Предел среднего

[alisa-lebovski]

Точнее, это Реньи ссылается на себя и на Эрдеша.
Доказал ли кто-нибудь из них на самом деле существование плотностей?

[vicvolf]

sup в сообщении #1493815 писал(а):

Между прочим, в работе Эрдёша доказывается нужная формула в предположении, что существуют плотности

$$ d_k = \lim \limits_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum \limits_{l \leqslant n, \Omega(l) - \omega(l) = k} 1. $$

Это асимптотическая плотность, а не плотность. Асимптотическая плотность не является вероятностью, а плотность является.

Цитата:

$$ \lim \limits_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum \limits_{l \leqslant n} z^{\Omega(l) - \omega(l)} = \sum d_kz^k. $$

А это предел среднего значения, а не среднее.

[sup]

alisa-lebovski в сообщении #1493822 писал(а):

Точнее, это Реньи ссылается на себя и на Эрдеша.
Доказал ли кто-нибудь из них на самом деле существование плотностей?

staric в сообщении #1493323 писал(а):

Что до последнего равенства, лучше смотреть "On the density of certain sequences of integers"

В этой работе прямо утверждается, что существование плотностей доказано Эрдешем. Но в данной работе дается простое доказательство

Реньи писал(а):

It should be mentioned that the existence of the densities $d_k$, follows from a general theorem ... stated by Erdos [1]. We shall give a straightforward elementary proof for the existence of the densities ...

Если считать существование плотностей установленным фактом, то дальнейшие действия с рядами Дирихле уже сравнительно легко обосновываются.

[alisa-lebovski]

sup в сообщении #1493827 писал(а):

В этой работе прямо утверждается, что существование плотностей доказано Эрдешем.

Да, но действительно ли это так? По истории теоремы Эрдеша-Каца (см. Википедию) мы знаем, что у Эрдеша были своеобразные представления о доказательствах. Это во-первых.

Во-вторых, как же все-таки сформулировать достаточные условия на $a_n$ (аналогичные опоре на "плотности")? Может быть, в терминах предела эмпирической функции распределения? Т.е. если для любого $x$ существует

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n I(a_k\le x)=F(x),$$

где $F$ - некоторая функция распределения (не убывает, меняется от 0 до 1, непрерывна справа). Насколько я понимаю, в найденных выше контрпримерах либо получался тождественно нулевой предел, либо он не существовал.

[sup]

Ну, помимо ссылок на Эрдеша, у Реньи приводится свое "элементарное" доказательство. Я не стал в него вникать, но, судя по всему, там "все в порядке".

alisa-lebovski в сообщении #1493831 писал(а):

Во-вторых, как же все-таки сформулировать достаточные условия на $a_n$ (аналогичные опоре на "плотности")? Может быть, в терминах предела эмпирической функции распределения? Т.е. если для любого $x$ существует

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n I(a_k\le x)=F(x),$$

где $F$ - некоторая функция распределения (не убывает, меняется от 0 до 1, непрерывна справа).

Я не совсем Вас понял. Предположим, имеет место указанное равенство для некоторой функции $F(x)$.
Что Вы хотите с его помощью доказать?

[alisa-lebovski]

sup в сообщении #1493837 писал(а):

Я не совсем Вас понял. Предположим, имеет место указанное равенство для некоторой функции $F(x)$.
Что Вы хотите с его помощью доказать?

Теорему в общем виде - post1493615.html#p1493615

[sup]

В таком виде это просто тауберова теорема. После того, как этим занимались известные "зубры", трудно ожидать затребованный результат.
С другой стороны, у нас ситуация несколько другая. Имеет место параметризованное равенство (комплексный параметр z)

$$ \lim \limits_{s \to 0} s\sum \limits_{k}\frac{z^{a_k}}{k^{1 + s}} = G(z). $$

Причем, $G(z)$ аналитична в неком круге. Это довольно сильные предположения.

[alisa-lebovski]

sup в сообщении #1493843 писал(а):

Имеет место параметризованное равенство (комплексный параметр z)

$$ \lim \limits_{s \to 0} s\sum \limits_{k}\frac{z^{a_k}}{k^{1 + s}} = G(z). $$

Причем, $G(z)$ аналитична в неком круге. Это довольно сильные предположения.

Возьмем по аналогии с post1493680.html#p1493680 здесь $a_n=I(2^{2k}\le n<2^{2k+1})$, тогда получается аналитическая функция $G(z)=(1+z)/2$, но предельных "плотностей" и предела $(1/n)\sum_{k=1}^n z^{a_k}$ нет (если я ничего не путаю).

