Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне

[fred1996]

На очень тонкий проводящий стержень длины $l$ и радиуса $r$ нанесли заряд $q$.
$r<<l$
Найти линейное распределение заряда на стержне.

[StaticZero]

О да, та самая легендарная тема.

[fred1996]

Ну собственно я то как раз хотел пообсуждать некоторую некорректность постановки этой задачи. Потому как в пределе на концах может получиться все что угодно.
Если мы превращаем эллипсоид в иголку, распределение заряда будет константа. А ежели взять очень тонкий цилиндр, то на концах вылезет бесконечность.
Ну а константа посерёдке выползает из соображений того, что в малой окрестности силы превращаются в бесконечность, и чтобы Ее скомпенсировать с двух сторон, нужна константа.

[Legioner93]

Буду благодарен, если кто-нибудь приведёт резюме численных изысканий из прошлой темы. Читал ветку про "шарики", при увеличении их числа вроде получалось равномерное распределение с особенностью на краях. Что удалось выяснить про эти особенности? Хочется тоже что-нибудь помоделировать, уж больно красивая задача

[fred1996]

Legioner93
Понятно, что бесконечно тонкой иглы не бывает. Вот тут и возникает неопределенность на концах. Все зависит от того, как мы переходим к пределу на концах.
Мой давнишний матфизический бэкграунде подсказывает, что если на концах мы имеем конечный радиус кривизны вместе с гладкой первой производной, распределение заряда будет чистой константой. В противном случае с острыми концами или рёбрами получим бесконечную плотность на этих самых концах. Ну и в случае разрывов первой производной могут получиться любые конечные линейные плотности на концах. Все это имеет лишь математический смысл, но не физический.

[fred1996]

Если без шариков, то пусть у нас в окрестностях какой-то точки на стержне линейная плотность заряда не константа. Тогда первая производная не равна нулю и в окрестностях этой точки $\lambda=\lambda_0+\lambda_1r+O(r^2)$
И поле в этой точке будет $\int\limits_{-\Delta r}^{\Delta r}$ $\frac{(\lambda_0+\lambda_1 r+ O(r^2))dr}{r^2}$
Этот интеграл расходится если первая производная не равна нулю в окрестности какой-то точки.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1494244 писал(а):

Мой давнишний матфизический бэкграунде подсказывает, что если на концах мы имеем конечный радиус кривизны вместе с гладкой первой производной, распределение заряда будет чистой константой.

Например, рассмотрим точечный заряд вблизи заземленной проводящей плоскости.

[amon]

fred1996 в сообщении #1494248 писал(а):

Этот интеграл расходится если первая производная не равна нулю в окрестности какой-то точки.

Если вы не нашли потерянный кошелек под фонарем, то это не означает, что кошелька у вас никогда и не было. «Вы, профессор, воля ваша, что‑то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут.» В формулке $\int\limits_{-\Delta r}^{\Delta r}$ $\frac{(\lambda_0+\lambda_1 r+ O(r^2))dr}{r^2}$ все прекрасно сойдется, если считать, что разложение начинается с члена $r^2,$ а первые два члена просто нули. Но это означает только то, что формулка неверная. В упомянутой теме приведена другая формулка, но сообщество постановило, что с ней дело темное. Хорошей физической формулировкой будет именно дискретная цепочка зарядов, положение которых не меняется, а величина подстраивается так, что бы минимизировать потенциальную энергию. Связано это с тем, что моделью одномерной системы является нечто, сильно заквантованное по двум направлениям со свободным движением по третьему. Но известно, что в этом случае сколь угодно слабый случайный потенциал локализует носители и по третьему направлению, отчего возникнет система неподвижных зарядов. Для правильной решетки эту задачку и решил уважаемый sup.

[fred1996]

amon
Если у гладкой функции первая производная равна нулю в окрестности какой-то точки, это константа. Речь идёт не о разложении в какой-то конкретной точке, в которой первая производная случайно может равняться нулю, а в любой точке.

[StaticZero]

fred1996, что значит разложение в любой точке?

[amon]

fred1996 в сообщении #1494492 писал(а):

Если у гладкой функции первая производная равна нулю в окрестности какой-то точки, это константа. Речь идёт не о разложении в какой-то конкретной точке, в которой первая производная случайно может равняться нулю, а в любой точке.

Опять-таки, непонятно сказали, но я, видимо, понял. Утверждение такое: если у уравнения

$$\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(x')}{(x-x')|x-x'|}dx'=0$$

существует решение, то это решение не аналитическая функция ни в одной точке отрезка (-1,1). Это не означает, что решения нет вовсе, да и непонятно, как понимать (регуляризовать) написанный интеграл.

