Распределение заряда на очень тонком проводящем стержне

[fred1996]

drug39

Честно говоря не понял, в чем претензия. Можно поконкретнее сформулировать вопрос?

[drug39]

fred1996, ну Вы же читали дискуссии по данной задаче. Полное решение пока никто не выложил. Мнения местных экспертов разделились по подходу к решению. Одни - сторонники "шарикового" подхода, другие упорно хотят разглядеть асимптотическое поведение исходя из одного уравнения. Третьи думают, главное, сработало решение для вытянутого сфероида, а в других подходах какая-то ошибка. Четвёртые хотели бы проверить предельный переход от цилиндра, и надеются, что в пределе никакой разницы со сфероидом не будет, и таким образом доказать, что форма профиля вообще неважна. Ну и прочие подходы. Все подходы получили критику. Подобное касается и задачи о проводящем круге.
Олимпиадные задачи должны иметь хорошее решение, либо автор задачи должен знать решение. Может быть,
Вы таким образом хотели объявить конкурс?... Рискуем получить опять неуправляемую дискуссию.

[fred1996]

drug39
Мне казалось, я уже высказался. Могу повторить. Данная задача некорректна в предельном переходе на концах. Вот эту некорректность мне и хотелось обсудить. У меня самого четкого понимания такого предельного перехода нет. Думал, может кто предложит что-то конкретное.

-- 07.12.2020, 21:15 --

drug39
Мне казалось, я уже высказался. Могу повторить. Данная задача некорректна в предельном переходе на концах. Вот эту некорректность мне и хотелось обсудить. У меня самого четкого понимания такого предельного перехода нет. Думал, может кто предложит что-то конкретное.

[realeugene]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1495685 писал(а):

Вот эту некорректность мне и хотелось обсудить.

Это задача дискуссионная, а не олимпиадная.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1494248 писал(а):

Этот интеграл расходится если первая производная не равна нулю в окрестности какой-то точки.

Поле в любом случае расходится в окрестности любой точки с ненулевой линейной плотностью заряда. Так что, расходимость поля - не аргумент.

[Ignatovich]

fred1996 в сообщении #1495685 писал(а):

Мне казалось, я уже высказался. Могу повторить. Данная задача некорректна в предельном переходе на концах. Вот эту некорректность мне и хотелось обсудить. У меня самого четкого понимания такого предельного перехода нет. Думал, может кто предложит что-то конкретное.

Equilibrium Charge Density on a Thin Curved Wire
M. H. Partovi, J. D. Griffiths
https://arxiv.org/abs/0904.4279v1

[chislo_avogadro]

Одна не так давно промелькнувшая на форуме задача навела на некую идею - как бы технический взгляд на ситуацию (математическая техника ввиду не имеется)).

Напряжённость в точке $x$ (в обозначениях предыдущей страницы) можно представить как сумму двух вкладов.

Первый создаётся суммой (интегралом) зарядов на участке стержня от $x' = 2x$ до $x' = 1$ при постоянной плотности (стержень лежит на [0,1]).

Второй образуется вследствие возмущения плотности заряда в области разрыва в $x$.

Ясно, что в области разрыва даже малая неравномерность плотности даст ощутимую напряжённость поля, которая будет стремиться скомпенсировать первый вклад, удерживая заряд в точке $x$ в равновесии.

Эта ситуация очень напоминает идеальный операционный усилитель с отрицательной обратной связью, поддерживающей квазинуль сигнала на инвертирующем входе. Можно сказать по аналогии, что на стержне отрицательной обратной связью поддерживается квазиравномерное распределение заряда.

(Оффтоп)

Сии построения приводят к уравнению

$$\int\limits_{0}^{x}\frac{\rho(x')}{(x'-x)^2+\varepsilon^2}dx' - \int\limits_{x}^{1}\frac{\rho(x')}{(x'-x)^2 + \varepsilon^2}dx'= \frac{1}{x} - \frac{1}{1-x}.$$

Его легко получить, поэтому настораживает, что не видел его раньше. Значит или просмотрел, или оно в принципе неверно. Думаю, это быстро выяснится)) Так или иначе его решение, приблизительно (в частности, отброшена $\rho''(x)$ и выше) таково --

$$\rho(x) \simeq \frac{1}{2\ln\varepsilon}\ln[x(1-x)] \; + \; \frac{1}{2(\ln\varepsilon)^2}\int\bigg(\frac{1}{x} - \frac{1}{1-x}\bigg)\ln\Big[(x^2+\varepsilon^2)[(1-x)^2+\varepsilon^2]\Big]dx \;\; + \;\; \operatorname{const}.$$

Интеграл здесь берётся, если пренебречь $\varepsilon^2$ по сравнению с $x^2$ под логарифмом, но летят края. В основной теме, насколько могу судить, появлялся результат в этом роде - видимо в Рим к логарифму ведут все пути.