[sup]

Хм, я не уверен, что Вы сможете извлечь что-то полезное для себя из подхода Эрдеша (тема данного топика).
С помощью рядов Дирихле он доказал лишь формулу. Ну, или по-другому, указал производящую функцию для тех самых плотностей, существование которых, в сущности, ПОСТУЛИРУЕТСЯ. Вот в чем дело. Кроме этого, еще имеется "приличная" оценка сверху для "текущей" плотности $d_k(n) \leqslant c 3^{-k}$.А дальше работает тауберова теорема Х.-Л.
Ну, в самом деле, пусть для всякого $l$ существует плотность (ПОСТУЛИРУЕМ!)

$$ d_l = \lim \limits_{n \to \infty}\frac{1}{n} \sum \limits_{k \leqslant n} \chi_l(k). $$

Тогда с помощью частного суммирования легко получаем

$$ d_l = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} \sum \limits_{k \leqslant n} \frac{\chi_l(k)}{k}. $$

Пусть

$$ G(z) = \sum g_l z^l. $$

Тогда из всей той затеи с рядами Дирихле получаем

$$ g_l = \lim \limits_{s \to +0} s\sum \frac{\chi_l(k)}{k^{1 + s}}. $$

А значит по т.Х.-Л.

$$ g_l = d_l. $$

Таким образом, имеем сходимость коэффициентов в ряде Тейлора. Значит сходится и "усеченный" ряд (до какой-то фиксированной степени). А хвост оценивается с помощью оценки сверху для промежуточных плотностей. Равенство доказано.

Но ведь Вам не это нужно. Вам нужна сходимость, а уж к чему --- не так важно (или Вам это и надо?). В данном случае сходимость вытекает из оценки сверху для "хвостов" и существования плотностей. Но это весьма простое рассуждение. С его помощью Вы вряд ли получите "солидный" результат.

[alisa-lebovski]

sup, Вы меня совершенно не правильно поняли. Я не собираюсь получать "солидный результат", теория чисел - это вообще не моя специализация. Я просто пытаюсь докопаться до правды. Потому что бывает, что люди пишут "очевидно" или какие-то нестрогие рассуждения, а потом оказывается, что не так уж очевидно и рассуждения неверные, и можно даже построить контрпримеры. Выше уважаемый lel0lel уже попал в такую ситуацию. Каюсь, сама пару раз попадала со статьями, на что мне указывали рецензенты. Ну и историю теоремы Эрдеша-Каца я уже упоминала. Поэтому если мы выводим из одного предела другой для последовательности разностей $\Omega$ и $\omega$, то надо понять, для всех последовательностей это сработает (для которых существует первый предел) или нет. А если нет, то что именно такого хорошего в этой последовательности, что на ней работает, и что плохого для других, где не работает. И как это можно сформулировать в максимально общем виде.

[sup]

Виноват, мне показалось, что Вы хотите приспособить данный подход к какому-нибудь "ЗБЧ"
Теория чисел тут совсем не при чем. Просто Вы используете вероятностную терминологию, что и навело меня на такие мысли.
Я же наоборот, с самого начала рассматривал это как тауберову теорему. Из общей постановки ничего принципиально лучше т.Х.-Л. не выжмешь. Вот мне и было любопытно, что там такое придумал Эрдеш. Тауберовы теоремы --- весьма интересная область анализа.
Но, как оказалось, существование плотностей он и не доказывал. Точнее, конкретно в той упомянутой работе. А жаль. Было бы интересно.
А если существование плотностей постулировать, то дальнейшее уже сравнительно просто. Стоит, однако, отметить, что помимо прочего нужна еще и оценка на "хвосты".

[lel0lel]

sup, alisa-lebovski
Очень полезное обсуждение и хорошая теория.

Давайте пройдём немного дальше; возможно, удастся получить что-нибудь новое.
Способ нахождения просеивающих множителей, который применялся для ряда Дирихле в сообщении #1493579, оказался довольно удачный. Например, если рассмотреть ряд

$$\delta(s,z;a,b)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ z^{\Delta(n;a,b)}}{n^s}, \text{ где } \Delta(n;a,b)=a\Omega(n)-b\omega(n),$$

то получим следующую формулу

$$\delta(s,z;a,b)=\prod_{p}\left(1+\frac{z^{a-b}}{p^s-z^a}\right).$$

Случай $a=b=1$ уже рассмотрен; случай $a=1$, $b=0$ также есть в работе Реньи и Турана. Но вот случай $a=0$, $b=-1$ найти не удаётся; в этом случае получим

$$\delta(s,z;0,-1)=\prod_{p}\left(1+\frac{z}{p^s-1}\right),$$

если положить $z=2$, тогда $\delta(s,2;0,-1)=\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}$ (эта формула встречается здесь https://dlmf.nist.gov/27.4).
Похоже, что кроме случая $a=b$ переходить к пределу среднего $z^{\Delta(k;a,b)}$ не имеет смысла, этот предел будет равен либо $0$, либо $1$, либо бесконечен, поскольку предел среднего $\Delta(k;a,b)$ бесконечен если $a\ne b$.

