Точность, абсолютная погрешность и округление

[misha.physics]

Здравствуйте.
Запутался в следующем.
Пусть нам сообщили или мы посмотрели в какой-то таблице значение некоторой физической величины, например $l_0=38.52\ \text{см}$. Далее говорится, что такая запись означает, что величина $l$ задана с точностью, равной половине младшего разряда, то есть разряда сомнительной цифры, то есть последней цифры. В нашем случаем эта точность равна $\frac{0.01\ \text{см}}{2}=0.005\ \text{см}$. Тогда величина $l$ находится в пределах: $38.515\ \text{см}<l<38.525\ \text{см}$.

С другой стороны, есть формула $l=l_0\pm\Delta l$, где $l_0$ - результат измерения величины $l$, $\Delta l$ - абсолютная погрешность (или точнее граница абсолютной погрешности). Абсолютная погрешность может складываться из разных слагаемых, допустим нам сообщили, что она равна $0.007\ \text{см}$ (мы пишем только одну значащую цифру). Далее говорится, что одним из правил округления является то, что количество значащих цифр в результате измерения должно быть таким, чтобы сомнительная цифра имела порядок абсолютной погрешности. Пусть у нас есть неокруглённый результат косвенного измерения $l_0=28.3147...$, тогда получается, что мы должны его округлить до тысячных: $l_0=28.315\ \text{см}$, и можем написать: $l=(28.315\pm0.007)\ \text{см}$.

Тогда мне непонятно, почему в первой части нам дано значение $l_0=38.52\ \text{см}$ с точностью до сотых, но при этом существует правило для нахождения точности этого значения, которое (правило) дает для этой точности порядок тысячных ($0.005\ \text{см}$), а не сотых. Или первая и вторая части никак не связанны? Точность и абсолютная погрешность это одно и то же? Просто получается разница на один порядок.

И можно ли в первой части вместо строгих неравенств написать нестрогие: $38.515\ \text{см}\leqslant l\leqslant38.525\ \text{см}$ по аналогии со знаком равенства во второй части: $l=(28.315\pm0.007)\ \text{см}$?

[Pphantom]

misha.physics в сообщении #1534634 писал(а):

Далее говорится, что такая запись означает, что величина $l$ задана с точностью, равной половине младшего разряда, то есть разряда сомнительной цифры, то есть последней цифры. В нашем случаем эта точность равна $\frac{0.01\ \text{см}}{2}=0.005\ \text{см}$.

Это один из вариантов правила. Не менее часто встречается вариант с единицей младшего разряда, а главное во всем этом - то, что фактически это порядковая оценка погрешности.

misha.physics в сообщении #1534634 писал(а):

абсолютная погрешность (или точнее граница абсолютной погрешности).

А еще точнее - характерная оценка абсолютной погрешности. Случайные ошибки распределены по гауссиане, так что в принципе абсолютная погрешность однократного измерения может быть сколь угодно большой (просто это крайне маловероятно).

Так что если для погрешности хочется чего-то лучшего, чем порядковая оценка, то правилом числа значащих цифр пользоваться не стоит - для таких целей оно слишком грубое.

[wrest]

(О Гауссе)

Pphantom в сообщении #1534644 писал(а):

Случайные ошибки распределены по гауссиане, так что в принципе абсолютная погрешность однократного измерения может быть сколь угодно большой (просто это крайне маловероятно).

Вы прям как мой преподаватель по терверу. Ну он говорил что обычно случайные ошибки по Гауссу и т.п. Я у него спросил как-то "ну хорошо, вот есть пруток диаметром пять и исправнй штангенциркуль, я меряю и вы говорите, что могу намерить десять?" На что он сказал "можете, но это крайне маловероятно". Запомнил на всю жизнь. Но так и не понял как можно намерить диаметр десять штангенциркулем, у прутка диаметром пять...

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1534634 писал(а):

Просто получается разница на один порядок.

Нет, 0.005 отличается от 0.01 не на порядок, а в два раза. При оценке погрешностей это чаще всего несущественная разница.

Кроме того, нередко при инженерных расчётах берут больше цифр, чем нужно, просто чтобы не накапливалась погрешность округления промежуточных результатов.

А погрешности в каждом конкретном случае могут означать разные вещи. В одном случае это будет среднеквадратичное отклонение, сигма, в другом - три сигмы, в третьем - максимальное отклонение. Для грубых оценок разница некритична. В любом случае, если требуется большая точность, то, скорее всего, требуется, также, учитывать реальное распределение вероятности ошибки, а не только её приближение гауссовой кривой. Которая нередко хорошо описывает распределение суммы большого числа случайных величин, но не всегда.

[Александрович]

wrest в сообщении #1534646 писал(а):

Но так и не понял как можно намерить диаметр десять штангенциркулем, у прутка диаметром пять...

Никак. В данном случае применяется ограниченный нормальный закон.

[Emergency]

wrest в сообщении #1534646 писал(а):

как можно намерить диаметр десять штангенциркулем, у прутка диаметром пять...

