Понятие "следует" и аксиоматика Пеано

[Mikhail_K]

Tiom в сообщении #1476142 писал(а):

Какое конкретно значение будет у S(1)? 2?

$2$. Потому что число $2$ определяется как $S(1)$. Это определение числа $2$.

(Конечно, ещё можно определять все натуральные числа в терминах пустого множества, но тогда и аксиомы Пеано будут не нужны, или будут не аксиомами, а теоремами.)

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[epros]

Tiom в сообщении #1476142 писал(а):

А что сопоставляет аргументу функция $S(x)$? Какое конкретно значение будет у $S(1)$? $2$? А может $15$, а может $567454$?

Функция $S(x)$ сопоставляет аргументу новое значение. И этого достаточно.
К тому же в некоторых версиях аксиоматизации арифметики символ $1$ отсутствует, так что есть только числа $S(0), S(S(0))$ и т.д. А то, что они называются "один", "два" и т.д. - это уже просто кому-то так удобнее показалось. Можно и без этого обойтись.

[Someone]

Tiom в сообщении #1476142 писал(а):

Так аксиомы не объясняют как эта функция работает.

Не имеет значения, как эта функция "работает" и на каком множестве, лишь бы она всем аксиомам удовлетворяла. Аксиомы определяют только элемент $1$ (или $0$, если хотят начинать натуральный ряд с нуля), а смысл остальных определяется как раз через функцию $S$: $S(1)=2,S(2)=3,S(3)=4,\ldots$

[mecak17]

(мнение дилетанта)

Mikhail_K в сообщении #1476143 писал(а):

$2$. Потому что число $2$ определяется как $S(1)$. Это определение числа $2$.

Someone в сообщении #1476238 писал(а):

а смысл остальных определяется как раз через функцию $S$: $S(1)=2,S(2)=3,S(3)=4,\ldots$

Смысл чисел "1, 2, 3, 4, 5..." не определяется формулами PA, а определяется жизненным опытом. В PA же не говорят об "1, 2, 3, 4, 5...", а говорят об "$1, S, +, \cdot,...$"
Сокращения типа "$5$ это $S(S(S(S(1))))$" вводятся уже после того, как мы поняли, что удобно считать, что PA говорит о числах, а знаки, представленные в PA это сложение, умножение, равенство, фраза "для всех $x$"..., т.к. в таком случае выводимые в PA теоремы соответствуют верным утверждениям о числах. Делать так очень удобно, но если делать такое перед человеком, который не изучал PA вообще и не видит разницы между тем, сопоставить $S(1)$ двойке, пятнадцати или $567454$, то это очень напоминает философские игры в определения типа "я могу определять вещи как мне захочется, так что определю стул столом". Вообще, судя по сообщениям ТС-а его проблема не в понимании понятия "следует" а в понимании того, что такое аксиоматика вообще, зачем она нужна и когда она не нужна и, что бы вы ему ни говорили, он не поймёт ваши слова в силу своей безграмотности в сфере, в которой задал вопрос. Как мне кажется, лучше дать ему хороших книг по теме и пусть он задаст вопрос хотя бы после того, как поймет, о чём спрашивает.

[Tiom]

epros в сообщении #1476183 писал(а):

Tiom в сообщении #1476142 писал(а):

А что сопоставляет аргументу функция $S(x)$? Какое конкретно значение будет у $S(1)$? $2$? А может $15$, а может $567454$?

Функция $S(x)$ сопоставляет аргументу новое значение. И этого достаточно.

Этого явно недостаточно, чтобы обосновать что $S(1) = 2$, а не, скажем, чупакабре.

-- 27.07.2020, 08:45 --

Someone в сообщении #1476238 писал(а):

Tiom в сообщении #1476142 писал(а):

Так аксиомы не объясняют как эта функция работает.

Не имеет значения, как эта функция "работает" и на каком множестве, лишь бы она всем аксиомам удовлетворяла. Аксиомы определяют только элемент $1$ (или $0$, если хотят начинать натуральный ряд с нуля), а смысл остальных определяется как раз через функцию $S$: $S(1)=2,S(2)=3,S(3)=4,\ldots$

да, только вот аксиомы не определяют саму функцию. Читаем у Зорича:

Цитата:

Итак, задание функции (отображения) предполагает указание тройки
(X, f , Y), где
X — отображаемое множество, или область определения функции;
Y — множество, в которое идет отображение, или область прибытия функции;
f — закон, по которому каждому элементу x из X сопоставляется определенный элемент y из Y.

Как видим, последний обязательный элемент в определении функции в данной аксиоматике отсутствует.

[Mikhail_K]

Tiom в сообщении #1476270 писал(а):

да, только вот аксиомы не определяют саму функцию

Они утверждают, что такая функция есть. И что она сопоставляет каждому натуральному числу $x$ натуральное число $S(x)$. Как именно сопоставляет - аксиомы не говорят; но этого и нигде не оказывается нужно.

Tiom в сообщении #1476270 писал(а):

Этого явно недостаточно, чтобы обосновать что $S(1) = 2$, а не, скажем, чупакабре.

На это ответ уже дан. Просто утверждается, что такое $S(1)$ существует. Обосновывать, что $S(1)=2$ не нужно; наоборот, можно дать такое определение числу $2$: $2$ - это $S(1)$. Определения не нужно обосновывать.

[epros]

Tiom в сообщении #1476270 писал(а):

Этого явно недостаточно, чтобы обосновать что $S(1) = 2$, а не, скажем, чупакабре.

Вы не хотите слышать. "Два" ($2$) это всего лишь название для $S(1)$. Не нужно обосновывать названия.

[kotenok gav]

mecak17 в сообщении #1476262 писал(а):

Смысл чисел "1, 2, 3, 4, 5..." не определяется формулами PA, а определяется жизненным опытом.

Нет.

[iifat]

Mikhail_K в сообщении #1476274 писал(а):

Tiom в сообщении #1476270 писал(а):

да, только вот аксиомы не определяют саму функцию

Они утверждают, что такая функция есть

На самом деле, имхо, они даже этого не утверждют

[Someone]

iifat в сообщении #1476302 писал(а):

На самом деле, имхо, они даже этого не утверждют

Именно так. Функция "следующий элемент" входит в сигнатуру теории "арифметика Пеано (первого порядка)", и потому предполагается существующей независимо ни от каких аксиом. Аксиомы просто описывают её свойства.