Найти объем тела, равного объединению ("Ломоносов" 2005)

[ILIYA01]

Недавно встретил вот такую задачу (из олимпиады "Ломоносов" 2005)
При каждом натуральном n тело Ф_n в координатном пространстве задано неравенством 3|x|^n + |8y|^n + |z|^n < 1. Тело Ф- объединение всех тел Ф_n. Найти объем Ф.
Я довольно долго над ней сижу, но ничего в голову не приходит. Не подскажете с чего начать?

[Echo-Off]

Надо заметить, что точки внутри некоторого параллелепипеда, начиная с какого-то $n$, обязательно будут принадлежать $\Phi_n$, а точки вне этого же параллелепипеда ни при каком $n$ не будут принадлежать $\Phi_n$.

[ILIYA01]

Echo-Off, а почему это так? И что нам это дает?

[Echo-Off]

ILIYA01 писал(а):

И что нам это дает?

Это нам даёт, что объединение $\Phi_n$ есть тот самый параллелепипед (без границы). А объём параллелепипеда каждый посчитать сможет.

ILIYA01 писал(а):

Echo-Off, а почему это так?

Какое из двух утверждений Вам не понятно? В любом случае, предлагаю сначала подумать самому

[ILIYA01]

Какую фигуру в пространстве задает, например, уравнение x^3 + y^3 + z^3 = 0?
И как все меняется с ростом n? Вот это мне непонятно.

[незваный гость]

ILIYA01 писал(а):

Какую фигуру в пространстве задает, например, уравнение x^3 + y^3 + z^3 = 0?

А нам это не важно. Хоть Вы и перепутали 0 и 1, потеряли модули.

Попробуйте построить сечение $\Phi_n$ плоскостью $z = 0$.

[Brukvalub]

Здесь еще важно знать, что

\[ \mathop {\lim q^n = 0 \Leftrightarrow \left| q \right|}\limits_{n \to \infty } \, < 1 \]

[ILIYA01]

Цитата:

Хоть Вы и перепутали 0 и 1, потеряли модули

Да я просто хотел представить более менее четко с чем дело имею.

Цитата:

Попробуйте построить сечение плоскостью z=0.

Тогда получим, что 3|x^n| + |8y|^n < 1. Мне почему-то от этого не легче.
( уж извините за несообразительность)
Да, спасибо Brukvalub, наверное, важно, что |x| < 1, |y|<1, |z| < 1.
Что-то мне подсказывает, что объем должен быть равен 1, но я все-таки не понимаю как это строго обоснавать.

[Brukvalub]

Я Вам больше скажу:

\[ \left| y \right| < \frac{1}{8} \]

[ILIYA01]

А $\ |x| < \frac{1}{\sqrt[n]{3}}$

[ewert]

ILIYA01 писал(а):

Тогда получим, что 3|x^n| + |8y|^n < 1. Мне почему-то от этого не легче.
( уж извините за несообразительность)
Да, спасибо Brukvalub, наверное, важно, что |x| < 1, |y|<1, |z| < 1.

Как говорится, "нутром чую, что поллитра, а вот доказать -- не могу".
Нет, конкретные оценки на переменные как раз не имеют значения, а вот что принципиально -- это что в правой части исходного неравенства $3|x|^n + |8y|^n + |z|^n < 1$ стоит именно единица. Которая после извлечения корня энной степени остаётся единицей.

Дело в том, что эта задача -- замаскированная ссылка на известное свойство стандартных норм в конечномерном пространстве. Если для $\vec r=(x,y,z)$ определить $||\vec r||_p\equiv\left(|x|^p+|y|^p+|z|^p\right)^{1/p}$, то, как известно, $\lim\limits_{p\to\infty}||\vec r||_p=||\vec r||_{\infty}\equiv\max\{|x|,|y|,|z|\}$ (доказывается очень легко). Неравенство для последней нормы ("равномерной"): $||\vec r||_{\infty}<1$ задаёт именно параллелепипед. Восьмёрка всего лишь меняет масштаб по игрекам. Тройка несколько усложняет формальное доказательство (наверное, именно с этой целью и вставлена), но никак не влияет на ответ, т.к. $3^{1/n}\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty}=1$.

[ILIYA01]

Честно говоря, я пока незнаком со стандартными нормами в конечномерном пространстве.
Наверное, от этого мне и было все непонятно. Ну что ж, пойду сейчас с ними знакомиться.
ewert, большое спасибо за разъяснение.

[ewert]

Да там на самом деле нормы как таковые не при чём. Вам технически всё правильно объясняли. Просто, если знаешь эти нормы, то эти технические трюки приобретают прозрачный геометрический смысл.

Кстати, не обратил внимание, отмечалось ли это: для полноты решения надо ещё формально доказать, что области вложены друг в друга. Конечно, не будь так, то и задачи бы не было, но всё же доказать надо.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

для полноты решения надо ещё формально доказать, что области вложены друг в друга.

Вот как раз этого и не требуется

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert писал(а):

для полноты решения надо ещё формально доказать, что области вложены друг в друга.

Вот как раз этого и не требуется

Ну почему же? Так навскидку монотонность не очевидна. Для сравнения: замените-ка тройку на одну треть и попробуйте решить.