2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение05.10.2021, 16:23 


18/09/21
1676
Хм, так при уменьшении масштаба эти конечные разности просто будут ложится на эту касательную плоскость всё более, и более точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение08.10.2021, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
metelev в сообщении #1533959 писал(а):
хочется не только доказательства, но и представить себе, как это получается

Например, так: что 1, понятно, ну, можно поверить, вопрос, откуда взялся минус.
Смотрим на формулу, видим, что из серединки, потому, что
$x_y = - \frac{z_y}{z_x}$.
А в выражении для $x_y$ минус потому, что при вычислении фиксируем $z$, так что $\delta x$ и $\delta y$ должны быть разного знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение08.10.2021, 11:21 
Аватара пользователя


20/03/12
267
СПб
пианист в сообщении #1534254 писал(а):
А в выражении для $x_y$ минус потому, что при вычислении фиксируем $z$, так что $\delta x$ и $\delta y$ должны быть разного знака.


$\delta x$ и $\delta y$ будут разного знака, если $z_y$ и $z_x$ будут одинакового. А это не обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение08.10.2021, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Да, вы правы, нужно за этим следить.
Ну, сори, фокус не удался ;(

 Профиль  
                  
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение08.10.2021, 15:58 
Аватара пользователя


23/07/21
18
А можно так.
Придаем $x$ некоторое приращение при неизменном $y$. При этом $z$ также получает приращение.
Теперь придаем $y$ такое приращение при неизменном $x$, чтобы $z$ вернулся к прежнему значению.
В результате можно считать, что $z$ оставался постоянным, а значит, отношение приращений $x$ и $y$ как раз соответствует частной производной. Но $z$ получил два приращения, которые отличаются знаком, отсюда и минус.
А вообще забавное равенство, почему-то не встречал его раньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение08.10.2021, 16:26 
Аватара пользователя


20/03/12
267
СПб
B.A.S.
Не, так не пойдёт. Если бы это было верное рассуждение, то получилось бы, что $\partial y/\partial x$ всегда отрицательна, а это не правда.

Тут три согласованных между собой частных производных. Если про две мы всё знаем, то и про третью тоже всё знаем. Но сама по себе она может быть любой. А у Вас получается, что две других никак не определены, а Вы рассуждаете про третью.

Это примерно как с поверхностью. Если у нас есть поверхность, можно считать, что независимые переменные $x$ и $y$, а $z$ определяется через требование, чтобы точка лежала на поверхности. А можно по-другому, сказать, что независимые переменные $y$ и $z$, а зависимой переменной считать $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение08.10.2021, 17:20 


18/09/21
1676
Мне кажется, тут проще.
Всего тут есть 6 вариантов частных производных. Независимых из них только 2 (чтобы задать плоскость в 3D).
Например если задать $z_x$ и $z_y$, то очевидно $x_z=\frac{1}{z_x}$ и $y_z=\frac{1}{z_y}$.
Менее очевидно, но тоже легко доказать, что $x_y=-\frac{z_y}{z_x}=-\frac{x_z}{y_z}$ и $y_x=-\frac{z_x}{z_y}=-\frac{y_z}{x_z}$.
А если это доказали, то тройное произведение автоматом получаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение08.10.2021, 18:16 
Аватара пользователя


23/07/21
18
metelev в сообщении #1534281 писал(а):
B.A.S.
Не, так не пойдёт. Если бы это было верное рассуждение, то получилось бы, что $\partial y/\partial x$ всегда отрицательна, а это не правда.


Почему всегда отрицательна? Приращения $x$ и $y$ могут быть любого знака, лишь бы они нейтрализовали друг друга в плане воздействия на величину $z$.
Можно еще так - меняем $x$ за счет изменения $y$ (т.е. $z$ остается неизменным), затем возвращаем $y$ к прежнему значению за счет изменения $z$, затем возвращаем $z$ к прежнему значению за счет изменения $x$. В результате все переменные вернутся к исходным значениям, и в выражении
$$\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$
частные дифференциалы каждой переменной в числителе и в знаменателе отличаются только знаком, откуда всё и следует.
Отсюда еще видно, что точное равенство сохранится даже для конечных приращений, хотя их отношения и не обязаны быть в точности равными соответствующим частным производным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1
Сообщение08.10.2021, 19:06 
Аватара пользователя


20/03/12
267
СПб
B.A.S. в сообщении #1534301 писал(а):
Почему всегда отрицательна?


Потому что у Вас так написано:
B.A.S. в сообщении #1534278 писал(а):
В результате можно считать, что $z$ оставался постоянным, а значит, отношение приращений $x$ и $y$ как раз соответствует частной производной. Но $z$ получил два приращения, которые отличаются знаком, отсюда и минус.


Дальше Вы это рассуждение немножечко доработали и получили то, что я пытался раньше сказать уважаемому сообществу.

B.A.S. в сообщении #1534301 писал(а):
частные дифференциалы каждой переменной в числителе и в знаменателе отличаются только знаком, откуда всё и следует.


Но такие рассуждения "на коленке" мало кому интересны. Честно говоря пожалел уже, что эту тему завёл :-) Сам по себе факт, который мы обсуждаем, и так является твёрдо установленным. Правдоподобные рассуждения и есть не более, чем правдоподобные рассуждения. Приложить эти благоприобретённые знания вроде как некуда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group