2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Докажите без калькулятора
Сообщение10.06.2020, 12:28 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Без использования калькулятора докажите, что:
$$\ln1.1<\frac{1}{\sqrt[3]{1155}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение10.06.2020, 16:37 


05/09/16
11467
Посчитаем левую часть Тейлором, считаем до 9-го знака.
Умножаем всё на $10^9$ для простоты, потом поделим обратно.
$0,1\cdot 10^9 - 0,5\cdot10^7 + \dfrac{1}{3}10^6 - \dots$
Записываем члены пока они не станут меньше единицы (вроде в уме легко посчитать это всё кроме одной седьмой, но от неё на надо только две цифры, так что можно и это в уму)
$+100'000'000$
$-005'000'000$
$+000'333'333$
$-000'025'000$
$+000'002'000$
$-000'000'166$
$+000'000'014$
$-000'000'001$
Складываем в столбик с учетом знаков (я складывал в уму), получаем
$095'310'180$ (т.е. $\ln (1,1) \approx 0,095310180$)
Даже при грубой оценке остаточного члена видим, что ошибка не будет превышать единицу поледнего разряда и $0,095310179 < \ln (1,1) < 0,095310181$
Теперь делим единицу на левую границу т.е. находим $1'000'000'000:95'310'179$ -- столбиком
И получаем $10,4920587$
Теперь возводим это (что было легче, берем 8 знаков, т.е. $10,492058$ -- округляем вниз) в куб (столбиком)
После возведения в квадрат получаем $110,083281075364$, округляем вниз до $110,083281$ которое умножаем опять столбиком на $10,492058$ и получаем $1155.000169082298$ что как видим больше чем $1155$, что и требовалоь доказать.

Как-то так... :facepalm:

(Столбики)

Изображение
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение10.06.2020, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
Если рассматривать выражение справа как приближение к выражению слева, то относительная погрешность такого приближения $10^{-7}$. Здесь действительно есть какой-то интересный способ решения, или задача строго на тупой расчёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение10.06.2020, 17:24 


05/09/16
11467
В прошлый раз ( «Доказать без калькулятора» ) ничего интересней Брука нашего Тейлора не нашлось...

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение10.06.2020, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
Ну, может, какое-то известное неравенство?

А в общем случае имеет смысл сводить к рядам Лейбница.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение10.06.2020, 22:24 
Заблокирован


16/04/18

1129
Неравенство Тибора Радо: среднее логарифмическое не превосходит среднего степенного порядка 1/3.
$$
\frac{11-10}{\ln11-\ln10} < \left(\frac{11^3+10^3}{2}\right)^{1/3}.
$$
Порядок среднего справа нельзя уменьшить, 1/3 - точный порядок. Кстати, из степенных средних для среднего логарифмического снизу наилучшая оценка - среднее геометрическое, там порядок нельзя увеличить.
Кстати, я встретился с этим неравенство впервые в конце 1980х. У меня был кажется 8 разрядный калькулятор. Набрал на нём что-то подобное этому примеру - получилось неверное неравенство. То есть ошибка была меньше погрешности неплохого на то время калькулятора.
Стандартное упражнение по матану нередко встречается, доказать, что среднее логарифмическое между геометрическим и арифметическим средними. Это просто, а неравенство Радо сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение10.06.2020, 23:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Утундрий в сообщении #1468025 писал(а):
Здесь действительно есть какой-то интересный способ решения, или задача строго на тупой расчёт?

Есть интересный способ! Я сначала это получил, а затем проверил на калькуляторе. Ну и когда увидел, что получилось, так решил поделиться. Удачи!

