Хочется написать, не знаю куда поместить. Потому что вопроса никакого нет, хочется поделиться. Не знаю, может это очевидные вещи. Касаются выражения вида
![$\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=-1$ $\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=-1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/c/0ccc7d63109e97718e41535983a269ef82.png)
Корифеи говорят, что сокращать нельзя, и говорят в качестве пояснения общие слова.
Например, Владимир Иванович Смирнов в своей книге "Курс высшей математики", том 1, стр. 207 (у меня издание 2008 года) пишет:
![Изображение](https://i.ibb.co/26gHXxH/klapeiron-ddd.png)
Дмитрий Васильевич Сивухин в "Термодинамике и молекулярной физике", стр. 37 (том 2 "Общего курса физики", у меня издание 1999 года) пишет:
![Изображение](https://i.ibb.co/Mf9pCm9/klapeiron-ddd-sivuhin.png)
Я не спорю, но хочется понять глубже, что же тут происходит. Для этого можно написать в виде конечных разностей.
Допустим у нас есть функция
![$z(x,y)$ $z(x,y)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/2/f325aecce16ca7186b22b67a63241d5882.png)
. Она задаёт некоторую поверхность. Возьмём на этой поверхности три точки. Первую точку
![$(x_1,y_1,z_1)$ $(x_1,y_1,z_1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c759c6ce2c28af4b1448f00cc0b4c582.png)
.
Я об этом думаю так: беру произвольные числа
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
, а
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
вычисляю по формуле и получаю набор из трёх чисел.
Вторую точку
![$(x_2, y_2, z_2)=(x_1+\Delta x,y_1,z_1+\Delta z)$ $(x_2, y_2, z_2)=(x_1+\Delta x,y_1,z_1+\Delta z)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/2/a22904e990b928762e4562ae601587c882.png)
. И третью точку
![$(x_3, y_3, z_3)=(x_1,y_1+\Delta y, z_1+\Delta z)$ $(x_3, y_3, z_3)=(x_1,y_1+\Delta y, z_1+\Delta z)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/0/c00ae2cdfb5d380f5534bfcc3a71c22382.png)
, причём
![$\Delta y$ $\Delta y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/d/6cdbd8b3d0f19eed7f05bab4480194ae82.png)
выберем таким, чтобы
![$\Delta z$ $\Delta z$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/c/d8cdb2a4c018cdd28ba3a4b7d3fa7f9e82.png)
совпало с таковым для второй точки.
Частная производная примерна равна отношению прирашений
![$\frac{\partial z}{\partial x}\approx \frac{\Delta z}{\Delta x}$ $\frac{\partial z}{\partial x}\approx \frac{\Delta z}{\Delta x}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/8/4a833dec2047a444607c5023d3c7e72782.png)
. Причём когда мы берём конечные разности не важно, какую точку считать базовой, а для какой записывать приращение. Если мы будем идти от точки 2 к точке 1 оба приращения останутся теми же самыми по модулю, и поменяют знак, так что на их отношении такая замена никак не скажется.
Итак, мы хотим составить произведение трёх производных. От какой точки к какой точке при этом идти, нам не важно. Поэтому пройдём по циклу, от 1 в 2, от 2 в 3 и от 3 снова в 1. При этом сумма всех приращений будет равна нулю, так как мы вернёмся в исходную точку.
Чтобы в сумме получилось нулевое приращение координаты
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
должно быть
![$\Delta z_{12}=-\Delta z_{31}$ $\Delta z_{12}=-\Delta z_{31}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/1/4e14ffedf0add23b6f1405f45ab6678782.png)
. Здесь нижние индексы обозначают точки, между которыми происходит изменение. Аналогично по другим двум координатам.
Ну вот, собственно, и всё.