Задача на холодильную машину из Савченко

[Ilya_Samul]

Здравствуйте. Нужна помощь с задачей. Савченко 5.9.25.
Условие:
Какую минимальную работу нужно затратить для того, чтобы заморозить 1 кг воды, находящейся при температуре окружающей среды 300 K?
Ответ: 46кДж
При прочтении условия сразу возник вопрос "как же у меня будет работать тепловая/холодильная машина, если у меня изначально температуры нагревателя и холодильника одинаковы". Я попытался этот вопрос у себя в голове проигнорировать и решить задачу через энтропию, ведь она в обратном цикле Карно не меняется, но ответ не сошёлся. Я попытался просто интегрировать и вот что получилось:

$$A = \int\limits_{0}^{c(T_1 - T_0)} \frac{T_2}{T_1 - T_2} d Q = \int\limits_{0}^{c(T_1 - T_0)} \frac{T_1 - \frac{Q}{c}}{T_1 - T_1 + \frac{Q}{c}} d Q = \int\limits_{0}^{c(T_1 - T_0)} \left(\frac{T_1 c}{Q} - 1\right) d Q =$$

$$=T_1 c \ln{(c(T_1 - T_0))} - c(T_1 - T_0) - \ln{0} + 0$$

Тут $T_1$ – температура окружающей среды, $T_2$ – температура воды, $T_0$ – $0^o C$, c – теплоемкость воды, $Q$ – теплота отнятая у воды. Тут я даже не приводил расчет работы при заморозке воды, потому что уже при охлаждении воды у меня вылез $\ln{0}$

[sergey zhukov]

Ilya_Samul
Покажите, в какой формуле и на каком этапе вычислений получается $\ln(0)$. Тепловая машина может начать охлаждать воду и с нулевой разницы температур, полная работа охлаждения все равно остается конечной.

[EUgeneUS]

Ilya_Samul в сообщении #1526781 писал(а):

"как же у меня будет работать тепловая/холодильная машина, если у меня изначально температуры нагревателя и холодильника одинаковы"

Действительно удивительно. Как же у Вас холодильник включается после покупки и включения в розетку.

[Emergency]

Ilya_Samul в сообщении #1526781 писал(а):

Какую минимальную работу нужно затратить...

Поскольку речь о минимальной работе, можно считать процесс равновесным (обратимым), поэтому можно попробовать решать обратную задачу - растопить и нагреть.

[sergey zhukov]

Emergency
И какая же минимальная работа для этого обратного процесса потребуется? По моему, нулевая.

Обратная задача такая: какую суммарную работу выполнит тепловая машина Карно, если в качестве холодильника у нее - килограмм льда при температуре 273K, а в качестве нагревателя - тело с постоянной температурой 300К.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[EUgeneUS]

Ilya_Samul в сообщении #1526781 писал(а):

Ответ: 46кДж

Тут опечатки нет?

У этой задачи два решения вижу я:
1. Простое. В нем у меня получился ответ $40$ кДж (более точно $39.9$ кДж). Что уже меньше, приведенного в задачнике ответа.
2. Более сложное. Которое должно дать еще меньшую величину. И которое пытается выполнить ТС.

[Ilya_Samul]

sergey zhukov
Отредактировал сообщение и привел решение

-- 23.07.2021, 14:29 --

Emergency
Я отредактировал сообщение и привел свое решение. Если решать обратную задачу то интеграл будет таким же

-- 23.07.2021, 14:30 --

EUgeneUS
ТС – это?

-- 23.07.2021, 14:32 --

EUgeneUS в сообщении #1526822 писал(а):

Ilya_Samul в сообщении #1526781 писал(а):

Ответ: 46кДж

Тут опечатки нет?

В савченко бывают опечатки в ответах, но не сказал бы что это частое явление

[EUgeneUS]

Ilya_Samul в сообщении #1526824 писал(а):

ТС – это?

Это Вы
ТС - "топик-стартер", кто создал тему.

-- 23.07.2021, 14:57 --

Ilya_Samul
Попытайтесь проговорить словами то, что Вы патаетесь записать в виде интеграла.

[Ilya_Samul]

EUgeneUS в сообщении #1526826 писал(а):

Это Вы
ТС - "топик-стартер", кто создал тему.

Спасибо, я просто новичек на форуме

-- 23.07.2021, 14:57 --

Цитата:

Ilya_Samul
Попытайтесь проговорить словами то, что Вы патаетесь записать в виде интеграла.

$\frac{T_2}{T_1 - T_2}$ – это холодильный коэффициент, то есть отношение отношение отнятой у холодильника теплоты к совершенной для этого работе. А дальше я думаю все понятно

[EUgeneUS]

Ilya_Samul в сообщении #1526828 писал(а):

А дальше я думаю все понятно

<del> тут было ошибочное, sorry </del>

Я просил несколько другое - описать словами процедуру охлаждения.

[Ilya_Samul]

Цитата:

Но я просил несколько другое - описать словами процедуру охлаждения.

Я запускаю тепловую машину, работающую по циклу карно, в обратном направлении и начинаю забирать у холодильника бесконечно малые порции теплоты, чтобы в пределах цикла, проходящего с одной порцией, можно было считать холодильный коэффициент постоянным. А затем суммирую работу по всем порциям

[EUgeneUS]

Ilya_Samul
Прекрасный, четкий ответ.

(Оффтоп)

Как и предполагал, это соответствует пункту 2 в этом посте
Ответ получится меньше, чем в задачнике. А если рассматривать только охлаждение, без замерзания - сильно меньше.
Но предлагаю довести этот путь до конца

Вы дали верное определение холодильного коэффициента и верно написали, чему он равен. Но при подстановке его в интеграл ошиблись. Проверьте внимательно, что у Вас написано после первого знака "равно" в стартовом посте.

Кстати, нашел тут ошибку:

EUgeneUS в сообщении #1526822 писал(а):

В нем у меня получился ответ $40$ кДж (более точно $39.9$ кДж).

после исправления получилось больше, но все равно не совпало с ответом в задачнике. Или опять где-то в арифметике накосячил, или использую другие справочные данные, отличающиеся от того, что дано в задачнике.

[Emergency]

Ilya_Samul в сообщении #1526781 писал(а):

Я попытался... решить задачу через энтропию, ведь она в обратном цикле Карно не меняется

Энтропия жидкой воды - 70, а твердой - 48 Дж/(моль*К).