Элементарные вопросы алгебры

[iifat]

vadimm в сообщении #1472710 писал(а):

конечно мой первый вариант доказательства провален

Ну, почему ж сразу провален-то. Не самый простой/короткий — разумеется. Требует доработки — однозначно. Но таки ж не провален, имхо.

[kotenok gav]

vadimm в сообщении #1472710 писал(а):

Выходит, что используя аксиому существования и свойство единичного элемента группы, сделать можно, наверное так: $e_1 = e_1e_2 = e_2$.

Да, именно.

vadimm в сообщении #1472710 писал(а):

$ (1) ~e^{-1} = e$,
$e^{-1}e = e^{-1}$ (аксиома единичного элемента)
$e^{-1}e = e$ (аксиома обратного элемента к элементу $e$).

Правильно.

vadimm в сообщении #1472710 писал(а):

$ (2) ~(a^{-1})^{-1} = a,$
$(a^{-1})^{-1} = (a^{-1})^{-1}e = (a^{-1})^{-1}(a^{-1}a) = ((a^{-1})^{-1}a^{-1})a = ea = a.$

Есть более простое доказательство, не использующее ассоциативность (рассмотрите $aa^{-1}$ и $(a^{-1})^{-1}a$ и воспользуйтесь правилом сокращения, которое верно в группах (доказательство которого так же не использует ассоциативность, докажите его)).

-- 07 июл 2020, 17:31 --

Такая структура, кстати ("неассоциативная группа") называется петлёй (точнее, для ваших последних двух теорем стоит либо добавить в петлю условие того, что левый и правый обратный элемент всегда совпадают, либо чуть уточнить их (попробуйте это сделать)).

[vadimm]

kotenok gav в сообщении #1472723 писал(а):

рассмотрите $aa^{-1}$ и $(a^{-1})^{-1}a$ и воспользуйтесь правилом сокращения

Это имеется ввиду: $1) ~aa^{-1}=e, ~(a^{-1})^{-1}a^{-1} = e \Rightarrow 2) ~(a^{-1})^{-1}a^{-1} = aa^{-1} \Rightarrow 3) ~(a^{-1})^{-1} = a$ , сократив левую и правую части $(2)$ на $a^{-1}?$ Если так, то почему это проще?

[iifat]

kotenok gav в сообщении #1472723 писал(а):

правилом сокращения, которое верно в группах (доказательство которого так же не использует ассоциативность, докажите его)

Как это вы (не спрашиваю — зачем) докажете правило сокращения без ассоциативности?

[kotenok gav]

(Старое)

vadimm в сообщении #1472760 писал(а):

Это имеется ввиду: $1) ~aa^{-1}=e, ~(a^{-1})^{-1}a^{-1} = e \Rightarrow 2) ~(a^{-1})^{-1}a^{-1} = aa^{-1} \Rightarrow 3) ~(a^{-1})^{-1} = a$ , сократив левую и правую части $(2)$ на $a^{-1}?$

Да.

vadimm в сообщении #1472760 писал(а):

Если так, то почему это проще?

Хотя бы потому, что это доказательство не использует ассоциативность.

Теперь докажите правило сокращения, и сформулируйте правило сокращения и обе ваших теоремы в петле (где, напоминаю, правый обратный элемент и левый обратный элемент не совпадают).

UPD

iifat в сообщении #1472762 писал(а):

Как это вы (не спрашиваю — зачем) докажете правило сокращения без ассоциативности?

Ой, точно vadimm, в общем, тогда и ваше новое доказательство, и ваше старое одинаково хороши...

Но предложение сформулировать первую вашу теорему (о единице и ее обратном элементе) в петле все равно остается в силе.