2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение05.11.2020, 14:18 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
Может быть элементарно, конечно. Но мне пришлось подумать некоторое время :wink:

Для некоторых осесимметричных, бездивергентных, безвихревых, "почти равномерных" полей, например, магнитного поля в соленоиде, через теорему Гаусса легко вывести соотношение:

$B_r = - r \frac{\partial B_z}{\partial z}$, в цилиндрических координатах.
То есть $B_r$ и $\frac{\partial B_z}{\partial z}$ имеют разные знаки.

Построить осесимметричное, бездивергентное, безвихревое, "почти равномерное" поле, для которых эти величины будут иметь один и тот же знак. То есть такое поле, что в некоторой области пространства, в цилиндрических координатах:
1. $B_{\varphi} = 0$, $\frac{\partial B_z}{\partial \varphi} =0$, $\frac{\partial B_r}{\partial \varphi} =0$
2. $\nabla \vec{B} = 0$, $\nabla \times \vec{B} = 0$
3. $B_r \ll B_z$
4. $B_r$ имеет такой же знак, как и $\frac{\partial B_z}{\partial z}$

"Построить" - любым способом (привести явный приvер $\vec{B}(r,z)$, графически, описать словами метод построения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Что-то никто не откликнулся, а дело вроде нехитрое. Введем в области скалярный потенциал $\Psi.$ Он удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta\Psi=0.$ В силу аксиальной симметрии это уравнение сведется к $$\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}r\frac{d}{dr}+\frac{d^2}{dz^2}\right)\Psi=0.$$ Условие $B_r = r \frac{\partial B_z}{\partial z}$ связывает $\frac{d^2\Psi}{dz^2}$ с $\frac{d\Psi}{dr}.$ Получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, и ву-аля!

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 17:48 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
Попробуем довести до конца

$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r B_r) + \frac{1}{r} B_r = 0$
$2 B_r + r \frac{\partial}{\partial r} B_r = 0$

Решение ОДУ:
$B_r = \frac{f(z)}{r^2}$

Отсюда сразу:
$\Psi = - \frac{f(z)}{3 r^3} + g(z)$

Далее, пытаемся найти $f(x)$... и не получается. :-(

-- 06.11.2020, 18:13 --

(Оффтоп)

Представляю, как построить такое поле, чтобы оно удовлетворяло условиям в некоторой довольно таки ограниченной области вдали от оси.
Причем построение не аналитическое, а так скажем графическое "на картинках".

Сомневаюсь, что можно построить такое поле, чтобы оно удовлетворяло всем условиям (кроме (3)) "почти во всем" $R^3$. Например, кроме "проводников" нулевого объема, на которых ротор не нулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
EUgeneUS в сообщении #1490931 писал(а):
и не получается
Да, не выходит каменный цветок. IMHO, дело в соотношении $B_r = - r \frac{\partial B_z}{\partial z}.$ Что-то его не выполнить в аксиально-симметричном поле без токов. А откуда это чудо взялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 21:48 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
amon в сообщении #1490975 писал(а):
А откуда это чудо взялось?

Из ошибки в условиях вот этой задачи.
Там:
а) Соленоид расположен вертикально.
б) Ось направлена вверх.
в) А у нижнего конца $B_r > 0$ и $B_z > 0$$t=0$).

Вот и подумалось - так вообще может быть, хоть где-то, хоть для какого-то поля?

(графическое решение)

а) Возьмем плоское сечение поля соленоида плоскостью, проходящей через ось соленоида.
б) Возьмем ось, параллельную оси соленоида, лежащую в данной плоскости вне среза соленоида.
в) Закрутим "картинку" вокруг новой оси.

В области у срезов магнитной системы ближе к новой оси условия буду выполнены.
Такое поле можно создать двумя соосными соленоидами, с небольшой разницей радиусов и противоположным направлением тока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
EUgeneUS в сообщении #1490980 писал(а):
В области у срезов магнитной системы ближе к новой оси условия буду выполнены.
Терзают сомнения, что точно выполнены. Вроде как, мы общими усилиями доказали, что поля (точного), указанного в условии:
1. $B_{\varphi} = 0$, $\frac{\partial B_z}{\partial \varphi} =0$, $\frac{\partial B_r}{\partial \varphi} =0$
2. $\nabla \vec{B} = 0$, $\nabla \times \vec{B} = 0$
3. $B_r = - r \frac{\partial B_z}{\partial z}$ (знак тут неважен)
в природе не бывает. Из условия 2) следует, что в области, где такое поле существует, можно вводить скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа, и далее - по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 22:17 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
amon в сообщении #1490983 писал(а):
(знак тут неважен)

Имхо, для исходных условий всё дело как раз в знаке множителя $k$ в $B_r = k \frac{\partial B_z}{\partial z}$, он должен быть положителен.
А какой положительный множитель будет, для исходных условий не важно. Вообще говоря, это может быть любая положительная функция от $r$, $z$.

