Предел среднего

[staric]

Не уверен, что лучше сюда...

Существует ли $ \lim\limits_{ m\to \infty}\frac {1} {m+1} \sum_{j=0}^{m} 2^{\Omega(2j+1)-\omega(2j+1)}.$, где $\omega(n)$ и $\Omega(n)$ - количество простых делителей $n$ и сумма степеней, с которыми они "входят" в $n$

Если да, попробуйте его найти.

[novichok2018]

К пределу среднего геометрического перейти?

[Dmitriy40]

По моему предел не существует: проверил до $m<10^8$, величина в среднем растёт (уже до $1.5135$), но постоянно небольшие колебания на доли процента (в четвёртом знаке после запятой).

[novichok2018]

Если предел есть, то он равен пределу и среднего геометрического. Или они одновременно не существуют. Среднее геометрическое сводит вопрос к суммвм омег маленьких и больших, наверное, их асимптотики известны?

[staric]

Асимптотики известны. А вот это

novichok2018 в сообщении #1492302 писал(а):

Если предел есть, то он равен пределу и среднего геометрического.

не всегда верно.
Средние, например, от 0,1,0,1,0... разные, хотя и существуют.

[novichok2018]

Был неправ, каюсь. Совпадает с пределом последовательности, а не другого среднего. А здесь предела последовательности, от которой взято среднее, не существует?

[staric]

Dmitriy40 в сообщении #1492245 писал(а):

По моему предел не существует: проверил до $m<10^8$, величина в среднем растёт (уже до $1.5135$), но постоянно небольшие колебания на доли процента (в четвёртом знаке после запятой).

А колебания с ростом падают или нет? Если да, есть смысл посмотреть дальше... Хотя бы до $m=10^{11}$ - получите уверенный 3-й знак.

[Dmitriy40]

Я бы не сказал что прям так уж быстро падают ... Расчёт до $m=10^8$ занял 5 минут, запускать на дни-недели лень, факторизация больших чисел медленна. Вот графики самой функции (синий) и максимального разброса (красный, справа, в логарифмическом масштабе) за каждые 100 тысяч значений (по горизонтальной оси $m$ в миллионах):

Судя по красному предел всё же может существовать, был не прав.
В принципе можно прикинуть скорость уменьшения разброса ...

-- 15.11.2020, 13:35 --

Разброс: в каждом выровненном по круглым числам интервале длиной 100 тысяч $m$ ищу минимум и максимум, разброс равен их разности.

[staric]

Dmitriy40 в сообщении #1492416 писал(а):

В принципе можно прикинуть скорость уменьшения разброса ...

Величину больших "скачков" несложно получить в явном виде...

[Dmitriy40]

Я добавил выше вторую картинку, с $m<10^9$. На ней ясно просматриваются минимум шесть линий, ниже полная каша, но есть и отдельные выбросы выше, которые скорее всего тоже укладываются на другие кривые, но слишком мал диапазон $m$ чтобы их увидеть.

staric в сообщении #1492430 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1492416 писал(а):

В принципе можно прикинуть скорость уменьшения разброса ...

Величину больших "скачков" несложно получить в явном виде...

Имеете в виду моменты больших степеней малых чисел? Мне это сомнительно, вот несколько точек скачков (в миллионах, с точностью до сотни тысяч), в порядке уменьшения величины скачка, для $m$ больше 20млн: $21.6$, $64.6$ (скачок $0.001$), $193.8$ (скачок $0.000677$), $35.9$, $581.2$ (скачок $0.000451$), $50.3$, $26.4$, $107.7$, $59.8$, $31.1$, $33.3$, $150.7$ (скачок $0.000218$), $39.1$, $79.0$, $322.9$ (скачок $0.000203$), $40.7$, остальные скачки меньше $0.0002$. Я как-то не различаю тут больших степеней ... Особенно удивительны скачки около 193млн, 581млн, 968млн.

[novichok2018]

Так всё-таки величина $\Omega(2n+1)-\omega(2n+1)$ не имеет конечного или бесконечного предела?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1492459 писал(а):

Так всё-таки величина $\Omega(2n+1)-\omega(2n+1)$ не имеет конечного или бесконечного предела?

Очевидно, что не имеет: если $2n+1$ --- простое, то она равна нулю, а если $2n+1$ --- степень простого, то она равна показателю этой степени минус один, что может быть сколь угодно большим.

[Dmitriy40]

Как она может иметь предел если встречаются числа вида $2n+1=3^k, 5^k, 7^k, 11^k$ и т.д., для которых величина $\Omega(2n+1)-\omega(2n+1)$ просто равна $k-1$?! Это как предел натуральных чисел ... Кстати нулю она равна и для чисел из произведения простых в первой степени.
Вот после нормирования на $m+1$ предел может образоваться, всё же степени простых встречаются очень нечасто и как бы всё реже и реже и могут давать уменьшающийся вклад в общую сумму.

[staric]

Dmitriy40 в сообщении #1492450 писал(а):

Я как-то не различаю тут больших степеней ... Особенно удивительны скачки около 193млн, 581млн, 968млн.

$2 \cdot 581130733+1=3^{19}$

[Dmitriy40]

Правы. Ещё есть $2\cdot193710244+1=3^{18}$ и $2\cdot64570081+1=3^{17}$. А вот остальные скачки не подбираются (близки только квадраты-кубы достаточно больших чисел). Оказалось подбирать легко, всего лишь логарифм проверить на близость к целому, чего-то сразу не подумал ...

-- 15.11.2020, 21:00 --

Хм, а тогда ведь те "линии" на красном графике вполне могут быть как раз степенями малых простых, а более крупные все сливаются в каше ниже. Тогда да, можно аналитически оценить где там следующие крупные скачки будут и какой величины. Так что правы вдвойне.

-- 15.11.2020, 21:15 --

И тогда если я нигде не ошибся, то всё выродится в предел сумм $\sum\limits_p^\infty \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\dfrac{2}{p}\right)^k$ для всех простых $p>2$.

-- 15.11.2020, 22:10 --

Нет, чего-то я напортачил с этими суммами, даже для единственного $p=3$ они уже больше правильной (и вообще равны двум).