Работа по перемещению тела в искривленном пространстве

[sergey zhukov]

epros
Согласен.

[VASILISK11]

sergey zhukov в сообщении #1491305 писал(а):

Разве при движениии тела конечных размеров в искривленном пространстве не возникает приливных сил?

Пробное тело имеет бесконечно малые размеры, там энергия деформаций бесконечно меньше кинетической энергии пробного тела.

[sergey zhukov]

VASILISK11
Пробное - да. Тут рассматривается такое тело, размерами которого нельзя пренебречь.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Остро не хватает рубрики "Помогите сформулировать задачу"...

[manul91]

sergey zhukov
Разве что можно наверное дополнить ваши рассуждения (которые основаны на то что тело "начинает движение" в сбалансированном внутренне равновесном виде в плоском пространстве, и заканчивает так же).
Если допустить, что тело изначально "внутренне растянуто" и покоится в пространстве с переменной скалярной кривизной - и если его "отпустить" - то оно покатится по направлению градиента уменьшения скалярной кривизны (т.е. по направлению в котором пространство сильнее всего "сжимает" тело в целом).
И наоборот, если тело изначально покоится в "сжатом" виде в том же месте - то после того как его "отпустить" оно покатится в обратном направлении (т.е. по направлению в котором пространство сильнее всего "внутренее растягивает" тело в целом).
Впрочем, это тоже тривиально...

[sergey zhukov]

manul91
Да, в таком пространстве можно перемещаться без реактивной тяги, просто управляя деформацией тела.

В одной книжке по небесной механике приводился интересный способ, которым спутник может перейти с одной орбиты на другую без реактивной тяги. Для этого нужно в самой нижней точке орбиты (элиптической) совершать работу против приливных сил, сокращая размер спутника (там рассматривался спутник в виде телескопической штанги с двумя массами на концах). А в самой высокой точке орбиты штангу нужно было раскладывать. Работа против приливных сил идет на увеличение полной энергии спутника.

Это очень похоже на то, что вы заметили.

[diletto]

sergey zhukov
Мне непонятно следующее.
Если допустить физичность описанного мысленного эксперимента, то как оценить величину возникающих приливных сил? Скажем, если мы возьмём тело нулевой жёсткости (систему несвязанных материальных точек), то изменение его размеров и формы предполагается ровно таким, какое продиктовано "чисто геометрическим" переносом. (Впрочем, придётся ещё и уточнить, чтО должно сохраняться при "чисто геометрическом": вот переехал у нас треугольник с плоскости на сферу - и почему у него обязательно сохранились длины сторон? Может, должны сохраняться углы, а что стороны перестанут быть геодезическими, так это их личная проблема...)
А вот при НЕнулевом заданном модуле Юнга тело деформируется меньше... Но насколько? Как связать здесь геометрию и физику?
Допустим, наше исходное тело - это равносторонний треугольный каркас на сфере. Длина стороны - четверть большой окружности, все углы прямые. Две стороны очень жёсткие, третья - с модулем Юнга, характерным для резины. Что будет при переезде треугольника на плоскость? Насколько удлинится резиновая сторона? Как изменятся углы?

[sergey zhukov]

diletto
Да, если треугольник переехал с плоскости на сферу, то его стороны не обязательно остануться прямыми и на сфере. Я этот пример привел потому, что про сумму углов треугольника на поверхностях разной кривизны все знают.

Величина деформации тела не зависит от модуля Юнга, поскольку кривизна пространства не зависит от напряжений в теле. Более жесткое тело будет просто труднее протолкнуть из области плоского в область искривленного пространства, но его деформация в конечном положении будет та же самая независимо от того, мягкое это упругое тело или жесткое.

У вашего треугольника на сфере (допустим, она единичного радиуса) все стороны изначально имеют длину $\frac{\pi}{2}$. Если угол между жесткими сторонами не жесткий, то на плоскости этот треугольник станет равносторонним со сторонами длиной $\frac{\pi}{2}$. С резиновой стороной ничего не произойдет.
Если угол между жесткими сторонами жесткий, то на плоскости этот треугольник станет прямоугольным с катетами длиной $\frac{\pi}{2}$ и резиновой гипотенузой длиной $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$. Т.е. резиновая сторона должна будет растянуться в $\sqrt{2}$ раз.

Общее решение о законе деформации некоторого тела при его перемещении в искривленном пространстве, думаю, сложно. Так же, как и деформация планет под воздействием приливных сил.

