Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1

[zykov]

Хм, так при уменьшении масштаба эти конечные разности просто будут ложится на эту касательную плоскость всё более, и более точно.

[пианист]

metelev в сообщении #1533959 писал(а):

хочется не только доказательства, но и представить себе, как это получается

Например, так: что 1, понятно, ну, можно поверить, вопрос, откуда взялся минус.
Смотрим на формулу, видим, что из серединки, потому, что
$x_y = - \frac{z_y}{z_x}$.
А в выражении для $x_y$ минус потому, что при вычислении фиксируем $z$, так что $\delta x$ и $\delta y$ должны быть разного знака.

[metelev]

пианист в сообщении #1534254 писал(а):

А в выражении для $x_y$ минус потому, что при вычислении фиксируем $z$, так что $\delta x$ и $\delta y$ должны быть разного знака.

$\delta x$ и $\delta y$ будут разного знака, если $z_y$ и $z_x$ будут одинакового. А это не обязательно.

[пианист]

Да, вы правы, нужно за этим следить.
Ну, сори, фокус не удался ;(

[B.A.S.]

А можно так.
Придаем $x$ некоторое приращение при неизменном $y$. При этом $z$ также получает приращение.
Теперь придаем $y$ такое приращение при неизменном $x$, чтобы $z$ вернулся к прежнему значению.
В результате можно считать, что $z$ оставался постоянным, а значит, отношение приращений $x$ и $y$ как раз соответствует частной производной. Но $z$ получил два приращения, которые отличаются знаком, отсюда и минус.
А вообще забавное равенство, почему-то не встречал его раньше.

[metelev]

B.A.S.
Не, так не пойдёт. Если бы это было верное рассуждение, то получилось бы, что $\partial y/\partial x$ всегда отрицательна, а это не правда.

Тут три согласованных между собой частных производных. Если про две мы всё знаем, то и про третью тоже всё знаем. Но сама по себе она может быть любой. А у Вас получается, что две других никак не определены, а Вы рассуждаете про третью.

Это примерно как с поверхностью. Если у нас есть поверхность, можно считать, что независимые переменные $x$ и $y$, а $z$ определяется через требование, чтобы точка лежала на поверхности. А можно по-другому, сказать, что независимые переменные $y$ и $z$, а зависимой переменной считать $x$.

[zykov]

Мне кажется, тут проще.
Всего тут есть 6 вариантов частных производных. Независимых из них только 2 (чтобы задать плоскость в 3D).
Например если задать $z_x$ и $z_y$, то очевидно $x_z=\frac{1}{z_x}$ и $y_z=\frac{1}{z_y}$.
Менее очевидно, но тоже легко доказать, что $x_y=-\frac{z_y}{z_x}=-\frac{x_z}{y_z}$ и $y_x=-\frac{z_x}{z_y}=-\frac{y_z}{x_z}$.
А если это доказали, то тройное произведение автоматом получаете.

[B.A.S.]

metelev в сообщении #1534281 писал(а):

B.A.S.
Не, так не пойдёт. Если бы это было верное рассуждение, то получилось бы, что $\partial y/\partial x$ всегда отрицательна, а это не правда.

Почему всегда отрицательна? Приращения $x$ и $y$ могут быть любого знака, лишь бы они нейтрализовали друг друга в плане воздействия на величину $z$.
Можно еще так - меняем $x$ за счет изменения $y$ (т.е. $z$ остается неизменным), затем возвращаем $y$ к прежнему значению за счет изменения $z$, затем возвращаем $z$ к прежнему значению за счет изменения $x$. В результате все переменные вернутся к исходным значениям, и в выражении

$$\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$

частные дифференциалы каждой переменной в числителе и в знаменателе отличаются только знаком, откуда всё и следует.
Отсюда еще видно, что точное равенство сохранится даже для конечных приращений, хотя их отношения и не обязаны быть в точности равными соответствующим частным производным.

[metelev]

B.A.S. в сообщении #1534301 писал(а):

Почему всегда отрицательна?

Потому что у Вас так написано:

B.A.S. в сообщении #1534278 писал(а):

В результате можно считать, что $z$ оставался постоянным, а значит, отношение приращений $x$ и $y$ как раз соответствует частной производной. Но $z$ получил два приращения, которые отличаются знаком, отсюда и минус.

Дальше Вы это рассуждение немножечко доработали и получили то, что я пытался раньше сказать уважаемому сообществу.

B.A.S. в сообщении #1534301 писал(а):

частные дифференциалы каждой переменной в числителе и в знаменателе отличаются только знаком, откуда всё и следует.

Но такие рассуждения "на коленке" мало кому интересны. Честно говоря пожалел уже, что эту тему завёл Сам по себе факт, который мы обсуждаем, и так является твёрдо установленным. Правдоподобные рассуждения и есть не более, чем правдоподобные рассуждения. Приложить эти благоприобретённые знания вроде как некуда.