модели чисел

[Brukvalub]

Свободный Художник писал(а):

Чтобы не отклоняться от темы,

Означает ли Ваш ответ

Свободный Художник писал(а):

Чтобы не отклоняться от темы

на мой вопрос

Brukvalub писал(а):

А что такое математическая система и что есть теория.

то, что Вы не можете содержательно на него ответить?

[Свободный Художник]

Проще еще можно придумать арифметическую теорию, чем Арифметика Пресбургера?

В контексте "логического программирования" есть более простая система.

Добавлено спустя 7 минут 14 секунд:

Brukvalub писал(а):

Свободный Художник писал(а):

Чтобы не отклоняться от темы,

Означает ли Ваш ответ

Свободный Художник писал(а):

Чтобы не отклоняться от темы

на мой вопрос

Brukvalub писал(а):

А что такое математическая система и что есть теория.

то, что Вы не можете содержательно на него ответить?

Конечно же, не означает.
Если Вы настаиваете...
Под теорией давайте понимать первопорядковую теорию.
По определению, теория -- это множество теорем,
теорема -- это некоторая правильно построенная формула в языке соответствующей сигнатуры.

[Brukvalub]

Мне осталось неясным, какой смысл Вы вкладываете в слова "математическая система".

[Свободный Художник]

Brukvalub писал(а):

Мне осталось неясным, какой смысл Вы вкладываете в слова "математическая система".

Извините, Brukvalub, в том месте, где я сижу, пропадал интернет.

О мат. системах, значит. В моем представлении ими являются кортежи;
если держаться Арифметики Пресбургера, то можно взять кортеж длины 2.

Первым элементом этого кортежа будет непустое множество (обозначим его N) -- носитель данной мат. системы, а вторым элементом -- тоже множество,
являющееся некоторым подмножеством декартового куба множества N,
и причем таким подмножеством, которое является (всюду определенной) бинарной операцией на множестве N.

Вот такими представляются мне возможные мат. системы в контексте конкретно Арифметики Пресбургера.

[Brukvalub]

Это Вы сами придумали такое толкование термина "математическая система", или оно является общепринятым?

[Свободный Художник]

Brukvalub писал(а):

Это Вы сами придумали такое толкование термина "математическая система", или оно является общепринятым?

В данном контексте более общепринятым, по видимому, является термин "алгебраическая система".

Хотя использование термина "математическая система" я тоже могу обосновать.

[Brukvalub]

Спасибо за разъяснения.

[Someone]

Свободный Художник писал(а):

О мат. системах, значит. В моем представлении ими являются кортежи;
если держаться Арифметики Пресбургера, то можно взять кортеж длины 2.

Первым элементом этого кортежа будет непустое множество (обозначим его N) -- носитель данной мат. системы, а вторым элементом -- тоже множество,
являющееся некоторым подмножеством декартового куба множества N,
и причем таким подмножеством, которое является (всюду определенной) бинарной операцией на множестве N.

Вот такими представляются мне возможные мат. системы в контексте конкретно Арифметики Пресбургера.

Группоиды?

[Свободный Художник]

Someone писал(а):

Группоиды?

Ну да, они.

Может я и перемудрил со свои определением, но неверным оно не является.

Если определить группоид как некоторое непустое множество с заданной на нем бинарной операцией, и принять во внимание, что каждая бинарная операция является некоторым тернарным отношением, то оба определения согласуются.

Группоиды -- это разновидность "алгебраических систем", как они определяются в универсальной алгебре.

Термин "математическая система" предлагаю далее не использовать, заменив его общепринятым термином "алгебраическая система".

[bot]

Свободный Художник писал(а):

Может я и перемудрил со свои определением, но неверным оно не является.

Перемудрили. Сами ведь ссылку давали. Там и написано, что Арифметика Пресбургера - это теория первого порядка группоидов, удовлетворяющих четырём аксиомам и бесконечной серии аксиом. Эта теория не является конечно аксиоматизируемой.

Свободный Художник писал(а):

Если определить группоид как некоторое непустое множество с заданной на нем бинарной операцией, и принять во внимание, что каждая бинарная операция является некоторым тернарным отношением, то оба определения согласуются.