[Dan B-Yallay]

sergey zhukov в сообщении #1491588 писал(а):

Величина деформации тела не зависит от модуля Юнга, поскольку кривизна пространства не зависит от напряжений в теле. Более жесткое тело будет просто труднее протолкнуть из области плоского в область искривленного пространства

Это, видимо, при допущении, что модуль Юнга в искривлённом пространстве не меняется по сравнению с плоским. Я, конечно, не физик, но интересно: так ли это?

[diletto]

sergey zhukov в сообщении #1491588 писал(а):

Величина деформации тела не зависит от модуля Юнга, поскольку кривизна пространства не зависит от напряжений в теле. Более жесткое тело будет просто труднее протолкнуть из области плоского в область искривленного пространства, но его деформация в конечном положении будет та же самая независимо от того, мягкое это упругое тело или жесткое.

То есть вы считаете тело "абсолютно послушным" объемлющему пространству... Мне кажется, тогда и вправду оно сожмётся в точку, пропутешествовав по сфере на пи пополам. Ибо: что заставит точки тела отклоняться от геодезических, если не его жёсткость?

-- 11.11.2020, 02:55 --

sergey zhukov в сообщении #1491588 писал(а):

У вашего треугольника на сфере (допустим, она единичного радиуса) все стороны изначально имеют длину $\frac{\pi}{2}$. Если угол между жесткими сторонами не жесткий, то на плоскости этот треугольник станет равносторонним со сторонами длиной $\frac{\pi}{2}$. С резиновой стороной ничего не произойдет.

А что будет с треугольником без жёсткости, т.е. с тремя несвязанными точками? Сохранятся там расстояния или углы?

[sergey zhukov]

Dan B-Yallay
Это просто. Никакие локальные законы не зависят от того, в искривленном или в плоском пространстве они рассматриваются, т.к. локально пространство всегда плоское. Модуль Юнга - это связь между напряжениями и деформациями в каждой точке тела. Он совершенно не зависит от кривизны пространства. На примере с шариками и пружинками выше легко можно почувствовать, что малые пружинки работают в плоском и искривленном пространстве одинаково.

diletto
Я так вижу, вы думаете, будто тело, начиная движение с экватора к полюсу вдоль меридиан-геодезических, должно следовать этим меридианам до полюса и сжаться там в точку. Вы смешиваеие два эффекта, которые лучше разделять.
Возьмем абсолютно жесткое тело конечных размеров на сфере, центр которого равномерно движется по меридиану от экватора к полюсу. При движении форма и размер такого тела никак не меняются. Очевидно, западный и восточный края этого тела не движутся вдоль меридиан. Они движутся вдоль кругов меньшего диаметра на сфере, т.е. вдоль кривых, т.е. ускоренно. Чтобы края тела равномерно двигались вдоль кривых, на них постоянно должна действовать сила типа центробежной. Значит, в нашем теле при его движении возникают напряжения, пропорциональные квадрату его скорости. Это напряжения совсем другого рода, чем те, которые рассматриваются в этой теме. Назовем их центробежными (а мы рассматриваем приливные). Центробежные напряжения в теле зависят откривизны пространства, а кроме того они еще пропорциональны квадрату скорости и плотности тела. А приливные напряжения зависят только от кривизны пространства. Чтобы их не смешивать и не усложнять картину, нужно рассматривать перемещения тел с очень малыми скоростями или очень малыми плотностями. Тогда остаются только приливные напряжения.

При перемещении только по сфере - поверхности постоянной кривизны - действуют только центробежные напряжения, а приливных вообще нет. Приливные напряжения есть только на поверхностях произвольной, переменной от точки к точке кривизны. Если скорость тела стремится к нулю, то по по сфере оно перемещается вообще без напряжений. И никуда не сжимается. Заметим: не переходит с плоскости на сферу, а все время находится на сфере, сделано на ней.

Вообще, выше был пример с шариками и пружинками. Просто представьте, что шарики ничего не весят и покатайте мысленно эту конструкцию по шару. Там все так очевидно, что мне нечего добавить.

И что еще за треугольник без жесткости? Это просто три свободные точки, а ее треугольник. Двигайте их, как хотите.

[epros]

Из этих рассуждений:

sergey zhukov в сообщении #1491601 писал(а):

Это просто. Никакие локальные законы не зависят от того, в искривленном или в плоском пространстве они рассматриваются, т.к. локально пространство всегда плоское. Модуль Юнга - это связь между напряжениями и деформациями в каждой точке тела. Он совершенно не зависит от кривизны пространства.

