка погрешности.
misha.physics в сообщении #1534634 писал(а):
абсолютная погрешность (или точнее граница абсолютной погрешности).
А еще точнее - характерная оценка абсолютной погрешности. Случайные ошибки распределены по гауссиане, так что в принципе абсолютная погрешность однократного измерения может быть сколь угодно большой (просто это крайне маловероятно).

Так что если для погрешности хочется чего-то лучшего, чем порядковая оценка, то правилом числа значащих цифр пользоваться не стоит - для таких целей оно слишком грубое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение11.10.2021, 23:17 


05/09/16
9449

(О Гауссе)

Pphantom в сообщении #1534644 писал(а):
Случайные ошибки распределены по гауссиане, так что в принципе абсолютная погрешность однократного измерения может быть сколь угодно большой (просто это крайне маловероятно).
Вы прям как мой преподаватель по терверу. Ну он говорил что обычно случайные ошибки по Гауссу и т.п. Я у него спросил как-то "ну хорошо, вот есть пруток диаметром пять и исправнй штангенциркуль, я меряю и вы говорите, что могу намерить десять?" На что он сказал "можете, но это крайне маловероятно". Запомнил на всю жизнь. Но так и не понял как можно намерить диаметр десять штангенциркулем, у прутка диаметром пять...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 02:32 


27/08/16
8581
misha.physics в сообщении #1534634 писал(а):
Просто получается разница на один порядок.
Нет, 0.005 отличается от 0.01 не на порядок, а в два раза. При оценке погрешностей это чаще всего несущественная разница.

Кроме того, нередко при инженерных расчётах берут больше цифр, чем нужно, просто чтобы не накапливалась погрешность округления промежуточных результатов.

А погрешности в каждом конкретном случае могут означать разные вещи. В одном случае это будет среднеквадратичное отклонение, сигма, в другом - три сигмы, в третьем - максимальное отклонение. Для грубых оценок разница некритична. В любом случае, если требуется большая точность, то, скорее всего, требуется, также, учитывать реальное распределение вероятности ошибки, а не только её приближение гауссовой кривой. Которая нередко хорошо описывает распределение суммы большого числа случайных величин, но не всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 02:52 
Аватара пользователя


21/01/09
3781
Дивногорск
wrest в сообщении #1534646 писал(а):
Но так и не понял как можно намерить диаметр десять штангенциркулем, у прутка диаметром пять...

Никак. В данном случае применяется ограниченный нормальный закон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 09:31 
Аватара пользователя


07/03/16
06/12/21
3033
wrest в сообщении #1534646 писал(а):
как можно намерить диаметр десять штангенциркулем, у прутка диаметром пять...

А вы попробуйте измерить пруток несколько миллионов раз подряд. Первый десяток уложится в погрешность 0,1 мм, а через миллион, вы можете и пруток вместе с пальцем измерить. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 09:41 
Заслуженный участник


21/08/10
2235
wrest в сообщении #1534646 писал(а):
Ну он говорил что обычно случайные ошибки по Гауссу и т.п.


В физике все формулы приближенные. Кроме того, они всегда относятся (даже приближенно) лишь к ограниченной области. Распределение Гаусса здесь не исключение. Далеко на "хвостах" оно вообще неверно. Но в районе "макушки" очень даже не плохо.

Кстати, математики обычно (не всегда, но обычно) эту банальную для физика вещь не понимают напрочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 10:02 


27/08/16
8581
Alex-Yu в сообщении #1534668 писал(а):
Далеко на "хвостах" оно вообще неверно.
Это, тоже, не совсем правильное утверждение. При большом количестве одинаково распределённых слагаемых, вносящих вклад в этот гаусс, распределение бывает верным и достаточно далеко на хвостах, чтобы изучать именно хвосты. В каком-нибудь тепловом шуме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 10:24 


05/09/16
9449
Alex-Yu в сообщении #1534668 писал(а):
Распределение Гаусса здесь не исключение. Далеко на "хвостах" оно вообще неверно. Но в районе "макушки" очень даже не плохо.
Да, и поскольку изучался именно Гаусс (с бесконечными хвостами), и это была математика (тервер) а не физика, то и ответ был такой. Видимо, преподаватель не хотел вдаваться в детали, а исходил из того, что "если" распределение по Гауссу, "то" намерить можно что угодно.