[realeugene]

Пусть у нас есть осесимметричное распределение плотности заряда вдоль образующей цилиндра радиуса $r$ длиной $l$, $r \ll l$, с линейной плотностью $\lambda(x)=\lambda_0+\lambda_1 x$. Найдём напряжденность поля в точке $x=0$. Ввиду симметрии задачи напряженность поля на оси направлена вдоль оси.

Пусть $\varphi(x)$ - потенциал на оси при условии, что нулевой потенциал на бесконечности. Ввиду линейности линейной плотности распределения заряда $\varphi(x)\propto\lambda_0$. Тогда:

$$\varphi(dx)=\frac{\lambda_0+\lambda_1 dx}{\lambda_0}\varphi(0)-\varphi^++\varphi^-$$

где

$$\varphi^\pm=\frac{\left(\lambda_0\pm\lambda_1l/2\right)dx}{4\pi\varepsilon l/2}$$

откуда

$$E_x=-\frac{d\varphi}{dx}=\lambda_1\left(\frac 1{2\pi\varepsilon}-\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}\right)$$

где $\varphi(0)/\lambda_0$ - зависящая от геометрии рассматриваемого проводника константа, которую несложно найти интегрированием.

Если мы рассматриваем линейное приближение распределения заряда на поверхности проводника, находящегося во внешнем направленном вдоль оси электрическом поле $E_{ext}$, должно быть:

$$E_{ext}=-E_x=\lambda_1\left(\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}-\frac 1{2\pi\varepsilon}\right)$$

откуда следует, что линейная плотность заряда в окрестности центра небольшого проводящего цилиндра, находящегося во внешнем направленном вдоль оси цилиндра поле, не может быть постоянной.

Осталось вернуться к исходной задаче и вырезать из всего проводника небольшой участок на некотором расстоянии от центра проводника. Так как по разные стороны от этого участка несимметрично расположен различный заряд, в вырезе будет осевое электрическое поле, а значит, и линейная плотность заряда на этом участке проводника не будет константой.

[realeugene]

По константе.

$$\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}=\frac{1}{2\pi\varepsilon}\sh^{-1}\frac{l}{2r}\approx\frac{1}{2\pi\varepsilon}\ln\frac{l}{2r}$$

откуда

$$\lambda_1=\frac{2\pi\varepsilon E_{ext}}{\ln\frac{l}{2r}-1}$$

Знаменатель при $r\to 0$ расходится логарифмически, обнуляя $\lambda_1$, но одновременно расходится логарифмически и энергия электрического поля возле такого проводника, обнуляя и $\lambda_0$. Бесконечно тонкий проводник обладает нулевой ёмкостью и не может нести заряд, так что и распределение этого заряда на проводнике можно искать только с точностью до расходящегося логарифма в знаменателе.

Более корректная постановка задачи - это тонкий проводящий цилиндр заряжен до некоторого потенциала, и нужно найти распределение заряда на нём с точностью до умножения на константу. В пределе $r\to 0$ заряд такого проводника окажется нулевым вне зависимости от того, как мы переходим к пределу.

[sup]

amon в сообщении #1494517 писал(а):

Утверждение такое: если у уравнения

$$\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(x')}{(x-x')|x-x'|}dx'=0$$

существует решение, то это решение не аналитическая функция ни в одной точке отрезка (-1,1). Это не означает, что решения нет вовсе, да и непонятно, как понимать (регуляризовать) написанный интеграл.

Ну, константа будет решением такого уравнения (в смысле главного значения), если потребовать не равенства 0, а просто ограниченности того самого интеграла для всех внутренних точек $x$. Тем самым мы обнуляем все "бесконечности". Ну, а конечный дефект - издержки непрерывной модели, по сравнению с дискретной. Из общих соображений ясно, что в дискретной модели на концах будет "заметное" увеличение заряда.
Но такое "объяснение" оставляет некоторое чувство неудовлетворенности. Хотелось бы получить хоть какие-то формулы для конечного набора зарядов. А еще лучше --- асимптотику (аналитическую). Вот с этим не сложилось.
Кстати, я тут недавно подумал, что выбор равномерного расположения узлов может быть не самым удачным, с точки зрения поиска той самой асимптотики. Может стоило бы поискать другие. А можно "немножко" исказить уравнения, чтобы получилось что-нибудь аналитическое. А затем как-нибудь доказать, что асимптотика та же самая. Но это довольно серьезные задачи. Нахрапом не взять.

[drug39]

(Оффтоп)

Зачем топикстартер разместил здесь задачи, решения которых не опубликованы.
Ведь здесь должны быть задачи, которые предлагались или могут быть предложены на каких-нибудь состязаниях, конкурсах или вступительных экзаменах с высоким конкурсом. Конечно, бывали случаи, когда в таких случаях для прикола предлагали задачу, решение которой не было известно, и происходило таки чудо, что кто-то её решил.