не следует этот вывод:

sergey zhukov в сообщении #1491588 писал(а):

Величина деформации тела не зависит от модуля Юнга

Чтобы натянуть плоский круг не малого радиуса на сферу, его придётся как-то деформировать. Но как именно? Есть разные варианты. Можно с сохранением длины окружности, тогда внутренность круга будет растянута. Можно с сохранением радиуса, тогда будет сжата часть, которая ближе к краю круга (уменьшится длина окружности). Могут быть промежуточные варианты. Что произойдёт на самом деле - зависит именно от упругих свойств материала круга.

-- Ср ноя 11, 2020 11:15:51 --

sergey zhukov в сообщении #1491601 писал(а):

Чтобы края тела равномерно двигались вдоль кривых, на них постоянно должна действовать сила типа центробежной.

Типа центростремительной.

sergey zhukov в сообщении #1491601 писал(а):

А приливные напряжения зависят только от кривизны пространства.

Не знаю, почему Вы называете их "приливными", но статические напряжения будут зависеть не только от кривизны в данной точке, но и в значительной степени - от упругих свойств и напряжений материала в окружающих областях.

-- Ср ноя 11, 2020 11:29:38 --

sergey zhukov в сообщении #1491601 писал(а):

И что еще за треугольник без жесткости? Это просто три свободные точки, а ее треугольник. Двигайте их, как хотите.

Кстати, три несвободные точки (попарно соединённые пружинками) тоже можно двигать как угодно в пространстве любой кривизны, без какого-либо натяжения или сжатия пружинок.

[Dan B-Yallay]

sergey zhukov в сообщении #1491601 писал(а):

Dan B-Yallay
Это просто. Никакие локальные законы не зависят от того, в искривленном или в плоском пространстве они рассматриваются, т.к. локально пространство всегда плоское.

В каком смысле понимается "локально плоское"? Если в том, что оно "действительно плоское", то тогда откуда берется вообще искривление?

Если же в том смысле, что его искривлением можно пренебречь в малых масштабах, то ведь в примере с цилиндром и плоскостью размеры тела не пренебрежимо малы: они сравнимы с областью искривления. Bсё, чем мы пренебрегли локально, может в масштабе всего тела внести заметный вклад в общие силы, которые Вы называете приливными. Насколько я понимаю, модуль Юнга -- это характеристика электромагнитного взаимодействия между молекулами/атомами данного тела и, соответственно, мой вопрос сводится к такому: меняется ли э/м взаимодействие в искривлённом пространстве. Но это я уже могу поискать сам.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1491609 писал(а):

Чтобы натянуть плоский круг не малого радиуса на сферу, его придётся как-то деформировать. Но как именно?

Это верно, конечно. Но если мы имеем изотропный упругий материал, то хотя я это так сразу и не докажу, но уверен - вид его деформации однозначно определяется только кривизной пространства, а от модуля Юнга не зависит.

epros в сообщении #1491609 писал(а):

Не знаю, почему Вы называете их "приливными"

Да можно и статическими, спору нет. Величина напряжений будет, конечно, и от упругих свойств тела зависеть. Тут мне нужно было написать "деформации" вместо "напряжения", потому, как я считаю (см. выше), что вот деформации тела зависят только от формы пространства.

epros в сообщении #1491609 писал(а):

Кстати, три несвободные точки (попарно соединённые пружинками) тоже можно двигать как угодно в пространстве любой кривизны, без какого-либо натяжения или сжатия пружинок.

Раз пружинки не растягиваются, лучше их заменить на стержни и рассматривать шарнирный треугольник. Этот треугольник, стороны которого есть геодезические заданной длины, стало быть, можно перемещать по искривленной поверхности без проблем. Не знаю, это не очевидно для меня.

-- 11.11.2020, 22:13 --

Dan B-Yallay
Тут важно понять следующее: любое взаимодействие локально. Вот вы находитесь в толпе людей. На вас как-то давят и напирают только три-четыре человека. Это ваши соседи. Больше в этой толпе на вас никто не действует. Закон взаимодействия для всей толпы - это закон взаимодействия меня с моими тремя-четырьмя соседями, размноженный на всех в этой толпе. Закон взаимодействия - это всегда дифференциальный закон. Т.е. закон взаимодействия меня только с моими соседями, больше ни с кем.