Предлагаю рассмотреть (или предложить к рассмотрению) ещё какие-нибудь ряды Дирихле и получить красивые формулы.

[lel0lel]

Нашёл! Нашёл общую формулу для ряда Дирихле определённого вида.
Теорема.
Пусть функция $g$ определена на натуральных числах следующим образом:
$g(1)=0;$ для простого $p$ и натурального $\widetilde{n}\not\equiv 0 \pmod{p}$ выполняется $g(p^k \widetilde{n})=g(\widetilde{n})+f(k)$, функция $f$ -- произвольная. Тогда имеет место обобщённая формула Эйлера:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ z^{g(n)}}{n^s}=\prod_{p}\frac{1}{1-\varphi_p(s,z)},\,\,\,\, \text{ где } \varphi_p(s,z)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{(-1)^{j+1} a_j(z)}{(p^{s})^j},$$

функции $a_j(z)$ определяются следующим линейным рекуррентным соотношением:

$$a_0=1, a_{k+1}(z)=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i z^{f(i+1)}a_{k-i}(z).$$

Эту теорему следует использовать с конца: для определенного вида функции $f$ с помощью рекуррентной формулы находим общий вид $a_j$, затем вычисляем $\varphi_p(s,z)$ и подставляем в произведение.

P.S. Теперь совсем не лишним будет проинтегрировать в нужных пределах и продифференцировать. Тогда получим общие формулы для $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ g(n)}{n^s}$ и для $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{( g(n)+1)n^s}$

[sup]

alisa-lebovski в сообщении #1493867 писал(а):

И как это можно сформулировать в максимально общем виде.

Если выйти в комплексную область и по переменной $s$, то имеется тауберова теорема Икеара.
Вот неплохой обзор по теме.
А в этой статье имеется некоторое обобщение.
В нашем случае она применима без предположений относительно существования плотностей. Кстати, ее можно применить для доказательства теоремы о распределении простых чисел.

Трудно сказать, но может Эрдеш имел в виду именно эту теорему. Тогда существование плотностей ему не нужно. С другой стороны, он ссылался на "более простые рассуждения".
Оригинальный метод доказательства теорем типа Х.-Л. не очень сложный, но довольно громоздкий. Метод Караматы существенно проще. Метод на основе т.Хелли совсем простой. Но вот доказательство теоремы Икеара простым не назовешь.

[vicvolf]

lel0lel в сообщении #1493907 писал(а):

поскольку предел среднего $\Delta(k;a,b)$ бесконечен если $a\ne b$.

Наверно Вы пропустили сообщение:

vicvolf в сообщении #1492701 писал(а):

Да, верхняя граница разности этих двух арифметический функций не ограничена при $n \to \infty$, но среднее значение ограничено, т.е. $E[\Omega(n)-\omega(n),n]=O(1)$ при $n \to \infty$. Это связано с тем, что асимптотики средних значений: $E[\Omega(n),n]=\ln\ln(n)+O(1), E[\omega(n),n]=\ln\ln(n)+O(1),n \to \infty$. Кстати асимптотики у дисперсий такие же $D[\Omega(n),n]=\ln\ln(n)+O(1), D[\omega(n),n]=\ln\ln(n)+O(1),n \to \infty$.
Предельным распределением для каждой указанной функции $\Omega(n),\omega(n)$ является нормальное распределение. Но предельное распределение разности указанных функций не является нормальным из-за их "зависимости".

Поэтому асимптотика среднего значения аддитивной арифметической функции $a\Omega(n)-b\omega(n)$ равна: $E[а\Omega(n)-b\omega(n),n]=(a-b)\ln\ln(n)+O(1)$, так как мат. ожидание суммы равно сумме мат. ожиданий. Из этого следует все сказанное Вами. Для дисперсии это не выполняется из-за зависимости. Кстати, Вы уверенно заявляете о предельных моментах арифметических функций:

lel0lel в сообщении #1493745 писал(а):

я всё же предлагаю получить все моменты величины $\Delta(n)$.
Начну:
$\overline{\Delta(n)}=\sum\frac{1}{p(p-1)}$ (эта формула уже была указана [b]staric)
$\overline{ \Delta(n)^2}=\sum\frac{p^2+p-1}{p^2(p-1)^2}+\left(\sum\frac{1}{p(p-1)}\right)^2$

$$\overline{ (\Delta(n)+1)^{-1}}=\frac{\sum\limits_{p}\ln{\frac{p}{p-1}}\prod\limits_{p'\ne p}\left(1+\frac{1}{p'-p}\right)}{\prod\limits_{p}\left(1+\frac{1}{p-1}\right)}$$

ни разу не говоря, на каком вероятностном пространстве они определены, как случайные величины и не доказав вообще существуют ли они.