Теорема об овеществлении

[Vladimir Pliassov]

Не может ли кто-нибудь объяснить?

В http://www.fipm.ru/kompl.shtml стоит:

Цитата:

3. Теорема.
а) ..........................

б) Пусть $A=B+iC$ - матрица линейного отображения $f: L \rightarrow M$ в базисах $\{e_1, e_2, \ldots, e_ m\}$ и $\{e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n\}$ над $\textbf C$, где $B, C$ - вещественные матрицы. Тогда матрицей линейного отображения $f_\textbf R: L_\textbf R \rightarrow M_\textbf R$ в базисах $\{e_1, e_2, \ldots, e_ m, \, ie_1, ie_2, \ldots, ie_ m\}$, $\{e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n, \, ie'_1, ie'_2, \ldots, ie'_ n\}$ будет

$$\begin {pmatrix} B&-C\\ C&B \end {pmatrix}.$$

Доказательство. а) .......................

б) Согласно определению $A$ имеем

$$f(e_1, e_2, \ldots, e_ m)=(e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n)(B+iC),$$

Насколько я понимаю, $\{e_1, e_2, \ldots, e_ m\}$ это базис в $L$, а $\{e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n\}$ это базис в $M$ ($L$ имеет размерность $m$, а $M$ - размерность $n$). Поскольку $L \rightarrow M$, базис $\{e_1, e_2, \ldots, e_ m\}$ должен переходить в базис $\{e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n\}$, то есть - если $f(e_1, e_2, \ldots, e_ m)$ это функция $f$ от базиса $\{e_1, e_2, \ldots, e_ m\}$, - должно быть не

$$f(e_1, e_2, \ldots, e_ m)=(e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n)(B+iC),$$

а просто

$$f(e_1, e_2, \ldots, e_ m)=(e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n)$$

или

$$(e_1, e_2, \ldots, e_ m)=(e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n)(B+iC).$$

Цитата:

откуда, в силу линейности $f$ над $\textbf C$

$$f(ie_1, ie_2, \ldots, ie_ m)=(e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n)(-C+iB).$$

Поэтому

$$(f(e_1), \ldots, f(e_m), \,\, f(ie_1), \ldots, f(ie_m))=$$

$$(e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n, \,\, ie'_1, ie'_2, \ldots, ie'_ m)\begin {pmatrix} B&-C\\ C&B \end {pmatrix},$$

что завершает доказательство.

[Xaositect]

Запишите, что такое "матрица линейного отображения $f: L \rightarrow M$ в базисах $\{e_1, e_2, \ldots, e_ m\}$ и $\{e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n\}$"

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1494338 писал(а):

Запишите, что такое "матрица линейного отображения $f: L \rightarrow M$ в базисах $\{e_1, e_2, \ldots, e_ m\}$ и $\{e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n\}$"

Вообще, это любая матрица $n\times m$, в данном случае - $A=B+iC$ ?

[Xaositect]

Ну если отображение любое, то и матрица любая. Но если у нас отображение $f\colon L\to M$ задано, и базисы в пространствах $L$ и $M$ фиксированы, то матрица определена однозначно. Как именно она определяется?

-- Пт ноя 27, 2020 21:13:02 --

В ваших материалах это тут: http://www.fipm.ru/matr3.shtml , а используемая форма с базисами - тут внизу: http://www.fipm.ru/matr7.shtml

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1494344 писал(а):

Ну если отображение любое, то и матрица любая. Но если у нас отображение $f\colon L\to M$ задано, и базисы в пространствах $L$ и $M$ фиксированы, то матрица определена однозначно. Как именно она определяется?

-- Пт ноя 27, 2020 21:13:02 --

В ваших материалах это тут: http://www.fipm.ru/matr3.shtml , а используемая форма с базисами - тут внизу: http://www.fipm.ru/matr7.shtml

Матрица $A$ это матрица перехода от $M$ к $L$.

Ее столбцы это координаты векторов базиса $\{e_1, e_2, \ldots, e_ m\}$.

$A$ матрица преобразования координат вектора из $L$.

Тогда матрица преобразования базиса от нештрихованного к штрихованному базису (то есть $L$ от к $M$) это матрица $A^{-1}$.

[Xaositect]

Разумеется нет, потому что от отображения $f$ они никак не зависят.

Давайте рассмотрим пример. Прочитайте внимательно те пункты, которые я указал, и решите проверочную задачу:
Пусть у нас $L$ - это пространство многочленов степени не более $2$ (т.е. $a + bx + cx^2$), в нем фиксирован базис $e_1 = 1, e_2 = x, e_3 = x^2$. $M$ - это пространство многочленов степени не более $1$ (т.е. $a + bx$), в нем фиксирован базис $e'_1 = x + 1, e'_2 = x - 1$. Отображение $f$ - это дифференцирование многочлена. Запишите матрицу этого отображения в паре базисов $(e_1, e_2, e_3)$ и $(e'_1, e'_2)$.
Желательно, чтобы Вы написали подробное решение, с промежуточными рассуждениями.

-- Пт ноя 27, 2020 21:39:15 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1494349 писал(а):

Матрица $A$ это матрица перехода от $M$ к $L$.

Меня интересует не матрица перехода (которая, кстати, определяется для двух базисов в одном пространстве, а не в разных), а матрица линейного отображения.

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1494351 писал(а):

Разумеется нет, потому что от отображения $f$ они никак не зависят.