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение10.06.2020, 23:47 
Заблокирован


16/04/18

1129
Нужно исправиться, из написанных выше неравенств следует, что
$$
\frac{1}{(1165,5)^{1/3}} < \ln(1,1) < \frac{1}{\sqrt{110}}
$$
Левое тоже интересно, но не то, которое хотел arqady.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение11.06.2020, 00:24 
Заслуженный участник


03/12/07
344
Украина
Без калькулятора, но с WolframaApha :-)
$$\frac1{\ln^3(1+\frac1x)}=x^3+\frac32x^2 + \frac x2 + \frac1{240x} + O\left(\frac1{x}^2\right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение11.06.2020, 00:32 
Заблокирован


16/04/18

1129
Просто обалдеть. Нашёл свою старую методичку для студентов 1994 г. с нескромным названием 100 задач.
Там есть такое неравенство
$$
\ln^3(1+1/x)< \frac{1}{x(x+1)(x+1/2)},
$$
что и нужно при $x=10$. Скорее всего, это Паде $[1/3]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение11.06.2020, 00:45 


05/09/16
11467
Edward_Tur в сообщении #1468121 писал(а):
Без калькулятора, но с WolframaApha :-)
$$\frac1{\ln^3(1+\frac1x)}=x^3+\frac32x^2 + \frac x2 + \frac1{240x} + O\left(\frac1{x}^2\right).$$

А следующий член в разложении отрицательный:
$$\frac1{\ln^3(1+\frac1x)}=x^3+\frac32x^2 + \frac x2 + \frac1{240x} -\frac1{480x^2}+ O\left(\frac1{x^3}\right)$$
Так что глыбже надо раскладывать :mrgreen:
Да, вы тут правы конечно :appl: , осталось только без вольфрама это выписать, и всё - решение без калькулятора и устное.

Все-таки Тейлор это наше всё!

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение11.06.2020, 05:07 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
novichok2018 Конечно! :D И доказательство совсем не сложное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение11.06.2020, 14:35 
Заблокирован


16/04/18

1129
У меня доказательство неравенства для куба логарифма было тупое прямолинейное, с вычислением производных.
Хотелось бы увидеть короткое, если можно, или намёк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение11.06.2020, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11535
Набросок идейно простого доказательства, использующего ряды Лейбница.

Разложим логарифм в ряд $$\ln \left( {1 + x} \right) = x - \frac{{x^2 }}{2} + \frac{{x^3 }}{3} - \frac{{x^4 }}{4} + ...$$Отметим, что это ряд Лейбница.

Заметим, что любая степень ряда Лейбница есть снова ряд Лейбница и запишем разложение куба логарифма$$\ln ^3 \left( {1 + x} \right) = a(x) + b(x) + ...$$где для краткости обозначено $$a(x): = x^3  - \frac{3}{2}x^4  + \frac{7}{4}x^5  - \frac{{15}}{8}x^6  + \frac{{29}}{{15}}x^7  - \frac{{469}}{{240}}x^8 , \qquad b(x): = \frac{{29531}}{{15120}}x^9 $$Далее находим $$1155a(0.1) = \frac{{{\text{1599996167}}}}{{{\text{1600000000}}}}, \qquad \frac{{b(0.1)}}{{a(0.1)}} = \frac{{{\text{29531}}}}
{{{\text{13090877730}}}}$$Откуда, из оценки остатка ряда Лейбница (остаток сходящегося знакочередующегося ряда по модулю не превосходит модуля первого отброшенного слагаемого) получаем $$1155\ln ^3 \left( {1.1} \right) \leqslant \frac{{{\text{1599996167}}}}{{{\text{1600000000}}}}\left( {1 + \frac{{{\text{29531}}}}{{{\text{13090877730}}}}} \right) = \frac{{{\text{143999979871}}}}{{{\text{144000000000}}}} < 1$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение11.06.2020, 23:12 


05/09/16
11467
Утундрий
А умножения без калькулятора делали?
Ведь выше ж написано:
Edward_Tur в сообщении #1468121 писал(а):
$$\frac1{\ln^3(1+\frac1x)}=x^3+\frac32x^2 + \frac x2 + \frac1{240x} + O\left(\frac1{x^2}\right).$$

Первые три члена считаем в уму, их сумма равна $1155$. Четвертый член положительный, дальше сходимость при знакопеременности...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group