Такой закон взаимодействия никогда не говорит, как воздействует на меня кто-то, находящийся от меня дальше, чем мои соседи. Такая штука - это закон дальнодействия, мы не принимаем дальнодействие. Например, закон Ньютона говорит, как воздействуют друг на друга два удаленных тела. Это не дифференциальный закон, не закон соседей. Он не может быть верным.

А вот уравнения Максвела - это дифференциальный закон взаимодействия, закон соседей. И уравнения напряжения и деформации сплошных сред - это тоже дифференциальные уравнения.

Имея дифференциальный закон взаимодействия, нужно, конечно, проинтегрировать его, чтобы получить решение в конечной области. Вот тут, при интегрировании, кривизна пространства уже, определенно, должна учитываться. Но сам закон взаимодействия от кривизны не зависит, т.к. я и мои соседи всегда находимся на кусочке плоского пространства. Так что ваш вопрос скорее так нужно поставить: как проинтегрировать известный дифференциальный закон взаимодействия в искривленном пространстве. Это непросто, конечно.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1491736 писал(а):

Но если мы имеем изотропный упругий материал, то хотя я это так сразу и не докажу, но уверен - вид его деформации однозначно определяется только кривизной пространства, а от модуля Юнга не зависит.

Деформации ведь бывают не только сжатия-растяжения, но, например, и сдвиговые. И у материала могут быть разные коэффициенты для разных видов деформации.

Но в некоторых частных случаях типа того натягивания плоского круга на сферу, о котором я говорил выше, действительно величина модуля Юнга не имеет существенного значения.

sergey zhukov в сообщении #1491736 писал(а):

Да можно и статическими, спору нет. Величина напряжений будет, конечно, и от упругих свойств тела зависеть. Тут мне нужно было написать "деформации" вместо "напряжения", потому, как я считаю (см. выше), что вот деформации тела зависят только от формы пространства.

Просто приливными силами называют нечто другое, а именно - градиенты внешних сил.

Деформация в статическом случае определяется упругими свойствами и формой тела, а также кривизной пространства во всей области расположения тела. Важно понимать, что она - существенно нелокальна, т.е. деформация (напряжение) в данной точке существенно зависит от того, что происходит в других (и достаточно удалённых) точках тела.

А тот случай, с рассмотрения которого Вы начали - когда тело проходит через область переменной кривизны - ещё более интересный, ибо он даже и статическим быть не может. Тело-то из этой области выталкивается. Например, возьмём цилиндр, соединённый с полусферой и скользящую по этой поверхности круглую резиновую заплатку. Допустим, что когда заплатка целиком в цилиндрической части, в ней нет напряжений. Это статическое состояние. Когда заплатка целиком в сферической части, она деформирована - растянута по радиусу (больше - в центре) и сжата по окружности (больше - с краю). Это тоже статическое состояние, но при этом оно отличается некоторой дополнительной энергией, которую пришлось затратить на деформацию. Это значит, что переход с цилиндрической в сферическую часть потребует затрат энергии - своего рода "горка" в потенциальной энергии, на которую придётся забраться. А это значит, что когда заплатка находится на склоне этой горки (т.е. частично в цилиндрической, а частично в сферической части), она будет выталкиваться в сторону цилиндрической части. Это уже не статическое состояние.

Ваш пример с соединением плоскости и цилиндра через тор соответствует "потенциальному барьеру", т.е. заплатке чтобы перейти с плоскости на цилиндр придётся сначала забраться на горку, а потом скатиться с неё.

sergey zhukov в сообщении #1491736 писал(а):

Этот треугольник, стороны которого есть геодезические заданной длины, стало быть, можно перемещать по искривленной поверхности без проблем. Не знаю, это не очевидно для меня.

Это как раз очень просто. Три точки всегда можно разместить на соответствующих расстояниях друг от друга (равных длинам ненапряжённых пружин). Вот если есть четвёртая точка, соединённая пружинами с первыми тремя, а пространство двумерное, то изменение кривизны пространства уже будет приводить к натяжениям-сжатиям пружин.

sergey zhukov в сообщении #1491736 писал(а):

Тут важно понять следующее: любое взаимодействие локально.

Тем не менее, деформация тела, попавшего в область пространства с ненулевой кривизной, существенно нелокальное явление. Например, для плоской круглой заплатки, натянутой на сферу, степень растяжения в центре заплатки будет зависеть от размера этой заплатки.