(Оффтоп)

Просто это был очень такой яркий момент в жизни и мы, студенты, потом часто повторяи между собой как присказку, мол "Можно! Но вероятность этого очень мала!". С этим преподавателем таких моментов было два, первый я описал. А второй был такой. Обсуждалось, на семинаре (или коллоквиуме, не помню), что значит "велика" или "мала" вероятность чего-либо. И вот он говорит "Вот вы говорите что 5% это небольшая вероятность. Но если вам скажут, что если вы пойдете под этой аркой и на вас с вероятностью 5% упадёт кирпич, то вероятность 5% уже не покажется вам "малой", не так ли? Пойдете ли вы в эту арку?"
Очень доходчиво.


-- 12.10.2021, 10:33 --

Emergency в сообщении #1534667 писал(а):
А вы попробуйте измерить пруток несколько миллионов раз подряд. Первый десяток уложится в погрешность 0,1 мм, а через миллион, вы можете и пруток вместе с пальцем измерить. :)

Не совсем правильный подход. Правильный был бы такой, что вот в мире есть миллионы исправных штангенциркулей и каждый день ими измеряют прутки в том числе диаметром пять. И вот, примерно раз в год, в результате измерения у кого-то таки выходит десять. В это поверить уже легче, но все равно непросто. И особенно непросто поверить в то что такой хвост и будет. Дальше ессно встает вопрос если реальный хвост при измерени прутка штангенциркулем не такой как у Гаусса, то какой тогда, почему, и где этот хвост ещё как у Гаусса и где уже нет. Я думаю, что преподаватель не хотел вдаваться именно в это разбирательство, поскольку это уже была бы не математика, а физика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 11:23 
Заслуженный участник


21/08/10
2235
realeugene в сообщении #1534670 писал(а):
При большом количестве одинаково распределённых слагаемых, вносящих вклад в этот гаусс, распределение бывает верным и достаточно далеко на хвостах



Это смотря насколько далеко. Конечно, в каждом конкретном случае область, где гауссиан еще работает, своя. Но она всегда конечна.

-- Вт окт 12, 2021 15:25:18 --

wrest в сообщении #1534674 писал(а):
5% это небольшая вероятность.



5% --- это большая вероятность. Во всех смыслах. А вот, скажем, $10^{-40}}$ -- это вероятность малая. И никакие гауссианы на таком уровне не работают.

-- Вт окт 12, 2021 15:29:51 --

Emergency в сообщении #1534667 писал(а):
Первый десяток уложится в погрешность 0,1 мм, а через миллион, вы можете и пруток вместе с пальцем измерить.



Если дисперсия порядка 0.1, то (формальная) вероятность ~5 (в разумном интервале) будет $\sim e^{-2500}$. Грубо говоря, порядка $1/10^{1000}$. Никакими миллионами и даже триллионами тут и "не пахнет". Для справки: число элементарных частиц во всей (!!!) вселенной что-то то ли $10^{40}$ то ли $10^{80}$. Что ну никак сравнить нельзя. В общем таких чисел, как $10^{1000}$,в физике вообще не бывает. Этом математическая фантазия, к реальности не имеющая никакого отношения. $1/10^{1000}$ равняется нулю. Причем точно равняется нулю (в физике).

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 11:40 


05/09/16
9449
Alex-Yu в сообщении #1534684 писал(а):
5% --- это большая вероятность. Во всех смыслах.

Вот как раз в смыслах и был смысл той беседы.
Допустим вам говорят - купите лотерейный билет за 100 рублей и с вероятностью 5% выиграйте 200 рублей. Нет, говорите вы, в предлагаемом смысле вероятность слишком мала. Тогда вам говорят - ну хорошо, оставляем цену билета 100 и вероятность 5% а выигрыш увеличиваем до 2000 рублей. Вы опять говорите "ну такое себе, даш на даш, можно и попробовать". И вот когда вам предложат выигрыш 20 000 при цене билета 100 и вероятности 5%, тогда вероятность становится уже очень большой. Но тут вы, конечно, тоже отказываетесь, в виду очевидности такого "лохотрона".

