Диполь

[Ignatovich]

Наверное, вы правы. Относительно общепринятых определений не спорят. Если не трудно, поясните, что понимают под асимптотой траектории?

[fred1996]

Ignatovich
Асимптота - это прямая, к которой стремится кривая в бесконечности.
В данном случае "стремится" означает, что в бесконечности предел расстояния от кривой до этой прямой стремится к нулю. Асимптотически стремиться можно с одной стороны. Пример -затухающая экспонента или гипербола. Или пересекаться бесконечное число раз. Пример - затухающие гармоничные колебания.
Есть ещё понятие асимптотическое разложение функции, что несколько другое. Эти понятия частенько путают.

[Ignatovich]

Ну это я понимаю. Но уважаемый pogulyat_vyshel пишет, что есть какое-то другое определение. Или, что бесконечно далеко от силового центра в задаче Кеплера тело может двигаться криволинейно.

[iifat]

Ignatovich в сообщении #1481253 писал(а):

Или, что бесконечно далеко от силового центра в задаче Кеплера тело может двигаться криволинейно

Дык мало того, он же ведь и пример вам предоставил.

[Mikhail_K]

Ignatovich
Определение асимптоты самое обычное.
Возьмите обычную параболу. Вдали от вершины она на вид похожа на прямую линию. А ещё дальше от вершины - ещё более похожа на прямую линию (но другую). А ещё дальше - так и вообще неотличима на вид от прямой линии (но от третьей).
А асимптоты у параболы нет.

[pogulyat_vyshel]

Ignatovich в сообщении #1481232 писал(а):

Значит угадал!

Именно так, угадали. Потому, что периодичность из ваших рассуждений тоже не вытекает.

[Ignatovich]

С параболой все понятно. Сбило другое: силы бесконечно малые. Но, если действуют они бесконечно долго, то и траектория может быть криволинейной. Жаль, что в простом ошибся. Всем спасибо за обсуждение.

-- 29.08.2020, 16:58 --

Ignatovich в сообщении #1481262 писал(а):

Именно так, угадали. Потому, что периодичность из ваших рассуждений тоже не вытекает.

Я записал условия, когда при движении остается постоянным расстояние до силового центра. Периодичность не доказал.

[pogulyat_vyshel]

Кстати, если кто думает,что при периодическом движении в этой задаче точка крутится вокруг центра -- так это неверно :)

[lel0lel]

Конечно не окружность, ведь если в какой-то момент времени выполняется условие $\cos\varphi>0$, то это гарантирует, что частица уйдёт на бесконечность. По полуокружности движется туда-сюда

[pogulyat_vyshel]

lel0lel в сообщении #1481324 писал(а):

По полуокружности движется туда-сюда

Именно так.

Тут еще диаграмму Смейла желательно было бы нарисовать для полноты картины.

-- 30.08.2020, 15:23 --

задачи с квадратичными интегралами (кроме энергии, конечно) в учебные курсы редко попадают

[lel0lel]

А вообще подход Ignatovich можно довести до ума; зависимость $r(t)$ получена верная, только исследована она не полностью.

Утверждение. Для полей, у которых градиент стремится к нулю на бесконечности, (здесь бы стоило привести условие на асимптотику модуля градиента, но пока без него) справедливо следующее:
если частица уходит на бесконечность (полагаем, что поле на бесконечности равно нулю) и при этом $E>0$ (то есть на бесконечности скорость отлична от нуля), то асимптота существует.

В качестве обоснования следующее размахивание рук: движение частицы, имеющей ненулевую скорость на бесконечности, будет асимптотически стремиться к равномерному прямолинейному движению, если она уходит на бесконечность, где действующие на неё силы бесконечно малы. Также можно вспомнить теорию рассеяния: in-асимптота есть всегда, если поле и его производные на бесконечности равны нулю и у частица есть ненулевая скорость.

Рассмотрим случай $E>0$.
Уравнение, определяющее момент падения на центр, имеет вид $(2E/m)t^2+2\vec{r}_0\vec{v}_0t+r_0^2=0$. Поскольку нас интересует случай непадения частицы на центр, то нужно потребовать чтобы корни уравнения либо оба были комплексные (в этом случае траектория частицы не проходила через центр в прошлом и не пройдёт в будущем), либо оба отрицательные (в этом случае если продолжить траекторию в прошлое, то она пройдёт через центр, но в будущем не проходит). Итак, требование комплексности корней даёт $E>m (\vec{r}_0\vec{v}_0)^2/(2r_0^2)$, то есть $E>m\dot{r}(0)^2/2$; требование отрицательности даёт $0<E\leq m\dot{r}(0)^2/2$ и $\vec{r}_0\vec{v}_0>0$, последнее неравенство сводится к $\dot{r}(0)>0$.
Итог: частица уходит на бесконечность, имеет там ненулевую скорость, и при этом траектория при $t\geq0$ не проходит через центр если
\begin{gather}\nonumber E>m\dot{r}(0)^2/2\end{gather}
или
\begin{gather}\nonumber 0<E\leq m\dot{r}(0)^2/2\text{ и } \dot{r}(0)>0\end{gather}.

При $E=0$ частица также может достичь бесконечности если $\dot{r}(0)>0$ и, казалось бы, требуется дополнительное исследование. Но в приведённом pogulyat_vyshel ответе нет случая $h=0$, $f=-\gamma$, $\dot{r}(0)>0$, а ведь в этом случае очевидно, что частица будет уходить на бесконечность по прямой. Поэтому нужно договориться следует ли рассматривать случай нулевой полной энергии.

[Ignatovich]

lel0lel в сообщении #1481353 писал(а):

При $E=0$ частица также может достичь бесконечности если $\dot{r}(0)>0$ и, казалось бы, требуется дополнительное исследование. Но в приведённом pogulyat_vyshel ответе нет случая $h=0$, $f=-\gamma$, $\dot{r}(0)>0$, а ведь в этом случае очевидно, что частица будет уходить на бесконечность по прямой. Поэтому нужно договориться следует ли рассматривать случай нулевой полной энергии.

Прямолинейных траекторий в этой задаче нет. Но расстояние от точечного диполя до частицы меняется линейно со временем при нулевой полной энергии.

[lel0lel]

Ну как это нет, представьте два заряда на оси, разместите третий заряд на этой же оси и толкните его в сторону бесконечности, что его заставит сойти в сторону?

[Ignatovich]

Ну да, эта прямая будет траекторией, правда неустойчивой. Но вы говорили про случай нулевой энергии.

[pogulyat_vyshel]

lel0lel в сообщении #1481353 писал(а):

ответе нет случая $h=0$, $f=-\gamma$, $\dot{r}(0)>0$, а ведь в этом случае очевидно, что частица будет уходить на бесконечность по прямой.

согласен, пропустил