А вы попробуйте измерить пруток несколько миллионов раз подряд. Первый десяток уложится в погрешность 0,1 мм, а через миллион, вы можете и пруток вместе с пальцем измерить. :)

[Alex-Yu]

wrest в сообщении #1534646 писал(а):

Ну он говорил что обычно случайные ошибки по Гауссу и т.п.

В физике все формулы приближенные. Кроме того, они всегда относятся (даже приближенно) лишь к ограниченной области. Распределение Гаусса здесь не исключение. Далеко на "хвостах" оно вообще неверно. Но в районе "макушки" очень даже не плохо.

Кстати, математики обычно (не всегда, но обычно) эту банальную для физика вещь не понимают напрочь.

[realeugene]

Alex-Yu в сообщении #1534668 писал(а):

Далеко на "хвостах" оно вообще неверно.

Это, тоже, не совсем правильное утверждение. При большом количестве одинаково распределённых слагаемых, вносящих вклад в этот гаусс, распределение бывает верным и достаточно далеко на хвостах, чтобы изучать именно хвосты. В каком-нибудь тепловом шуме.

[wrest]

Alex-Yu в сообщении #1534668 писал(а):

Распределение Гаусса здесь не исключение. Далеко на "хвостах" оно вообще неверно. Но в районе "макушки" очень даже не плохо.

Да, и поскольку изучался именно Гаусс (с бесконечными хвостами), и это была математика (тервер) а не физика, то и ответ был такой. Видимо, преподаватель не хотел вдаваться в детали, а исходил из того, что "если" распределение по Гауссу, "то" намерить можно что угодно.

(Оффтоп)

Просто это был очень такой яркий момент в жизни и мы, студенты, потом часто повторяи между собой как присказку, мол "Можно! Но вероятность этого очень мала!". С этим преподавателем таких моментов было два, первый я описал. А второй был такой. Обсуждалось, на семинаре (или коллоквиуме, не помню), что значит "велика" или "мала" вероятность чего-либо. И вот он говорит "Вот вы говорите что 5% это небольшая вероятность. Но если вам скажут, что если вы пойдете под этой аркой и на вас с вероятностью 5% упадёт кирпич, то вероятность 5% уже не покажется вам "малой", не так ли? Пойдете ли вы в эту арку?"
Очень доходчиво.

-- 12.10.2021, 10:33 --

Emergency в сообщении #1534667 писал(а):

А вы попробуйте измерить пруток несколько миллионов раз подряд. Первый десяток уложится в погрешность 0,1 мм, а через миллион, вы можете и пруток вместе с пальцем измерить. :)

Не совсем правильный подход. Правильный был бы такой, что вот в мире есть миллионы исправных штангенциркулей и каждый день ими измеряют прутки в том числе диаметром пять. И вот, примерно раз в год, в результате измерения у кого-то таки выходит десять. В это поверить уже легче, но все равно непросто. И особенно непросто поверить в то что такой хвост и будет. Дальше ессно встает вопрос если реальный хвост при измерени прутка штангенциркулем не такой как у Гаусса, то какой тогда, почему, и где этот хвост ещё как у Гаусса и где уже нет. Я думаю, что преподаватель не хотел вдаваться именно в это разбирательство, поскольку это уже была бы не математика, а физика.

[Alex-Yu]

realeugene в сообщении #1534670 писал(а):

При большом количестве одинаково распределённых слагаемых, вносящих вклад в этот гаусс, распределение бывает верным и достаточно далеко на хвостах

Это смотря насколько далеко. Конечно, в каждом конкретном случае область, где гауссиан еще работает, своя. Но она всегда конечна.

-- Вт окт 12, 2021 15:25:18 --

wrest в сообщении #1534674 писал(а):

5% это небольшая вероятность.

5% --- это большая вероятность. Во всех смыслах. А вот, скажем, $10^{-40}}$ -- это вероятность малая. И никакие гауссианы на таком уровне не работают.

-- Вт окт 12, 2021 15:29:51 --

Emergency в сообщении #1534667 писал(а):

Первый десяток уложится в погрешность 0,1 мм, а через миллион, вы можете и пруток вместе с пальцем измерить.

Если дисперсия порядка 0.1, то (формальная) вероятность ~5 (в разумном интервале) будет $\sim e^{-2500}$. Грубо говоря, порядка $1/10^{1000}$. Никакими миллионами и даже триллионами тут и "не пахнет". Для справки: число элементарных частиц во всей (!!!) вселенной что-то то ли $10^{40}$ то ли $10^{80}$. Что ну никак сравнить нельзя. В общем таких чисел, как $10^{1000}$,в физике вообще не бывает. Этом математическая фантазия, к реальности не имеющая никакого отношения. $1/10^{1000}$ равняется нулю. Причем точно равняется нулю (в физике).

[wrest]

Alex-Yu в сообщении #1534684 писал(а):

5% --- это большая вероятность. Во всех смыслах.

