Найти объем тела, равного объединению ("Ломоносов" 2005)

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Ну почему же? Так навскидку монотонность не очевидна.

Монотонность и не нужна. Достаточно знать ровно то, о чем я написал в своем первом сообщении в этой ветке и уметь элементарно рассуждать с пределами.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert писал(а):

Ну почему же? Так навскидку монотонность не очевидна.

Монотонность и не нужна. Достаточно знать ровно то, о чем я написал в своем первом сообщении в этой ветке и уметь элементарно рассуждать с пределами.

Если Вы -- это вчерашний Echo-Off, то да, не нужна. Если же использовать только предельные переходы, то без монотонности никак. Надо ж хоть как-то обосновать, что предельная область совпадает с объединением, это ведь не всегда так.

[Brukvalub]

Надоело спорить, показываю:
Ясно, что неравенства

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| x \right| < 1} \\ {\left| {8y} \right| < 1} \\ {\left| z \right| < 1} \\ \end{array}} \right. \]

доставляют необходимые условия того, что точка

\[ M(x\;;\;y\;;\;z) \in \Phi \]

Докажем достаточность этих условий. Поскольку

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| x \right|^n \to 0} \\ {\left| {8y} \right|^n \to 0} \\ {\left| z \right|^n \to 0} \\ \end{array}} \right.\;\quad n \to \infty \]

, то

\[ \exists n_0 \;:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| x \right|^{n_0 } < \frac{1}{9}} \\ {\left| {8y} \right|^{n_0 } < \frac{1}{3}} \\ {\left| z \right|^{n_0 }< \frac{1}{3}} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow M(x\;;\;y\;;\;z) \in \Phi _{n_0 } \Rightarrow M(x\;;\;y\;;\;z) \in \Phi \]

Если Вы, ewert, укажите, где в этом рассуждении мне была нужна монотонность, то я клянусь, что тут же съем свою шляпу, даже не сдабривая ее кетчупом "Хейнс"

[Henrylee]

2ewert
Монотонность нужна была бы, если бы нам приспичило вычислять объем тела $\Phi_n$, а потом устремлять $n$ к бесконечности (к слову говоря, так тоже можно решать, но вычислять этот объем муторно).

[ewert]

Henrylee писал(а):

2ewert
Монотонность нужна была бы, если бы нам приспичило вычислять объем тела $\Phi_n$, а потом устремлять $n$ к бесконечности (к слову говоря, так тоже можно решать, но вычислять этот объем муторно).

Нет, она была бы нужна, если бы мы просто считали объём предельной области (доказав, что она в каком-нибудь смысле предельная). В последнем посте Brukvalub'а она действительно не нужна. Однако он жульничает: в его первом посте этой логики не было (вообще никакой логики не было, только намёк)!

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Однако он жульничает: в его первом посте этой логики не было (вообще никакой логики не было, только намёк)!

При чем здесь моя логика в моем первом посте. Разве я где-то ранее писал, что я уже изложил решение? Я лишь спорил с Вами, утверждая, что есть рассуждение, которое решает задачу, не используя при этом монотонности, а Вы же утверждали противоположное, что монотонность необходима. Дело в том, что, согласно Правилам Форума, в этом разделе не следует помещать полные решения задач, а следует лишь высказывать наводящие соображения, которые помогают учащемуся самому найти правильный путь решения. Сначала я поступал по правилам, но, убедившись, что Ваши советы уводят решающего с правильного пути, был вынужден разместить свое решение. Не вижу в своих действиях и намека на жульничество

[Echo-Off]

Фишка в том, что эта задача предлагалась для одиннадцатиклассников, которые ещё не знают ни про нормы, ни про пределы (хотя интуитивное понятие у них должно быть), ни даже про то, что мера Лебега объединения монотонных множеств равна пределу меры таких множеств (я так понял, ewert'у монотонность нужна именно для этого, да?)

[ILIYA01]

На самом деле в моей школе довольно подробно начинают изучать теорию пределов уже в 10 классе. Поэтому мне немного стыдно, что я не догадался о том, что имел в виду Brukvalub.

[Echo-Off]

ILIYA01 писал(а):

На самом деле в моей школе довольно подробно начинают изучать теорию пределов уже в 10 классе

Возможно. Но не на уровне "для любого $\varepsilon$ существует $\delta$". По крайней мере, школы, в которых так преподают пределы, можно пересчитать по пальцам одной руки

[ILIYA01]

Цитата:

для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$...

И именно на этом уровне. Все по-серьезному

[незваный гость]

Нам и пределы-то не нужны. Достаточно логарифмов: $|x_0|^n < \frac19 \Leftrightarrow$ $n \ln |x_0| < - \ln 9 \Leftrightarrow$ $n > - \frac {\ln 9}{\ln |x_0|}$. Ясно, что из трёх нижних границ (по одной на $x, y, z$) максимум мы как-нибудь выберем.

По-моему, в школе логарифмы предшествуют пределам. Но, конечно, я могу быть не прав.

[ILIYA01]

незваный гость, Вы имели в виду |x|^{n_0} < \frac{1}{9}? А так вроде понял идею.

[Henrylee]

ewert писал(а):

Нет, она была бы нужна, если бы мы просто считали объём предельной области (доказав, что она в каком-нибудь смысле предельная).

Хоть убейте, но я, во-первых, не понимаю в этой фразе слово "нет". Значит ли это, что Вы имеете в виду, что я был не прав, сказав то, что сказал? Во-вторых, предложенное решение и так "считает объем предельной области", а то, что эта область "в каком-то смысле предельная", содержится в условии задачи. Как уже сказано, в этом решении монотонность не используется.

[ewert]

я вроде уже говорил. Замените тройку на одну треть -- предельная область останется предельной (ну хотя бы симметрическая разность по объёму стремится к нулю). Однако утверждение станет неверным.

[Henrylee]

ewert писал(а):

я вроде уже говорил. Замените тройку на одну треть -- предельная область останется предельной (ну хотя бы симметрическая разность по объёму стремится к нулю). Однако утверждение станет неверным.

По Вашему совету меняю тройку на $1/3$. Вижу, что предельная область стала больше. Монотонности нет. Ну и что? Какое утверждение стало неверным? И где в этом случае мы рискуем получить неверный ответ, не проверив монотонность или ее отсутствие?