Давайте рассмотрим пример. Прочитайте внимательно те пункты, которые я указал, и решите проверочную задачу:
Пусть у нас $L$ - это пространство многочленов степени не более $2$ (т.е. $a + bx + cx^2$), в нем фиксирован базис $e_1 = 1, e_2 = x, e_3 = x^2$. $M$ - это пространство многочленов степени не более $1$ (т.е. $a + bx$), в нем фиксирован базис $e'_1 = x + 1, e'_2 = x - 1$. Отображение $f$ - это дифференцирование многочлена. Запишите матрицу этого отображения в паре базисов $(e_1, e_2, e_3)$ и $(e'_1, e'_2)$.
Желательно, чтобы Вы написали подробное решение, с промежуточными рассуждениями.

Если можно, я попытаюсь решить эту задачу позже, а пока у меня есть вопрос:

в http://www.fipm.ru/matr3.shtml рассматривается отображение $f: N \rightarrow M$ с базисами соответственно $e_1, e_2, \ldots, e_n$ и $e'_1, e'_2, \ldots, e'_m$. Векторы $f(e_k)$ представляются в виде линейных комбинаций $f(e_k)$=\sum\limits_{i=1}^na_{ik}e'_i$ ...

Кажется, я начинаю понимать: $e_k$ не может быть равно $\sum\limits_{i=1}^na_{ik}e'_i$, потому что $(\sum\limits_{i=1}^na_{ik}e'_i) \notin N$.

Это то, что и Вы сказали:

Xaositect в сообщении #1494351 писал(а):

Меня интересует не матрица перехода (которая, кстати, определяется для двух базисов в одном пространстве, а не в разных), а матрица линейного отображения.

$(\sum\limits_{i=1}^na_{ik}e'_i) \in M$, поэтому рассматривается отображение $e_k \rightarrow \sum\limits_{i=1}^na_{ik}e'_i$, то есть $f(e_k)=\sum\limits_{i=1}^na_{ik}e'_i$.

[Xaositect]

Да. Последнее равенство как раз часто записывают как $f (e_1, \dots, e_n) = (e'_1, \dots, e'_m) A$ (я лично такую запись не люблю, эти векторы из векторов в других местах не используются и обычно только путают)

[Vladimir Pliassov]

1.

Xaositect в сообщении #1494382 писал(а):

Последнее равенство

то есть $f(e_k)=\sum\limits_{i=1}^na_{ik}e'_i$

Xaositect в сообщении #1494382 писал(а):

как раз часто записывают как $f (e_1, \dots, e_n) = (e'_1, \dots, e'_m) A$

Приведенное доказательство теоремы основано именно на этом допущении -

то есть на допущении умножения матрицы из скаляров на ряд векторов - можно на строку слева, можно на столбец справа, но тогда надо транспонировать матрицу.

2.

По-моему, здесь

Цитата:

$$(f(e_1), \ldots, f(e_m), \,\, f(ie_1), \ldots, f(ie_m))=$$

$$(e'_1, e'_2, \ldots, e'_ n, \,\, ie'_1, ie'_2, \ldots, ie'_ m)\begin {pmatrix} B&-C\\ C&B \end {pmatrix},$$

опечатка: при последнем $ie'$ должен стоять индекс $n$, а не $m$.

[Xaositect]

Да

[Vladimir Pliassov]

Xaositect в сообщении #1494351 писал(а):

Давайте рассмотрим пример. Прочитайте внимательно те пункты, которые я указал, и решите проверочную задачу:
Пусть у нас $L$ - это пространство многочленов степени не более $2$ (т.е. $a + bx + cx^2$), в нем фиксирован базис $e_1 = 1, e_2 = x, e_3 = x^2$. $M$ - это пространство многочленов степени не более $1$ (т.е. $a + bx$), в нем фиксирован базис $e'_1 = x + 1, e'_2 = x - 1$. Отображение $f$ - это дифференцирование многочлена. Запишите матрицу этого отображения в паре базисов $(e_1, e_2, e_3)$ и $(e'_1, e'_2)$.
Желательно, чтобы Вы написали подробное решение, с промежуточными рассуждениями.

Если $e'_1 = x + 1, e'_2 = x - 1$ - базис в $M$, то на какие коэффициенты надо умножить $x + 1, \,\,x - 1$, чтобы получилась линейная комбинация, равная $a + bx$?

[Xaositect]

Это хороший вопрос, и Вы можете ответить на него самостоятельно.

[Vladimir Pliassov]

$$\frac a {x + 1}, \,\, \frac {bx} {x - 1}.$$

[Xaositect]

Нет. Координаты - это скаляры, то есть $x$ в них быть не должно. Давайте рассмотрим конкретный пример. Представьте $3x + 1$ в виде линейной комбинации $x + 1$ и $x - 1$.

[Vladimir Pliassov]

1.

$1,5(x+1)+1,5(x-1)=3x$,

$0,5(x + 1)+(-0,5)(x - 1)=1$,

$3x+1=1,5(x+1)+1,5(x-1)+0,5(x + 1)+(-0,5)(x - 1)=$

$(1,5+0,5)(x+1)+(1,5-0,5)(x-1)=2(x+1)+1(x-1)$,

$3x+1=2(x+1)+1(x-1)$.

2.

$\frac {a}2(x+1)+(-\frac {a}2)(x-1)=a$,

$\frac {b}2(x+1)+\frac {b}2(x-1)=bx$,

$a+bx=\frac {a}2(x+1)+(-\frac {a}2)(x-1)+\frac {b}2(x+1)+\frac {b}2(x-1)=$

$(\frac {a}2+\frac {b}2)(x+1)+(\frac {b}2-\frac {a}2)(x-1)=\frac {a+b}2(x+1)+\frac {b-a}2(x-1),$

$a+bx=\frac {a+b}2(x+1)+\frac {b-a}2(x-1).$