2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение11.06.2020, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
wrest в сообщении #1468292 писал(а):
А умножения без калькулятора делали?
Теоретически, все вычисления можно проделать без калькулятора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 07:46 
Заблокирован


16/04/18

1129
Утундрий - почему степень ряда Лейбница опять ряд Лейбница? Знакочередование наверное понятно, а монотонность?
wrest - "дальше сходимость при знакопеременности..." - почему знакочередуемость ряда? Функция не такая простая вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 11:17 


05/09/16
12108
novichok2018
Вы правы, на первых 70 членах разложения знаки идут так
$++++-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-$
Знакопеременность прсле 4-го "сбивается" один раз. Возможно, где-то потом знакопеременность пропадает.

P.S. Проверил до 500-го члена, сбой в знакопеременности по-прежнему один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
novichok2018 в сообщении #1468317 писал(а):
почему степень ряда Лейбница опять ряд Лейбница? Знакочередование наверное понятно, а монотонность?
Потому и "набросок", что я этого не доказывал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 17:36 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
novichok2018
Можно так.

Докажем, что при $x\geq1$ $$\ln{x}\leq(x-1)\sqrt[3]{\frac{2}{x^2+x}}$$ (понятно, что это то же самое, что Вы нашли). Для этого докажем, что $f(x)\geq0$, где
$$f(x)=(x-1)\sqrt[3]{\frac{2}{x^2+x}}-\ln{x}.$$
И здесь получается такая радость:
$$f'(x)=\frac{\sqrt[3]2(x^2+4x+1)-3\sqrt[3]{x(x+1)^4}}{3\sqrt[3]{(x^2+x)^4}}=\frac{(2x^2+5x+2)(x-1)^4}{something\\positive}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 19:05 
Заблокирован


16/04/18

1129
wrest - получается интересная другая задача, про расстановку знаков. На каком члене сбой знаков?

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 19:14 


21/05/16
4292
Аделаида
Сбой у $x^{-7}$ и $x^{-8}$.

-- 13 июн 2020, 01:52 --

Будет весьма интересно записать энный член как $a_n=(-1)^\text{знак}\dfrac{\text{натуральное число}}{\text{натуральное число}\times(n-3)!x^{n-3}}$. А то факториал в знаменателе весьма отчетливо просматривается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 19:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Какое из следующих чисел больше?
$$\tg1^{\circ}+\tg3^{\circ}+\tg5^{\circ}+\tg7^{\circ}+\tg9^{\circ}$$
или $$\tg2^{\circ}+\tg4^{\circ}+\tg6^{\circ}+\tg8^{\circ}+\frac{1}{2}\tg10^{\circ}$$
Без калькулятора, конечно. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 21:33 


05/09/16
12108
arqady
$\tg x$ же быстрее растет чем $x$ то есть $\tg x > x$
Очевидно, вторая сумма больше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 22:35 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
wrest
Можно по-подробнее? Какое это имеет отношение к задаче?

(Оффтоп)

Проверили на калькуляторе? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 22:37 
Аватара пользователя


07/03/16

3167
wrest в сообщении #1468292 писал(а):
А умножения без калькулятора делали?

По идее, "без калькулятора" должно означать "без вычислений". Но я не уверен, что автор именно это имел в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 22:55 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Emergency
Без калькулятора, означает - без калькулятора. Например, на IMO у Вас есть примерно полтора часа времени на задачу, ручка и бумага. Если Вы сможете за полтора часа написать решение, используящее восьмизначные числа и не ошибиться, то Вы решили задачу.
Кстати, последняя задача была предложена в этом году школьникам, которые хотят начать учиться математике в Тель-Авивском университете. Речь идёт о седьмом, восьмом, ну девятом классе (у нас двенадцатилетняя школа).

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
arqady в сообщении #1468552 писал(а):
у Вас есть примерно полтора часа времени на задачу, ручка и бумага.
Ок, выбываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение12.06.2020, 23:48 


05/09/16
12108
arqady в сообщении #1468549 писал(а):
Можно по-подробнее? Какое это имеет отношение к задаче?

Так помойму $\tg x +  \tg 3x + \tg 5x + \tg 7x + \tg 9x < \tg 2x + \tg 4x + \tg 6x + \tg 8x + \frac12 \tg 10x$ для $0<x<9^{\circ}$, разве нет? Из-зы выпуклости тангенса книзу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите без калькулятора
Сообщение13.06.2020, 07:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
arqady в сообщении #1467966 писал(а):
Без использования калькулятора докажите, что:
$$\ln1.1<\frac{1}{\sqrt[3]{1155}}.$$

$$\ln1.1=\ln(1+\frac{1}{21}) -\ln(1-\frac{1}{21} )=
2\left(\frac{1}{21} +  \frac{1}{3 \cdot 21^3} +   \frac{1}{5 \cdot 21^5} + \dots  \right)$$

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{1155}}=\frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{440}}}{10.5}
> \frac{1 +\frac{1}{3 \cdot 440} -\frac{1}{9 \cdot 440^2}}{10.5}$$

$$ 1 +  \frac{1}{3 \cdot 441} +   \frac{1}{5 \cdot 441^2} +   \frac{1}{7 \cdot 441^3}
+ \dots  < 1 +\frac{1}{3 \cdot 440} -\frac{1}{9 \cdot 440^2} $$

Без калькулятора видно, что последнее верно.

-- Сб июн 13, 2020 08:33:33 --

Вот так видно (если картинку нарисовать)

$$  \frac{1}{2}\tg10^{\circ} < (\tg2^{\circ}-\tg1^{\circ})+ (\tg4^{\circ}-\tg3^{\circ}) + \dots$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group