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 12:08 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24041
Кронштадт
Для определенности лучше отделять мух от котлет. Гауссово распределение - математическая модель, реализующаяся в предположении, что все ошибки случайны. Понятно, что это предположение хорошо работает только в некотором диапазоне величин ошибок, но это все-таки проблема не модели самой по себе, а ее применимости к тому или иному случаю. Однако оценки погрешности, которые интересовали ТС, делаются в предположении о применимости этой модели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 14:42 


17/10/16
1313
misha.physics
Что вообще означает $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$?
Если у нас прибор с делениями по $2 \times 70=140$ микрон, и мы уверены, что вся погрешность измерения происходит только от округления результата измерения до ближайшего целого деления этого прибора, то мы может сказать совершенно достоверно: точное значение измеряемой величины с вероятностью 100% отклоняется от результата измерения не более, чем на пол-деления шкалы прибора. Это ошибка округления, про которую все известно точно.
Но обычно запись $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$ означает "результат измерения лежит в указанных пределах с заданной вероятностью", а не с вероятностью 100%. Так что эта запись мало что означает, если не указана эта самая вероятность.
Более точно будет так: результат измерения считается случайной величиной с каким-то распределением. Обычно считают, что это распределение Гаусса, у которого есть два параметра: среднее значение и дисперсия. Вот при этих предположениях в выражении $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$ фактически и указаны оценки среднего значения и дисперсии (точнее одиночного или удвоенного или утроенного и т.д. среднеквадратичного отклонения) этого распределения для величины результата измерения.
Если не говорить о вероятности, на ваш вопрос четкого ответа дать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 15:59 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
Спасибо всем.
sergey zhukov в сообщении #1534714 писал(а):
Что вообще означает $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$?
Если у нас прибор с делениями по $2 \times 70=140$ микрон, и мы уверены, что вся погрешность измерения происходит только от округления результата измерения до ближайшего целого деления этого прибора, то мы может сказать совершенно достоверно: точное значение измеряемой величины с вероятностью 100% отклоняется от результата измерения не более, чем на пол-деления шкалы прибора. Это ошибка округления, про которую все известно точно.
Но обычно запись $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$ означает "результат измерения лежит в указанных пределах с заданной вероятностью", а не с вероятностью 100%. Так что эта запись мало что означает, если не указана эта самая вероятность.

Да, я подразумевал "простую ситуацию" без случайной погрешности, но при этом кроме погрешности округления (погрешности отсчёта) может быть ещё погрешность прибора. Вообще, меня запутало и я здесь больше имел ввиду, почему в первом моем случае абсолютная погрешность составляет половину единицы округлённого результата измерения, а во втором случае результат измерения округляется до единиц абсолютной погрешности. Но теперь, я кажется понял, принимая во внимание:
Pphantom в сообщении #1534644 писал(а):
Это один из вариантов правила. Не менее часто встречается вариант с единицей младшего разряда, а главное во всем этом - то, что фактически это порядковая оценка погрешности.

realeugene в сообщении #1534659 писал(а):
Нет, 0.005 отличается от 0.01 не на порядок, а в два раза. При оценке погрешностей это чаще всего несущественная разница.

А может ли существовать следующий вариант. Мы приводим в какой-то таблице значение $l_0=38.520\ \text{см}$, подразумевая здесь все цифры значащами и договариваемся считать абсолютную погрешность равной половине единицы предпоследнего разряда, то есть при таком подходе абсолютная погрешность будет равна $\frac{0.01\ \text{см}}{2}=0.005\ \text{см}$. Тогда и в результате измерения ($l_0=38.520\ \text{см}$), и в абсолютной погрешности ($0.005\ \text{см}$) будет одинаковое количество цифр после запятой. Просто интересно, может ли в принципе существовать такой вариант правила округления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 16:33 


17/10/16
1313
misha.physics
misha.physics в сообщении #1534720 писал(а):
Да, я подразумевал "простую ситуацию" без случайной погрешности, но при этом кроме погрешности округления (погрешности отсчёта) может быть ещё погрешность прибора.

Так вот эта погрешность прибора и превращает результат измерения в случайную величину с распределение Гаусса. Это уже и есть "сложный" случай.

misha.physics в сообщении #1534720 писал(а):
А может ли существовать следующий вариант.

Например, нужно привести в таблице число $e=2,7182818281...$ с точностью до двух цифр после запятой. Я записываю $2,72$ с точностью $0,005$. А вы предлагаете записывать его, как $2,718$ (или даже $2,710$) с той же точностью $0,005$, хотя на самом деле здесь либо более высокая точность $0,0005$, либо просто лишние нули в конце каждого числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: sergey zhukov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group