Понятие "следует" и аксиоматика Пеано

[Tiom]

В аксиомах Пеано фигурирует слово/понятие "следует". Например, вторая аксиома гласит: "Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным". А где, собственно, определение самого понятия "следует". Что значит число $n+1$ следует за $n$? Насколько я понимаю, оно есть, но не является аксиоматическим и никак не связана с аксиомами Пеано: это определение "следует" через отношение порядка. Но ведь отношение порядка определяется через понятие "отношение", а оно, в свою очередь, через понятия подмножества декартового произведения.

Где тут логика? Или чего-то не понимаю?

[Red_Herring]

Tiom в сообщении #1475910 писал(а):

Насколько я понимаю, оно есть, но не является аксиоматическим и никак не связана с аксиомами Пеано

В аксиоматике Пеано оно явлаяется аксиоматическим. Отношение порядка будет вторичным.

[Tiom]

Red_Herring в сообщении #1475911 писал(а):

Tiom в сообщении #1475910 писал(а):

Насколько я понимаю, оно есть, но не является аксиоматическим и никак не связана с аксиомами Пеано

В аксиоматике Пеано оно явлаяется аксиоматическим. Отношение порядка будет вторичным.

Как оно может быть аксиоматическим, если мы не можем на уровне интуиции понять, что значит число $b$ следует за числом $a$?

[Red_Herring]

Tiom в сообщении #1475919 писал(а):

Как оно может быть аксиоматическим, если мы не можем на уровне интуиции понять, что значит число b следует за числом a?

Интуиция может привести к аксиоматике, но она не является частью аксиоматики.

[Tiom]

Red_Herring в сообщении #1475922 писал(а):

Tiom в сообщении #1475919 писал(а):

Как оно может быть аксиоматическим, если мы не можем на уровне интуиции понять, что значит число b следует за числом a?

Интуиция может привести к аксиоматике, но она не является частью аксиоматики.

Т.е. в вашем понимании в аксиомах Пеано слово "следует" не наделено никаким смыслом? По вашему это просто набор букв или как?

[Padawan]

Tiom
Задана "функция следования", которая каждому натуральному числу $n$ сопоставляет непосредственно следующее за ним число $s(n)$ (часто обозначается $n'$). Эта функция удовлетворяет условиям, выраженным в аксиомах Пеано.

[Red_Herring]

Tiom в сообщении #1475927 писал(а):

По вашему это просто набор букв или как?

Разумеется, в аксиоматике Пеано "следует" определено как унарная операция, обладающая определенными свойствами. Эти свойства интуитивно мотивированы, но эта мотивировка не является частью аксиоматики Пеано. Именно так строится любая аксиоматика в математике, например, аксиоматика линейного пространства.

[Tiom]

Padawan в сообщении #1475930 писал(а):

Tiom
сопоставляет непосредственно следующее за ним число $s(n)$ (часто обозначается $n'$).

так а что значит "следующее число"?

[Mikhail_K]

Tiom в сообщении #1475945 писал(а):

так а что значит "следующее число"?

А что значит "точка" или "прямая" в геометрии Евклида? Так и тут. Определения нет и оно не нужно.

[Someone]

Tiom в сообщении #1475945 писал(а):

что значит "следующее число"?

Это название функции "$'$". Свойства этой функции определены в аксиомах.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: дискуссионности не видно.

[epros]

Tiom в сообщении #1475945 писал(а):

так а что значит "следующее число"?

Ничего не значит, кроме того, что оно есть значение функции инкремента: $S(x)$. Согласно тем аксиомам арифметики Пеано, в которых присутствует унарный функциональный символ $S$, функция инкремента - это инъекция, среди значений которой нет нуля. Ничего более. Это - исчерпывающее определение данной функции

-- Вс июл 26, 2020 15:07:55 --

Если говорить об "интуиции", то большая её часть зашита в этих двух аксиомах: $S(x) \ne 0$ и $S(x)=S(y) \to x=y$. Первая аксиома утверждает, что нуль - "начальное" число натурального ряда, а вторая, что каждое применение инкремента порождает "новое" число натурального ряда.

Даже если у нас больше нет никаких аксиом, мы уже можем спокойно считать, что у нас есть какое-то понятие натурального числа. По крайней мере, мы можем сказать в ответ на вопрос, что такое "натуральное число", что это - замкнутый терм языка данной теории (каковыми, как Вы понимаете, являются $0, S(0), S(S(0))$ и т.д.). И что самое замечательное, в силу второй аксиомы мы понимаем, что все эти термы соответствуют разным натуральным числам.

[Tiom]

Mikhail_K в сообщении #1475947 писал(а):

Tiom в сообщении #1475945 писал(а):

так а что значит "следующее число"?

А что значит "точка" или "прямая" в геометрии Евклида? Так и тут. Определения нет и оно не нужно.

Так в том и дело, что понятия "точка" и "прямая" интуитивно понятны и без определения. А как понять на уровне обыденной интуиции "следующее число"?

[Someone]

Tiom в сообщении #1476135 писал(а):

понятия "точка" и "прямая" интуитивно понятны и без определения.

Просто Вы к ним давно привыкли. А у Евклида объяснение того, что такое прямая, было весьма невнятным.
А чем Вас не устроили два предыдущих объяснения? "Следующее число" — имя функции, определённой на некотором множестве (или, если хотите, — её значение на заданном элементе множества). Какой-то и на каком-то множестве. Совершенно неважно какой и на каком множестве. Её свойства определены в аксиомах, которым она должна удовлетворять.

[Tiom]

Someone в сообщении #1475995 писал(а):

Tiom в сообщении #1475945 писал(а):

что значит "следующее число"?

Это название функции "$'$". Свойства этой функции определены в аксиомах.

Так аксиомы не объясняют как эта функция работает. Если у меня есть функция $f(x) =x^2$, то я понимаю как она сопоставляет значение аргументу. А что сопоставляет аргументу функция $S(x)$? Какое конкретно значение будет у $S(1)$? $2$? А может $15$, а может $567454$?