2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение26.11.2020, 21:54 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
На очень тонкий проводящий стержень длины $l$ и радиуса $r$ нанесли заряд $q$.
$r<<l$
Найти линейное распределение заряда на стержне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение26.11.2020, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2124
/dev/zero
О да, та самая легендарная тема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение27.11.2020, 00:08 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ну собственно я то как раз хотел пообсуждать некоторую некорректность постановки этой задачи. Потому как в пределе на концах может получиться все что угодно.
Если мы превращаем эллипсоид в иголку, распределение заряда будет константа. А ежели взять очень тонкий цилиндр, то на концах вылезет бесконечность.
Ну а константа посерёдке выползает из соображений того, что в малой окрестности силы превращаются в бесконечность, и чтобы Ее скомпенсировать с двух сторон, нужна константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение27.11.2020, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1167
Буду благодарен, если кто-нибудь приведёт резюме численных изысканий из прошлой темы. Читал ветку про "шарики", при увеличении их числа вроде получалось равномерное распределение с особенностью на краях. Что удалось выяснить про эти особенности? Хочется тоже что-нибудь помоделировать, уж больно красивая задача :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение27.11.2020, 02:25 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Legioner93
Понятно, что бесконечно тонкой иглы не бывает. Вот тут и возникает неопределенность на концах. Все зависит от того, как мы переходим к пределу на концах.
Мой давнишний матфизический бэкграунде подсказывает, что если на концах мы имеем конечный радиус кривизны вместе с гладкой первой производной, распределение заряда будет чистой константой. В противном случае с острыми концами или рёбрами получим бесконечную плотность на этих самых концах. Ну и в случае разрывов первой производной могут получиться любые конечные линейные плотности на концах. Все это имеет лишь математический смысл, но не физический.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение27.11.2020, 03:53 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Если без шариков, то пусть у нас в окрестностях какой-то точки на стержне линейная плотность заряда не константа. Тогда первая производная не равна нулю и в окрестностях этой точки $\lambda=\lambda_0+\lambda_1r+O(r^2)$
И поле в этой точке будет $\int\limits_{-\Delta r}^{\Delta r}$ $\frac{(\lambda_0+\lambda_1 r+ O(r^2))dr}{r^2}$
Этот интеграл расходится если первая производная не равна нулю в окрестности какой-то точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение28.11.2020, 06:34 


27/08/16
8581
fred1996 в сообщении #1494244 писал(а):
Мой давнишний матфизический бэкграунде подсказывает, что если на концах мы имеем конечный радиус кривизны вместе с гладкой первой производной, распределение заряда будет чистой константой.
Например, рассмотрим точечный заряд вблизи заземленной проводящей плоскости. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение28.11.2020, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1494248 писал(а):
Этот интеграл расходится если первая производная не равна нулю в окрестности какой-то точки.
Если вы не нашли потерянный кошелек под фонарем, то это не означает, что кошелька у вас никогда и не было. «Вы, профессор, воля ваша, что‑то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут.» В формулке $\int\limits_{-\Delta r}^{\Delta r}$ $\frac{(\lambda_0+\lambda_1 r+ O(r^2))dr}{r^2}$ все прекрасно сойдется, если считать, что разложение начинается с члена $r^2,$ а первые два члена просто нули. Но это означает только то, что формулка неверная. В упомянутой теме приведена другая формулка, но сообщество постановило, что с ней дело темное. Хорошей физической формулировкой будет именно дискретная цепочка зарядов, положение которых не меняется, а величина подстраивается так, что бы минимизировать потенциальную энергию. Связано это с тем, что моделью одномерной системы является нечто, сильно заквантованное по двум направлениям со свободным движением по третьему. Но известно, что в этом случае сколь угодно слабый случайный потенциал локализует носители и по третьему направлению, отчего возникнет система неподвижных зарядов. Для правильной решетки эту задачку и решил уважаемый sup.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение28.11.2020, 21:14 
Аватара пользователя


09/10/15
4103
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
amon
Если у гладкой функции первая производная равна нулю в окрестности какой-то точки, это константа. Речь идёт не о разложении в какой-то конкретной точке, в которой первая производная случайно может равняться нулю, а в любой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение28.11.2020, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2124
/dev/zero
fred1996, что значит разложение в любой точке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение28.11.2020, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
fred1996 в сообщении #1494492 писал(а):
Если у гладкой функции первая производная равна нулю в окрестности какой-то точки, это константа. Речь идёт не о разложении в какой-то конкретной точке, в которой первая производная случайно может равняться нулю, а в любой точке.
Опять-таки, непонятно сказали, но я, видимо, понял. Утверждение такое: если у уравнения
$$\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(x')}{(x-x')|x-x'|}dx'=0$$ существует решение, то это решение не аналитическая функция ни в одной точке отрезка (-1,1). Это не означает, что решения нет вовсе, да и непонятно, как понимать (регуляризовать) написанный интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение29.11.2020, 00:45 


27/08/16
8581
Пусть у нас есть осесимметричное распределение плотности заряда вдоль образующей цилиндра радиуса $r$ длиной $l$, $r \ll l$, с линейной плотностью $\lambda(x)=\lambda_0+\lambda_1 x$. Найдём напряжденность поля в точке $x=0$. Ввиду симметрии задачи напряженность поля на оси направлена вдоль оси.

