2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Теорема об овеществлении
Сообщение29.11.2020, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Верно. По-другому: пусть $a + bx = c(x + 1) + d(x - 1) = (c - d) + (c + d)x$, т. е. $\begin{cases} a = c - d \\ b = c + d \end{cases}$, откуда $c = \frac{a + b}{2}, d = \frac{b - a}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об овеществлении
Сообщение30.11.2020, 01:07 


21/04/19
1182
Xaositect в сообщении #1494351 писал(а):
Пусть у нас $L$ - это пространство многочленов степени не более $2$ (т.е. $a + bx + cx^2$), в нем фиксирован базис $e_1 = 1, e_2 = x, e_3 = x^2$. $M$ - это пространство многочленов степени не более $1$ (т.е. $a + bx$), в нем фиксирован базис $e'_1 = x + 1, e'_2 = x - 1$. Отображение $f$ - это дифференцирование многочлена. Запишите матрицу этого отображения в паре базисов $(e_1, e_2, e_3)$ и $(e'_1, e'_2)$.

1.

$f(\textbf e_1)=f(\textbf 1)=\textbf 0=\xi_{11}(\textbf x + \textbf 1)+\xi_{21}(\textbf x - \textbf 1)$, где $\xi_{11}, \xi_{21}$ коэффициенты разложения вектора $\textbf 0$ по базису $(\textbf e'_1, \textbf e'_2)$.

Xaositect в сообщении #1494567 писал(а):
пусть $a + bx = c(x + 1) + d(x - 1) = (c - d) + (c + d)x$, т. е. $\begin{cases} a = c - d \\ b = c + d \end{cases}$, откуда $c = \frac{a + b}{2}, d = \frac{b - a}{2}$


Используем приведенные выражения для $c, d$, заметив, что вектор $\textbf a + b\textbf x$ выражен здесь через базис $\textbf 1, \textbf x$ и координаты $a, b$.

Тогда $c=\xi_{11}, d=\xi_{21}$.

Выразим вектор $\textbf 0$ в базисе $\textbf 1, \textbf x$: $\textbf 0=0\cdot \textbf 1+0\cdot \textbf x$. Поскольку здесь $a=b=0$, получим

$$\xi_{11}=\frac{a + b}2=\frac{0 + 0}2=0, \,\,\,\,\xi_{21}=\frac{b-a}2=\frac{0 - 0}2=0.$$

2.

$f(\textbf e_2)=f(\textbf x)=\textbf 1=\xi_{12}(\textbf x + \textbf 1)+\xi_{22}(\textbf x - \textbf 1)$, где $\xi_{12}, \xi_{22}$ коэффициенты разложения вектора $\textbf 1$ по базису $(\textbf e'_1, \textbf e'_2)$.

Теперь $c=\xi_{12}, d=\xi_{22}$.

Выразим вектор $\textbf 1$ в базисе $\textbf 1, \textbf x$: $\textbf 1=1\cdot \textbf 1+0\cdot \textbf x$. Поскольку здесь $a=1, \,\, b=0$, получим

$$\xi_{12}=\frac{a + b}2=\frac{1 + 0}2=\frac{1}2, \,\,\,\,\xi_{22}=\frac{b-a}2=\frac{0 - 1}2=-\frac{1}2.$$

3.

$f(\textbf e_3)=f(\textbf x^2)=2\textbf x=\xi_{13}(\textbf x + \textbf 1)+\xi_{23}(\textbf x - \textbf 1)$, где $\xi_{13}, \xi_{23}$ коэффициенты разложения вектора $2\textbf x$ по базису $(\textbf e'_1, \textbf e'_2)$.

Теперь $c=\xi_{13}, d=\xi_{23}$.

Выразим вектор $2\textbf x$ в базисе $\textbf 1, \textbf x$: $2\textbf x=0\cdot \textbf 1+2\cdot \textbf x$. Поскольку здесь $a=0, \,\, b=2$, получим

$$\xi_{13}=\frac{a + b}2=\frac{0 + 2}2=1, \,\,\,\,\xi_{23}=\frac{b-a}2=\frac{2 - 0}2=1.$$

Таким образом,

$$\begin {pmatrix}
0&1/2&1\\
0&-1/2&1
\end {pmatrix}$$

-- матрица отображения в паре базисов $(e_1, e_2, e_3)$ и $(e'_1, e'_2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об овеществлении
Сообщение30.11.2020, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Верно.
По овеществлению теперь вопросы остались?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об овеществлении
Сообщение30.11.2020, 18:04 


21/04/19
1182
Xaositect в сообщении #1494645 писал(а):
По овеществлению теперь вопросы остались?

Спасибо за помощь!

Есть такой вопрос. В https://scask.ru/c_book_agm.php?id=106 , стр.383, второй абзац, кажется, Александров (они не пишут, кто) говорит (хотя и не прямо), что в комплексном пространстве матрица перехода к другой системе координат всегда вещественная. Так ли это?

Может быть, почему-либо это так в аффинном пространстве? А в векторном? Разве нельзя в векторном пространстве взять комплексную матрицу преобразования (перехода от базиса к базису в том же пространстве)?

Во всяком случае, матрица отображения из пространства в пространство может быть комплексной - судя по приведенной теореме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об овеществлении
Сообщение30.11.2020, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Vladimir Pliassov в сообщении #1494680 писал(а):
Есть такой вопрос. В https://scask.ru/c_book_agm.php?id=106 , стр.383, второй абзац, кажется, Александров (они не пишут, кто) говорит (хотя и не прямо), что в комплексном пространстве матрица перехода к другой системе координат всегда вещественная. Так ли это?
Это только в контексте данного раздела, он там потом рассматривает коники, там важно, что мы рассматриваем только действительные преобразования координат.

В общем случае и матрицы перехода, и матрицы операторов комплексные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема об овеществлении
Сообщение30.11.2020, 19:25 


21/04/19
1182
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group