2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 18:55 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
misha.physics в сообщении #1534720 писал(а):
Просто интересно, может ли в принципе существовать такой вариант правила округления?
Так не принято делать, но никаких других препятствий нет. Однако без дополнительных пояснений это будет понято неправильно, а смысл всех этих правил в том, чтобы писать поменьше там, где без этого можно обойтись. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 18:59 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
sergey zhukov,
sergey zhukov в сообщении #1534723 писал(а):
Так вот эта погрешность прибора и превращает результат измерения в случайную величину с распределение Гаусса. Это уже и есть "сложный" случай.

Я просто под погрешностью прибора понимал погрешность, которая написана на самом приборе (или в документах идущих к прибору). И ещё я представлял себе формулу, что абсолютная погрешность равна сумме погрешности прибора и погрешности отсчёта. В свою очередь погрешность отсчёта составляет половину цены деления измерительного прибора.
sergey zhukov в сообщении #1534723 писал(а):
Я записываю $2,72$ с точностью $0,005$.

Хорошо, примем это, тогда как я понимаю можно написать $e=2.72\pm0.005$. И в принципе это логично, потому что при округлении чисел $2.715$, $2.725$ и чисел между ними к сотым мы придём к $2.72$ (если округлим пятерку в разные стороны в первых двух случаях, но это сейчас можно опустить). Но как тогда быть с этим?:
misha.physics в сообщении #1534634 писал(а):
одним из правил округления является то, что количество значащих цифр в результате измерения должно быть таким, чтобы сомнительная цифра имела порядок абсолютной погрешности

Здесь получается, что если у нас абсолютная погрешность, округлённая к одной значащей цифре имеет, например, порядок сотых ($0.02$ или $0.07$, например), то результат измерения тоже округляется к сотым (например к $42.16$). Или это неправильно? Просто я видел следующий пример. Получили (калькулятор выдал) абсолютною погрешность $\Delta l=3.8485...$. Мы округляем это к одной значащей цифре: $\Delta l=4$. Получили (калькулятор выдал) неокруглённое значение измеряемой величины $l_0=384.8116...$, его мы округляем так, чтобы последняя цифра имела порядок единицы (как абсолютная погрешность), то есть $l_0=385$. И конечный результат записывался как $l=385\pm4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение12.10.2021, 20:49 
Аватара пользователя


07/03/16
06/12/21
3033
misha.physics в сообщении #1534735 писал(а):
Я просто под погрешностью прибора понимал погрешность, которая написана на самом приборе (или в документах идущих к прибору). И ещё я представлял себе формулу, что абсолютная погрешность равна сумме погрешности прибора и погрешности отсчёта.

Если у прибора есть шкала, то деления в ней наносят так, чтобы половина деления соответствовала паспортной погрешности прибора. Поэтому у приборов высокого класса шкалы длинные, а деления частые. Напротив - у приборов низкого класса шкалы короткие и деления широкие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение13.10.2021, 00:43 


17/10/16
1296
misha.physics
Тут два разных случая. В одном из них - округление точного числа $e$, в котором нет никаких сомнительных чисел ни в каком знаке после запятой. В другом случае - округление результата измерения, для которого существует неопределенность, вероятность и "сомнительные" разряды. Очевидно, что точность округления до половины младшего разряда - это предельно высокая точность записи числа вообще. Она достижима только для округления совершенно точных чисел, а результат измерения не является совершенно точным. Соответственно, его запись с погрешностью должна отражать этот факт, а не выглядеть, как округление совершенно точного числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение13.10.2021, 13:47 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
Emergency в сообщении #1534746 писал(а):
Если у прибора есть шкала, то деления в ней наносят так, чтобы половина деления соответствовала паспортной погрешности прибора. Поэтому у приборов высокого класса шкалы длинные, а деления частые. Напротив - у приборов низкого класса шкалы короткие и деления широкие.

Если я правильно понял, имелось ввиду, что погрешность округления (половина деления) равна погрешности прибора (паспортной погрешности). Просто опять же видел решение задачи, где брался медицинский термометр, на нём было написано $0.1^\circ C$ и это было взято за погрешность прибора, цена деления прибора тоже была равна $0.1^\circ C$, поэтому за погрешность округления было взято половину: $0.05^\circ C$. И абсолютная погрешность получилась равной сумме этих погрешностей, то есть $0.15^\circ C$.

sergey zhukov, спасибо. Хорошо, то есть можно сказать, что когда мы говорим, что точность табличного значения какой-то величины равна половине единицы младшего разряда, то можно считать, что эту величину сначала как-то измерили с большей точностью (с большим количеством цифр), а потом для таблицы просто округлили к меньшему количеству значащих цифр. То есть здесь есть лишь погрешность округления. А когда мы сами измеряем какую-то величину, то могут быть другие погрешности, поэтому погрешность больше. И это всё вместе с тем, что могут существовать разные варианты правила округления. Хорошо, в принципе стало понятнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение13.10.2021, 21:38 
Аватара пользователя


07/03/16
06/12/21
3033
misha.physics в сообщении #1534819 писал(а):
Если я правильно понял, имелось ввиду, что погрешность округления (половина деления) равна погрешности прибора (паспортной погрешности).