Вот как раз в смыслах и был смысл той беседы.
Допустим вам говорят - купите лотерейный билет за 100 рублей и с вероятностью 5% выиграйте 200 рублей. Нет, говорите вы, в предлагаемом смысле вероятность слишком мала. Тогда вам говорят - ну хорошо, оставляем цену билета 100 и вероятность 5% а выигрыш увеличиваем до 2000 рублей. Вы опять говорите "ну такое себе, даш на даш, можно и попробовать". И вот когда вам предложат выигрыш 20 000 при цене билета 100 и вероятности 5%, тогда вероятность становится уже очень большой. Но тут вы, конечно, тоже отказываетесь, в виду очевидности такого "лохотрона".

[Pphantom]

Для определенности лучше отделять мух от котлет. Гауссово распределение - математическая модель, реализующаяся в предположении, что все ошибки случайны. Понятно, что это предположение хорошо работает только в некотором диапазоне величин ошибок, но это все-таки проблема не модели самой по себе, а ее применимости к тому или иному случаю. Однако оценки погрешности, которые интересовали ТС, делаются в предположении о применимости этой модели.

[sergey zhukov]

misha.physics
Что вообще означает $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$?
Если у нас прибор с делениями по $2 \times 70=140$ микрон, и мы уверены, что вся погрешность измерения происходит только от округления результата измерения до ближайшего целого деления этого прибора, то мы может сказать совершенно достоверно: точное значение измеряемой величины с вероятностью 100% отклоняется от результата измерения не более, чем на пол-деления шкалы прибора. Это ошибка округления, про которую все известно точно.
Но обычно запись $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$ означает "результат измерения лежит в указанных пределах с заданной вероятностью", а не с вероятностью 100%. Так что эта запись мало что означает, если не указана эта самая вероятность.
Более точно будет так: результат измерения считается случайной величиной с каким-то распределением. Обычно считают, что это распределение Гаусса, у которого есть два параметра: среднее значение и дисперсия. Вот при этих предположениях в выражении $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$ фактически и указаны оценки среднего значения и дисперсии (точнее одиночного или удвоенного или утроенного и т.д. среднеквадратичного отклонения) этого распределения для величины результата измерения.
Если не говорить о вероятности, на ваш вопрос четкого ответа дать нельзя.

[misha.physics]

Спасибо всем.

sergey zhukov в сообщении #1534714 писал(а):

Что вообще означает $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$?
Если у нас прибор с делениями по $2 \times 70=140$ микрон, и мы уверены, что вся погрешность измерения происходит только от округления результата измерения до ближайшего целого деления этого прибора, то мы может сказать совершенно достоверно: точное значение измеряемой величины с вероятностью 100% отклоняется от результата измерения не более, чем на пол-деления шкалы прибора. Это ошибка округления, про которую все известно точно.
Но обычно запись $l=(28.315\pm0.007 \text{см})$ означает "результат измерения лежит в указанных пределах с заданной вероятностью", а не с вероятностью 100%. Так что эта запись мало что означает, если не указана эта самая вероятность.

Да, я подразумевал "простую ситуацию" без случайной погрешности, но при этом кроме погрешности округления (погрешности отсчёта) может быть ещё погрешность прибора. Вообще, меня запутало и я здесь больше имел ввиду, почему в первом моем случае абсолютная погрешность составляет половину единицы округлённого результата измерения, а во втором случае результат измерения округляется до единиц абсолютной погрешности. Но теперь, я кажется понял, принимая во внимание:

Pphantom в сообщении #1534644 писал(а):

Это один из вариантов правила. Не менее часто встречается вариант с единицей младшего разряда, а главное во всем этом - то, что фактически это порядковая оценка погрешности.

realeugene в сообщении #1534659 писал(а):

Нет, 0.005 отличается от 0.01 не на порядок, а в два раза. При оценке погрешностей это чаще всего несущественная разница.

А может ли существовать следующий вариант. Мы приводим в какой-то таблице значение $l_0=38.520\ \text{см}$, подразумевая здесь все цифры значащами и договариваемся считать абсолютную погрешность равной половине единицы предпоследнего разряда, то есть при таком подходе абсолютная погрешность будет равна $\frac{0.01\ \text{см}}{2}=0.005\ \text{см}$. Тогда и в результате измерения ($l_0=38.520\ \text{см}$), и в абсолютной погрешности ($0.005\ \text{см}$) будет одинаковое количество цифр после запятой. Просто интересно, может ли в принципе существовать такой вариант правила округления?

[sergey zhukov]

misha.physics

misha.physics в сообщении #1534720 писал(а):

Да, я подразумевал "простую ситуацию" без случайной погрешности, но при этом кроме погрешности округления (погрешности отсчёта) может быть ещё погрешность прибора.

Так вот эта погрешность прибора и превращает результат измерения в случайную величину с распределение Гаусса. Это уже и есть "сложный" случай.

misha.physics в сообщении #1534720 писал(а):

А может ли существовать следующий вариант.

Например, нужно привести в таблице число $e=2,7182818281...$ с точностью до двух цифр после запятой. Я записываю $2,72$ с точностью $0,005$. А вы предлагаете записывать его, как $2,718$ (или даже $2,710$) с той же точностью $0,005$, хотя на самом деле здесь либо более высокая точность $0,0005$, либо просто лишние нули в конце каждого числа.