Диполь

[pogulyat_vyshel]

Определение. Будем говорить, что частица на плоскости движется в поле диполя, если на нее воздействует сила

$$\boldsymbol F=-\mathrm{grad}\,V(\boldsymbol r),$$

где потенциал $V$ в подходящих полярных координатах выражается формулой

$$V(r,\varphi)=\gamma\frac{\cos\varphi}{r^2},\quad \gamma=\mathrm{const}>0.$$

Задача: описать начальные условия, при которых траектория частицы массы $m$ имеет асимптоту.

[Ignatovich]

(Оффтоп)

$\cos\varphi >0$ в начальной точке

[pogulyat_vyshel]

Ignatovich в сообщении #1481198 писал(а):

$\cos\varphi >0$ в начальной точке

это достаточное условие, но далеко не необходимое

[Ignatovich]

Полная энергия положительна в начальной точке:
$V+m\upsilon^2/2>0$

[EUgeneUS]

Ignatovich в сообщении #1481213 писал(а):

$V+m\upsilon^2/2>0$

А этого уже недостаточно. При $\varphi_0 = \pi$ и нулевом прицельном параметре частица свалится в ямку при любой начальной скорости.

[Ignatovich]

EUgeneUS в сообщении #1481221 писал(а):

А этого уже недостаточно. При $\vatphi_0 = \pi$ и нулевом прицельном параметре частица свалится в ямку при любой начальной скорости.

… свалится, если $\frac{dr}{dt}<0$ в начальный момент. Возражение принято. Исправляю неточности.
У меня получились следующие необходимые и достаточные условия:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &-m\upsilon^2/2<V<0& \\ &\frac{dr}{dt}>0& \\ \end{array} \right.$$

Или

$V>0$ при любом $dr/dt$.

Все величины относятся к начальному моменту, $r$ - расстояние до точечного диполя.

[pogulyat_vyshel]

Ignatovich в сообщении #1481225 писал(а):

валится, если $\frac{dr}{dt}<0$ в начальный момент. Возражение принято. Исправляю неточности.
У меня получились следующие необходимые и достаточные условия:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &-m\upsilon^2/2<V<0& \\ &\frac{dr}{dt}>0& \\ \end{array} \right.$$

Или
$V>0$ при любом $dr/dt$.

Все величины относятся к начальному моменту, $r$ - расстояние до точечного диполя.

Гадание на кофейной гуще в разгаре. Необходимых и достаточных условий тут нет. Когда они появятся вместе с доказательством, я подключусь.

И вдогонку: при каких начальных условиях движение будет периодическим?

[Ignatovich]

Ну, конечно, гадаю, конечно, на гуще. Это для периодического движения:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &V+m\upsilon^2/2=0& \\ &\vec{r}\vec{\upsilon}=0& \\ \end{array} \right.$$

[pogulyat_vyshel]

Ignatovich в сообщении #1481228 писал(а):

Ну, конечно, гадаю, конечно, на гуще. Это для периодического движения:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &V+m\upsilon^2/2=0& \\ &\vec{r}\vec{\upsilon}=0& \\ \end{array} \right.$$

это верно

[Ignatovich]

Значит угадал!
Уважаемый pogulyat_vyshel, посмотрите, пожалуйста, может быть и мой предыдущий результат верный? Бывает, мы все иногда ошибаемся.

[pogulyat_vyshel]

Давайте вскрывать карты. Пусть $m=1$. Гамильтониан:

$$H=\frac{1}{2}p_r^2+\frac{1}{r^2}\Big(\frac{1}{2}p_\varphi^2+\gamma\cos\varphi\Big).$$

Таким образом, функция $F=\frac{1}{2}p_\varphi^2+\gamma\cos\varphi$ -- первый интеграл, константу этого интеграла дальше обозначаем за $f$. Константу интеграла энергии -- за $h$.
Задача разваливается на две системы с одной степенью свободы каждая

$$\dot r=\frac{\partial \tilde H}{\partial p_r},\quad \dot p_r=-\frac{\partial \tilde H}{\partial r},\quad \tilde H=\frac{1}{2}p_r^2+\frac{f}{r^2}$$

и

$$\frac{d}{d\tau} \varphi=\frac{\partial F}{\partial p_\varphi}\quad \frac{d}{d\tau} p_ \varphi=-\frac{\partial F}{\partial \varphi},\quad r^2d\tau= dt$$

После писания асимптотик и разглядывания фазовых портретов :
Траектория имеет асимптоту тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий (их можно упростить с помощью формальной логики, но я не буду)
1) $f>0$

2) $f<0$ и $h>0$ и $p_r>0$

3) $f=0$ и $p_r>0$

-- 29.08.2020, 12:20 --

Периодические движения $f=0$ и $p_r=0$. Все условия поставлены при $t=0$

[Ignatovich]

Я действовал в рамках курса общей физики:

$m\vec{r}\frac{d\vec{\upsilon}}{dt}=rF_r$

После преобразований получил

$m\frac{d(\vec{r}\vec{\upsilon})}{dt}=2W$,

где W - полная энергия.
Дважды интегрирую и получаю зависимость квадрата расстояния от времени:

$r^2=r_0^2+2\vec{r_0}\vec{\upsilon_0}t+(2W/m)t^2$.

Отсюда вытекают записанные выше условия периодического движения и начальные условия, необходимые и достаточные для убегания частицы в бесконечность.

[pogulyat_vyshel]

Ignatovich в сообщении #1481236 писал(а):

Дважды интегрирую и получаю зависимость квадрата расстояния от времени:
$r^2=r_0^2+2\vec{r_0}\vec{\upsilon_0}t+(2W/m)t^2$.

Отсюда вытекают записанные выше условия периодического движения и начальные условия, необходимые и достаточные для убегания частицы в бесконечность.

убегание частицы в бесконечность и наличие у траектории асимптоты -- не одно и тоже

[Ignatovich]

В бесконечности частица будет двигаться прямолинейно и равномерно - разве это не асимптота?

[pogulyat_vyshel]

Ignatovich в сообщении #1481244 писал(а):

В бесконечности частица будет двигаться прямолинейно и равномерно - разве это не асимптота?

Смотря, что вы под этим понимаете, есть же определения их и надо проверять. Вот, например, в задаче Кеплера, частица может уходить в бесконечность по параболе. Как это по-вашему будет "прямолинейно и равномерно в бесконечности" или нет? и как из ваших рассуждений следует, что в данной задаче чего то подобного не случится?