Тройной интеграл

[Andrewkin77]

Здравствуйте! Имеется данная фигура, нужно взять интеграл по нижней части этого цилиндра (под секущей плоскостью), функция в интеграле - 2+$x$
Вопрос: могу ли я взять интеграл цилиндра высотой $2R$ и поделить его пополам, чтобы получить эту хитрую фигуру? $x$ же меняется в одинаковых пределах в любом случае. А если нельзя, как вообще лучше взять этот интеграл?
https://d.radikal.ru/d34/2005/dd/83ffa7246158.jpg

[Brukvalub]

Непонятно, в чем состоит проблема расписать кратный интеграл через повторные? Это же обычный цилиндроид, на нижней плоскости, если захочется, можно перейти к полярным координатам

[Someone]

Andrewkin77, очень плохо, что Вы не сформулировали здесь условие задачи полностью. Формулы здесь писать очень удобно, хотя и нужно потратить небольшое время на изучение команд: http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html.
И, кстати, $(z-R)^2+y^2=R^2$ — это совсем не тот цилиндр, который Вы нарисовали.

[Andrewkin77]

Brukvalub в сообщении #1463741 писал(а):

Непонятно, в чем состоит проблема расписать кратный интеграл через повторные? Это же обычный цилиндроид, на нижней плоскости, если захочется, можно перейти к полярным координатам

Ну вот я как раз затрудняюсь взять интеграл по этому «скошенному» цилиндру. Переходил к цилиндрическим координатам, но не совсем понимаю, как правильно расставить пределы. Я подумал, что гораздо проще просто посчитать по всему цилиндру и поделить на два, но вот задумался насчёт «легальности» этого решения. Я знаю, что так можно делать с константой в качестве функции, но если переменная изменяется в одних и тех же пределах что в «скошенном» цилиндре, что в этом, могу ли я так сократить вычисления?

Мой цилиндр: $x^2+y^2=R^2, x+z \leqslant R, z \geqslant 0$
Перехожу к цилиндрической СК: $r=R, 0 \leqslant z \leqslant R-r\cos\varphi$, а на $\varphi$ ограничений нет, правильно понимаю?

[Someone]

Andrewkin77 в сообщении #1463751 писал(а):

на $\varphi$ ограничений нет, правильно понимаю?

Вы хотите по $\varphi$ интегрировать от $-\infty$ до $+\infty$?

[Andrewkin77]

Someone в сообщении #1463749 писал(а):

Andrewkin77, очень плохо, что Вы не сформулировали здесь условие задачи полностью. Формулы здесь писать очень удобно, хотя и нужно потратить небольшое время на изучение команд: http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html.
И, кстати, $(z-R)^2+y^2=R^2$ — это совсем не тот цилиндр, который Вы нарисовали.

Да, я знаю, что это не тот. Исходный цилиндр я написал выше, на картинке уравнение, по которому плоскость пересекается с цилиндром
В задаче требуется найти поток поля $a=xi-xyj+zk$ через боковую поверхность вышеописанного цилиндра (его сечет плоскость) в направлении внешней нормали. Вот я добавил «крышку» и «дно» к поверхностному интегралу, чтобы замкнуть тело и применить формулу Остроградского и взять обычный тройной интеграл по объёму. «Крышку» и «дно» я, конечно, вычел из этого всего и посчитал отдельно, с этим проблем нет, а вот взять тройной интеграл по этому скошенному цилиндру я затрудняюсь, поэтому придумал, как можно упростить задачу, но задумался в правильности

-- 19.05.2020, 00:19 --

Someone в сообщении #1463753 писал(а):

Andrewkin77 в сообщении #1463751 писал(а):

на $\varphi$ ограничений нет, правильно понимаю?

Вы хотите по $\varphi$ интегрировать от $-\infty$ до $+\infty$?

Нет, конечно, под отсутствием ограничений я подразумеваю обход всей окружности от $0$ до $2\pi$

[Someone]

Andrewkin77 в сообщении #1463754 писал(а):

на картинке уравнение, по которому плоскость пересекается с цилиндром

Нет.

Andrewkin77 в сообщении #1463754 писал(а):

вот взять тройной интеграл по этому скошенному цилиндру я затрудняюсь

По-моему, это самая простая часть задачи. Переходите к цилиндрическим координатам, расставляете пределы интегрирования и вычисляете. Если Вы справились с вычислением поверхностных интегралов второго рода, то почему вдруг возникли трудности? Напишите, что у Вас получилось.

[Andrewkin77]

Someone в сообщении #1463755 писал(а):

Напишите, что у Вас получилось.

Получается $\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi$$\int\limits_{0}^{R}dr$ $\int\limits_{0}^{R-r\cos\varphi} (2-r\cos\varphi)rdz$ Это я применил формулу Остроградского и расставил пределы интегрирования так, как получилось из неравенств, написанных выше. Я правильно расставил пределы? Берётся он легко, сомнения именно в пределах

-- 19.05.2020, 00:47 --

Someone в сообщении #1463755 писал(а):

Andrewkin77 в сообщении #1463754 писал(а):

на картинке уравнение, по которому плоскость пересекается с цилиндром

Нет.

Это уравнение цилиндра, проходящего перпендикулярно моему, как раз через сечение. А если в проекции на $ZoY$, то это окружность, по которой как раз пересекается цилиндр и моя плоскость, разве нет?
Написал просто так, на самом деле, оно мне никак не понадобилось

[Someone]

Andrewkin77 в сообщении #1463760 писал(а):

Я правильно расставил пределы?

Да.

Andrewkin77 в сообщении #1463760 писал(а):

Это уравнение цилиндра, проходящего перпендикулярно моему, как раз через сечение.

Да.
Старайтесь точно формулировать свои мысли.

[Andrewkin77]

Someone в сообщении #1463761 писал(а):

Andrewkin77 в сообщении #1463760 писал(а):

Я правильно расставил пределы?

Да.

Andrewkin77 в сообщении #1463760 писал(а):

Это уравнение цилиндра, проходящего перпендикулярно моему, как раз через сечение.

Да.
Старайтесь точно формулировать свои мысли.

Понял, спасибо Вам огромное! Мысли, да, не всегда четко формулирую