Погрешность округления бывает в расчетах, а не в считывании шкал.
Медицина - это не то на что стоит ориентироваться в измерениях, и вряд ли вы сможете опубликовать научную статью про тепловые эффекты реакций, указав в качестве измерительного прибора медицинский термометр. Но есть вы пользуетесь поверенными измерительными приборами высокого класса с зеркальной шкалой, то смело можете указывать показания с точность до половины деления (не округляя). То есть, если цена деления миллиамперметра составляет 1 мА, то измеренное значение 34,5 мА будет правильным, а 34,2 - неправильным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение13.10.2021, 23:40 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение18.10.2021, 22:40 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
Я ещё придумал пример.
Пусть мы получили результат измерения $l_0=1374,27\ \text{м}$ и абсолютную погрешность $\Delta l=8,34\ \text{м}$ (случайной погрешности нет). Округляем погрешность к одной значащей цифре: $\Delta l=8\ \text{м}$ и округляем результат измерения к младшему разряду абсолютной погрешности: $l_0=1374\ \text{м}$. Тогда $l=(1374\pm8)\ \text{м}$. Пусть мы хотим привести этот результат в таблице, но без указания абсолютной погрешности. Получается, что если мы примем соглашение, что погрешность результатов, приведённых в таблице равна половине единицы разряда сомнительной цифры (последней цифры) или даже единице разряда сомнительной цифры, то мы не можем указать наш результат в таблице ни как $1,374\cdot10^3\ \text{м}$, ни даже как $1,37\cdot10^3\ \text{м}$. Тогда что делать, округлить "ещё сильнее" и писать в таблице $1,4\cdot10^3\ \text{м}$ или придумывать другое соглашение "считывания" погрешности из данных, приведённых в таблице?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение18.10.2021, 23:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
misha.physics в сообщении #1535396 писал(а):
Получается, что если мы примем соглашение, что погрешность результатов, приведённых в таблице равна половине единицы разряда сомнительной цифры (последней цифры) или даже единице разряда сомнительной цифры, то мы не можем указать наш результат в таблице ни как $1,374\cdot10^3\ \text{м}$, ни даже как $1,37\cdot10^3\ \text{м}$.
Почему? Для правильной порядковой оценки погрешности вполне сойдет второй вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение18.10.2021, 23:30 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
Pphantom в сообщении #1535398 писал(а):
Почему? Для правильной порядковой оценки погрешности вполне сойдет второй вариант.

Я рассуждаю так, если мы напишем в таблице $1,37\cdot10^3\ \text{м}$ и договоримся, что погрешностью будет даже единица разряда сомнительной цифры, то есть погрешностью будет $10\ \text{м}$, то получится, что истинное значение величины $l$ находится в отрезке $[1,36\cdot10^3\ \text{м};1,38\cdot10^3\ \text{м}]$. А если мы вспомним, что раньше у нас было:
misha.physics в сообщении #1535396 писал(а):
Тогда $l=(1374\pm8)\ \text{м}$.

то, например, значение $(1374+8)\ \text{м}=1382\ \text{м}$ не принадлежит отрезку $[1,36\cdot10^3\ \text{м};1,38\cdot10^3\ \text{м}]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение18.10.2021, 23:51 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
misha.physics, я же уже писал: это порядковая оценка. Если для вас важна (действительно важна) разница между погрешностью 8 м и 10 м, то такие методы попросту не годятся, надо честно указывать погрешность (причем, возможно, несимметричную, и с явным указанием метода ее оценки).

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение19.10.2021, 00:22 
Аватара пользователя


17/03/17
679
Львів
Pphantom, спасибо, хорошо, мне правда непросто привыкнуть к этому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение19.10.2021, 01:53 


17/10/16
1296
misha.physics
У нас задано число, распределенное на отрезке шириной $16$ метров. А в десятичной системе оборванное число распределено на отрезке, равном одному младшему разряду, т.е. на отрезке либо $10$, либо $100$ метров (ближайшие подходящие варианты). Если мы хотим, чтобы первый диапазон непременно уложился во второй, то придется брать $100$ метров, т.е. писать $1,4\times 10^3$ метров.

Но это просто какая-то неправильная таблица получится. В ней величина погрешности измерения чрезмерно огрубляется до степени 10. А как же все остальные промежуточные варианты величины погрешности? В хорошей таблице так грубо не станут писать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение19.10.2021, 03:26 


17/10/16
1296
wrest в сообщении #1534646 писал(а):
Но так и не понял как можно намерить диаметр десять штангенциркулем, у прутка диаметром пять...

Я думаю, гауссиана - это асимптотическое приближение для суммы конечного числа случайных величин, каждая из которых имеет конечное распределение (например, равномерное), где число этих величин стремится к бесконечности. Например, гауссиана отлично приближает биномиальное распределение (распределение суммы случайных величин, каждая из которых имеет конечное распределение вида 1 - 0.5, 0 - 0.5).
Если взять $N$ случайных величин, каждая из которых имеет равномерное распределение на интервале -1...1 и найти распределение их суммы, то с одной стороны, вероятность отклонения этой суммы от нуля на величину более $N$ в точности нулевая, а с другой - гауссиана описывает это распределение все точнее и точнее с ростом $N$. Так что в реальности, я думаю, мы имеем дело все же с конечными $N$ и ограниченными распределениями, а гауссиана - это идеализация, асимптота для бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точность, абсолютная погрешность и округление
Сообщение19.10.2021, 06:19 
Аватара пользователя


21/01/09
3773
Дивногорск
sergey zhukov в сообщении #1535416 писал(а):
Так что в реальности, я думаю, мы имеем дело все же с конечными и ограниченными распределениями, а гауссиана - это идеализация
Любое аналитически заданное распределение - идеализация.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group