2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 35, 36, 37, 38, 39
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.09.2023, 01:57 


03/06/12
2772
Если нигде не ошибся, то при произвольном $n$ для $i=1,\,2,\,\ldots\,n$ получается $b_{i\,i}=$

(Оффтоп)

$\dfrac{(-n+2i-1)a_{1\,2}}{2}$

При $n=3$ эти формулы дают в точности те элементы, которые стоят вот здесь:
Sinoid в сообщении #1605994 писал(а):
$B=\begin{pmatrix}-a_{1\,2} & \dfrac{-a_{1\,2}^{2}-a_{1\,3}}{2} & -a_{1\,2}a_{1\,3}\\
1 & 0 & \dfrac{-a_{1\,2}^{2}+a_{1\,3}}{2}\\
0 & 1 & a_{1\,2}
\end{pmatrix}$

в соответствующих местах. Пока тестирование полученной мной для произвольного $n$ формулы для элементов главной диагонали матрицы $B$ случаем $n=3$ подтверждает верность этой полученной формулы для произвольного $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.09.2023, 23:16 


03/06/12
2772
$b_{1\,2}=$

(Оффтоп)

$\dfrac{-a_{1\,2}^{2}-(n-2)a_{1\,3}}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение28.10.2023, 15:09 


04/10/17
12
Не могу понять, правильно ли я решил 3.21 б).

Пусть $\left\lvert X \right\rvert = m,\;\left\lvert Y \right\rvert = n,\;\sigma \in S_X,\;\tau \in S_Y.$ Определим $\xi \in S_X \times S_Y$, полагая $$\xi(x,y) = (\sigma(x), \tau(y)),\;x \in X, y \in Y.$$

Найти длины независимых циклов в разложении перестановки $\xi$, если известны длины $k_1,...,k_s$ и $l_1,...,l_t$ независимых циклов в разложении перестановок $\sigma$ и $\tau$ (с учётом циклов длины 1). Воспользовавшись этим найти $sgn\;\xi$.

В задачнике есть указание, что сначала стоит убедиться, что для ситуации, когда $\sigma и $\tau сами являются циклами, чётность $\xi$ совпадает с чётностью $m+n$, а $\xi$ разбивается на $gcd(m,n)$ циклов длины $lcm(m,n)$ каждый.

Моё решение.
Рассмотрим ситуацию, когда $\sigma и $\tau сами являются циклами. Всевозможных различных пар существует $m\cdot n$. Длина цикла пар равна $lcm(m,n)$, потому что для каждого элемента пары его собственный цикл должен уместиться в цикл пары целое число раз. Число циклов получается делением числа всех возможных комбинаций на длину цикла, поэтому оно равно $gcd(m,n)$. Каждый цикл можно разложить в $lcm(m,n)-1$ транспозицию, общее число транспозиций равно $(lcm(m,n) - 1)\cdot gcd(m,n)$.

Разбирая по очереди три разных случая для четных и нечётных $m$ и $n$ получаем:
$$(lcm(m,n) - 1)\cdot gcd(m,n) \mod 2 = (m \cdot n - gcd(m,n)) \mod 2 = (m+n) \mod 2.$$

Если теперь $\sigma$ и $\tau$ разбиваются на $s$ и $t$ циклов соответственно, то нам нужно сложить длины для всех возможных комбинаций циклов. Тогда итоговый ответ: $sgn\;\xi = m \cdot t + n \cdot s$.

Подскажите пожалуйста, верно ли это рассуждение?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1 ... 35, 36, 37, 38, 39

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group