Интегралы от целой и дробной части числа

[genk]

Салют,народы!(любимое приветствие С.Ю.Шипова)
Хочу обсудить тему,которая,как мне кажется,еще не освещалась на форуме и в литературе.Речь пойдет об интегрировании выражений,содержащих функции целой \left [ x \right ] и дробной \left \{ x \right \} части числа \left( x \right). Нетрудно получить формулы
\int\limits_{a}^{b} \left [x \right ] \,dx=\frac{1}{2}([a]-[b])([a]+[b]+1)+b[b]-a[a],\int\limits_a^b \left \{ x \right \}\,dx=\frac{1}{2}([b]-[a])([a]+[b]+1)+\frac{b^2-a^2}{2}+a[a]-b[b].
А как насчет суперпозиций с другими функциями,интегрируемыми по Риману? Многие интегралы тривиально вычисляются или являются расходящимися.Например,\int\limits_0^\infty \left [\frac{\sin{x}}{x} \right ] \,dx расходится,а \int\limits_1^\infty \frac{\sin{[x]}}{[x]}\,dx=\sum_{k=1}^\infty \int\limits_k^{k+1} \frac{\sin{k}}{k}\,dx=\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin{k}}{k}=\frac{\pi-1}{2}.
Немногим более громоздко,но также без больших усилий вычисляются интегралы \int\limits_1^\infty \frac{[x]}{x^3} \,dx=\frac{\pi^2}{12} и \int\limits_1^\infty \frac{\sin{x}}{[x]}\,dx=\frac{\pi-1}{2}\sin{1}-2\sin^2{0,5}\ln{(2\sin{0,5})}.
Но есть орешки покрепче.Для \int\limits_1^\infty \frac{\sin{[x]}}{x}\,dx,\int\limits_0^\infty \sin{[x^2]}\,dx,\int\limits_0^\infty e^{-[x^2]}\,dx,\int\limits_1^\infty \frac{\ln{[x]}}{x^3}\,dx,...(читатель без труда продолжит список) остается,по-видимому,только численное интегрирование.Возможно,этот пост вдохновит кого-нибудь из участников форума на собственные изыскания.

[genk]

[*]Здравствуйте.В посте https://dxdy.ru/topic143531.html поднимался вопрос об интегрировании целой части числа.Вот еще несколько формул:
\int\limits_{a}^{b}\dfrac{[x]}{x}dx=[b]\ln{b}-[a]\ln{a} -\ln\dfrac{[b]!}{[a]!},
\int\limits_{a}^{b}\dfrac{[x]^2}{x}dx=[b]^2\ln{b}-[a]^2\ln{a}+\ln\dfrac{[b]!}{[a]!}+2[a]\ln{[a]}-([b]-[a]+1)([b]+[a]-\ln{2\pi})-2\int\limits_{[a]}^{[b]+1}\ln{\Gamma(t)}dt,
(a,b\geqslant0 и,как обычно,$0!$ равно $1$,0\cdot\ln{0}=0).
Еще интереснее кратные интегралы от целой части.Здесь вычисление даже простых выражений требует большого терпения и изобретательности.Например,формула для вычисления \int\limits_{a}^{b}\int\limits_{c}^{d}[xy]dxdy\quad (a,b\geqslant0) в "разобранном" виде содержит 14 слагаемых.Надо заметить,что системы компьютерной алгебры(Maple,Wolfram,...) вычисляют интегралы от целой части только для конкретных значений пределов интегрирования и не выдают результата в символьной форме.
А формулу для \iint\limits_{x^2 +y^2\leqslant{R^2}}[xy]dxdy мне получить не удалось.

[kotenok gav]

В чём смысл этого? Очевидно, что $\int\limits^{b-1}_a f(\lfloor x\rfloor)\,dx=\sum\limits^b_{k=a}f(k)$ (для целых $a$ и $b$, для нецелых тривиально обобщается).

-- 05 дек 2020, 17:55 --

На самом деле, это скорее относится к первому сообщению. В вашем втором больше смысла, признаю.

-- 05 дек 2020, 17:58 --

Ну вот вы ведь сами понимаете, что ваши "интегралы"

genk в сообщении #1491924 писал(а):

$\int\limits_0^\infty \sin{[x^2]}\,dx$,$\int\limits_0^\infty e^{-[x^2]}\,dx$

- никоим образом не интегралы?

-- 05 дек 2020, 18:06 --

Если что, то первый суммо-интеграл даже не сходится, а второй сходится к $\dfrac12(1+\mathfrak G_3(0,\dfrac1e))$ (я не сумел набрать знак тета-функции, это наиболее похожий на него).

-- 05 дек 2020, 18:17 --

Хотя нет, это у меня бред, $\lfloor x^2\rfloor\ne\lfloor x\rfloor^2$.

-- 05 дек 2020, 18:22 --

Хорошо, в этом случае формула меняется: $\int\limits^b_a f(\lfloor x^2\rfloor)\,dx=\sum\limits^{b^2-1}_{k=a^2}(\sqrt{k+1}-\sqrt k)f(k)$.

-- 05 дек 2020, 18:33 --

Первый суммо-интеграл сходится (если вообще сходится) очень медленно (UPD: такой же метод, как для второго суммо-интеграла (в данном случае - сведением синуса к мнимой части комплексной экспоненты) не работает, так как тот ряд гарантированно сходится лишь при $\operatorname{Re}(t)>0$ ($t$ - коэффициент вместо $-1$ в степени экспоненты)), второй сходится к $(e-1)\operatorname{Li}_{-\frac12}(\dfrac1e)$.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Во-первых, две темы объединены, поскольку совершенно незачем устраивать отдельное продолжение темы из одного сообщения.

Во-вторых, и в предыдущей части, и тут неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.