Пусть $\varphi(x)$ - потенциал на оси при условии, что нулевой потенциал на бесконечности. Ввиду линейности линейной плотности распределения заряда $\varphi(x)\propto\lambda_0$. Тогда:
$$\varphi(dx)=\frac{\lambda_0+\lambda_1 dx}{\lambda_0}\varphi(0)-\varphi^++\varphi^-$$где$$\varphi^\pm=\frac{\left(\lambda_0\pm\lambda_1l/2\right)dx}{4\pi\varepsilon l/2}$$откуда$$E_x=-\frac{d\varphi}{dx}=\lambda_1\left(\frac 1{2\pi\varepsilon}-\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}\right)$$где $\varphi(0)/\lambda_0$ - зависящая от геометрии рассматриваемого проводника константа, которую несложно найти интегрированием.

Если мы рассматриваем линейное приближение распределения заряда на поверхности проводника, находящегося во внешнем направленном вдоль оси электрическом поле $E_{ext}$, должно быть:$$E_{ext}=-E_x=\lambda_1\left(\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}-\frac 1{2\pi\varepsilon}\right)$$откуда следует, что линейная плотность заряда в окрестности центра небольшого проводящего цилиндра, находящегося во внешнем направленном вдоль оси цилиндра поле, не может быть постоянной.

Осталось вернуться к исходной задаче и вырезать из всего проводника небольшой участок на некотором расстоянии от центра проводника. Так как по разные стороны от этого участка несимметрично расположен различный заряд, в вырезе будет осевое электрическое поле, а значит, и линейная плотность заряда на этом участке проводника не будет константой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение29.11.2020, 08:44 


27/08/16
8581
По константе. $$\frac{\varphi(0)}{\lambda_0}=\frac{1}{2\pi\varepsilon}\sh^{-1}\frac{l}{2r}\approx\frac{1}{2\pi\varepsilon}\ln\frac{l}{2r}$$откуда$$\lambda_1=\frac{2\pi\varepsilon E_{ext}}{\ln\frac{l}{2r}-1}$$Знаменатель при $r\to 0$ расходится логарифмически, обнуляя $\lambda_1$, но одновременно расходится логарифмически и энергия электрического поля возле такого проводника, обнуляя и $\lambda_0$. Бесконечно тонкий проводник обладает нулевой ёмкостью и не может нести заряд, так что и распределение этого заряда на проводнике можно искать только с точностью до расходящегося логарифма в знаменателе.

Более корректная постановка задачи - это тонкий проводящий цилиндр заряжен до некоторого потенциала, и нужно найти распределение заряда на нём с точностью до умножения на константу. В пределе $r\to 0$ заряд такого проводника окажется нулевым вне зависимости от того, как мы переходим к пределу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение30.11.2020, 07:38 
Заслуженный участник


22/11/10
1177
amon в сообщении #1494517 писал(а):
Утверждение такое: если у уравнения
$$\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(x')}{(x-x')|x-x'|}dx'=0$$ существует решение, то это решение не аналитическая функция ни в одной точке отрезка (-1,1). Это не означает, что решения нет вовсе, да и непонятно, как понимать (регуляризовать) написанный интеграл.

Ну, константа будет решением такого уравнения (в смысле главного значения), если потребовать не равенства 0, а просто ограниченности того самого интеграла для всех внутренних точек $x$. Тем самым мы обнуляем все "бесконечности". Ну, а конечный дефект - издержки непрерывной модели, по сравнению с дискретной. Из общих соображений ясно, что в дискретной модели на концах будет "заметное" увеличение заряда.
Но такое "объяснение" оставляет некоторое чувство неудовлетворенности. Хотелось бы получить хоть какие-то формулы для конечного набора зарядов. А еще лучше --- асимптотику (аналитическую). Вот с этим не сложилось.
Кстати, я тут недавно подумал, что выбор равномерного расположения узлов может быть не самым удачным, с точки зрения поиска той самой асимптотики. Может стоило бы поискать другие. А можно "немножко" исказить уравнения, чтобы получилось что-нибудь аналитическое. А затем как-нибудь доказать, что асимптотика та же самая. Но это довольно серьезные задачи. Нахрапом не взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне
Сообщение02.12.2020, 22:34 
Аватара пользователя


08/12/08
384

(Оффтоп)

Зачем топикстартер разместил здесь задачи, решения которых не опубликованы.
Ведь здесь должны быть задачи, которые предлагались или могут быть предложены на каких-нибудь состязаниях, конкурсах или вступительных экзаменах с высоким конкурсом. Конечно, бывали случаи, когда в таких случаях для прикола предлагали задачу, решение которой не было известно, и происходило таки чудо, что кто-то её решил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group