Просто доказали, что множитель в виде $k=r$ (как и $k=-r$) не подходит.

Я сначала кинулся доказывать, что такого не бывает, через $\nabla \vec{B} =0$.
Дивергенция в цилиндрических координатах:
$\frac{1}{r} \frac{\partial (r B_r)}{\partial r} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0$
$\frac{\partial B_r}{\partial r} + \frac{B_r}{r} + \frac{\partial B_z}{\partial z} =0$

Второе и третье слагаемое одного знака (пусть положительные). Но первое-то может быть отрицательным.
Предполагаю, что исходные условия нельзя выполнить в области в виде цилиндра вокруг оси, даже если саму ось исключить. (1)
А в некотором толстом кольце с ненулевым внутренним радиусом - возможно. Для этого вроде бы построил пример. А доказать (1) - это уже выше моих сил :-( :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
$$B_r  =  - J_1 (r)\sin z, \quad B_z  = J_0 (r)\cos z$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 22:22 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
UPD:
EUgeneUS в сообщении #1490989 писал(а):
Вообще говоря, это может быть любая положительная функция от $r$, $z$.

Конечно, не вообще любая, а такая, что выполняются остальные условия, то есть есть скалярный потенциал $\Psi$ и $\triangle \Psi = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2124
/dev/zero
Утундрий в сообщении #1490992 писал(а):
$$B_r  =  - J_1 (r)\sin z, \quad B_z  = J_0 (r)\cos z$$

А тут точно $\operatorname {div} \equiv 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Проверьте, может знак потерял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение06.11.2020, 23:49 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
Если поискать потенциал в виде $\Psi = f(r)g(z)$
Тогда $\frac{\partial f(r)}{\partial r} = \frac{1}{r} + k \frac{r}{2}$, где $k$ - константа.
для $k=-1$, получается $g(z) = e^z$ (или $g(z) = e^{-z}$)

И получается пример: $\Psi = (\ln r - \frac{r^2}{4})e^z$,
$B_r = (\frac{1}{r} - \frac{r}{2})e^z$
$B_z = (\ln r - \frac{r^2}{4})e^z = \frac{\partial B_z}{\partial z}$
Для $r > \sqrt{2}$ условия выполняются.

А вот функции Бесселя в потенциале вида $\Psi = f(r)g(z)$ у меня никак не получаются...

-- 07.11.2020, 00:24 --

UPD:
Если в прошлом примере взять $k=1$, тогда
$g(z) = \sin z $ и $\Psi = (\ln r + \frac{r^2}{4}) \sin z$

$B_r = (\frac{1}{r} + \frac{r}{2}) \sin z$
$B_z = (\ln r + \frac{r^2}{4}) \cos z$
$\frac{\partial B_z}{\partial z} = - (\ln r + \frac{r^2}{4}) \sin z$

Тогда условия выполняются, при достаточно малых $r$, когда $(\ln r + \frac{r^2}{4}) < 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение07.11.2020, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Может быть я и ошибся. Однако, Лаплас в цилиндре это таки Бессель. Будет время, распишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение07.11.2020, 00:31 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
Чьёрт. Нашел ошибку у себя :roll:

(Оффтоп)

Спать пора

 Профиль  
                  
 
 Re: Осесимметричное поле с заданными свойствами
Сообщение07.11.2020, 07:57 


21/07/20
157
EUgeneUS в сообщении #1490795 писал(а):
"Построить" - любым способом (привести явный приvер $\vec{B}(r,z)$, графически, описать словами метод построения).

Если допустить, что область, в которой выполняются условия задачи не обязательно является односвязной, то в качестве примера можно привести электростатическое поле длинной однородно заряженной нити и точечного заряда противоположного знака, расположенного на ней. Для заданных значений заряда и линейной плотности заряда можно указать область, в которой условия 1...4 будут выполнены для вектора напряженности электрического поля. Наверняка есть и другие примеры подобных электростатических полей.
Но в исходной постановке, наверное, подразумевалась односвязная область.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group