А здесь продолжаете мудрить. Конечно же всякая n-арная операция является n+1-арным отношением, однако замена операций на отношения не так безобидны для теории, как может показаться. Даже замена (в некотором смысле равносильная) одной сигнатуры на другую может очень сильно сказывается на теории.
К примеру, если рассматривать теорию всех групп в сигнатуре трёх операций (умножение, обращение и выделенный нейтрал по умножению), то это эквациональная теория, иначе говоря, класс всех групп является многообразием. В частности это $\forall-$теория.
А если этот же класс рассматривать в сигнатуре одной лишь операции умножения, то теория этого класса уже не будет многообразием и даже не будет $\forall-$теорией.
Переход от операций к отношениям (предикатам) бывает удобен тогда, когда в рассмотрение требуется допустить не только подсистемы, но и произвольные подмножества - не выходя за рамки сигнатуры это делается по-другому - просто такие подмножества, не замкнутые относительно операций, называют частичной подсистемой (иногда подмоделью) данной алгебраической системы.

[ZVS]

Думаю в тему.
http://nounivers.narod.ru/ofir/moor.htm
.. следует обратить внимание и на такой аспект как неясность локализации математического знания в системе мира как таковой. Это приводит к двоякому пониманию данной проблемы: или в математике мир никаким образом не представлен, или математика представляет собой "Теорию" - то есть теорию с большой буквы или теорию всего (о чем мы уже упоминали в начале статьи). Казалось бы, сама по себе проблема "связи математики и мира" полностью умозрительна и никак не влияет на составление модели ряда натуральных чисел и других моделей упорядоченных систем численных величин. Но именно в этом мы позволим себе усомниться.

Ряд натуральных чисел представляет собой модель, в которой любой его член, включая единицу (мы уже не будем упоминать о ноле) обладает одним и тем же статусом. Но мы говорили здесь о том, с онтологической точки зрения умножение и деление на единицу представляется бессмысленной операцией (и, с другой стороны, такие операции небессмысленны с позиций математической универсализации). Тогда единица, входящая в состав натурального ряда чисел, пользуется в нем совершенно иным статусом. Единица в ряду натуральных чисел - это представитель мира, именно то, что определяет для этого ряда мир, условие, внесенное в математику миром, а вовсе не то, что сама математика строит из доступного для нее "строительного материала".
(C)
Вот здесь полностью согласен с автором.Единица-как некий базовый элемент, отнюдь не рядовое число,в смысле откуда есть математика.И начало здесь,а не в моделях теории множеств.

[Yarkin]

Свободный Художник писал(а):

Ну, значит, это и его трудности, что он назвал, и ваши трудности, что вы согласились.

Никаких трудностей не вижу.

[Captious]

Единица в ряду натуральных чисел - это представитель мира, именно то, что определяет для этого ряда мир, условие, внесенное в математику миром, а вовсе не то, что сама математика строит из доступного для нее "строительного материала".

ZVS писал(а):

Вот здесь полностью согласен с автором.Единица-как некий базовый элемент, отнюдь не рядовое число,в смысле откуда есть математика.И начало здесь,а не в моделях теории множеств.

А я позволю себе поспорить с утверждением автора о том, что натуральное число единица целиком "внесено в математику миром".
Понятие об абстрактной арифметической единице и о совокупности единиц как некоторой мысленной целостности диктуется нашим представлением об идеальном предмете и совокупностях таких устойчивых и независимых друг от друга предметов. В реальном мире "единицы" при "сложении" взаимодействуют друг с другом и не всегда 2+2=4... Всё зависит от того, что следует считать "единицей", то бишь, от интерпретации.

[Дима Тишков]

ZVS писал(а):

Вот слова Зорича:
"..список аксиом,выполнение которых на каком бы то ни было множестве R,позволяет считать это множество конкретной реализацией или как говорят моделью действительных чисел."
В.А.Зорич "Математический анализ Часть 1"Москва 1997 г. гл. 2. Действительные(вещественные)числа стр. 36

По-моему реализация и модель все-таки разные вещи. Если мы покрасим холодильник в черный цвет, то получим реализацию понятия "холодильник черного цвета", а никак не модель холодильника черного цвета. В математике строятся именно реализации чисел, а не модели, а Зорич просто чего-то не понимает.

[ewert]

Дима Тишков писал(а):

В математике строятся именно реализации чисел, а не модели, а Зорич просто чего-то не понимает.

"Я Зорича не читал, но скажу". Всё он, надо полагать, понимает. Просто понятие вещественного числа -- достаточно сложно. Наиболее компактное определение -- аксиоматическое, но для реальной работы желательно ещё и конструктивное их описание (там по Вейерштрассу, как наиболее наглядное, или пусть хоть по Дедекинду или Кантору). Вот это и будет реализацией, или моделью, или как угодно назовите -- дело вкуса.