Гамильтониан связанной системы+увеличение эффективной массы

[madschumacher]

Добрый день,

прошу прощения за очередную чушь.
У меня имеется лагранжиан вида
$ \mathscr{L} = \underbrace{\frac{m\dot{q}^2}{2} + c \dot{q} \dot{Q} + \frac{M \dot{Q}^2}{2}}_{T_\mathscr{L}} - V(q) - \underbrace{\frac{\mu \Omega^2 Q^2}{2}}_{V_\mathrm{HO}(Q)}$, где $m,M$ -- массы, $q,Q$ -- координаты системы и $\Omega$ -- циклическая частота колебания по координате $Q,$ $c>0$ -- константа связи движений.
Я хочу решить квантовую задачу о движении частицы с координатой $q$ и массой m. Собственно, идея состоит в том, что за счёт связи с координатой Q эффективная масса для движения по координате q должна расти.

При переходе к гамильтониану получаю
$\begin{cases}p = \frac{\partial T_\mathscr{L}}{\partial \dot{q}} = m\dot{q} + c\dot{Q} \ , \\ P = \frac{\partial T_\mathscr{L}}{\partial \dot{Q}} = m\dot{Q} + c\dot{q} \end{cases} $
откуда
$\begin{cases} \dot{q} = \frac{1}{\alpha m} ( p - \frac{c}{M} P) \ , \\ \dot{Q} = \frac{1}{\alpha M} ( P - \frac{c}{m} p) \ , \end{cases} $
где $\alpha = 1 - \frac{c^2}{mM} < 1$.

Через преобразования Лежандра получаю гамильтониан
$ \mathscr{H} = p\dot{q} + P\dot{Q} - \mathscr{L} = \frac{1}{\alpha} \left(\frac{p^2}{2m} - \frac{c}{mM} pP + \frac{P^2}{2M} \right) + V_\mathrm{HO}(Q) + V(q)$
При этом, очевидно, просто пренебрегая взаимодействием между движениями, видим, что эффективная масса для $q$ только уменьшилась!
Вводя обозначения $X' = \alpha X$ для масс и c и заменяя импульсы на соответствующие операторы, получаем
$ \hat{H} = \underbrace{\left( \frac{\hat{p}^2}{2m'} + V(q) \right)}_{\hat{H}_0} +\underbrace{\left( \frac{P^2}{2M'} + V_\mathrm{HO}(Q) \right) }_{\hat{H}_\mathrm{HO}} + \underbrace{\left( - \frac{c'}{m'M'} \hat{p}\hat{P} \right)}_{\hat{W}} $
где $\hat{W}$ -- возмущение. Для гармонического осциллятора $\hat{H}_\mathrm{HO}$ невозмущённое решение имеет вид
$\hat{H}_\mathrm{HO} |n \rangle = \hbar \Omega (n+1/2) | n\rangle$. Считаем, что колебание по Q изначально находится в нулевом состоянии ($|0\rangle$), в результате чего мы можем попробовать оценить по теории возмущений поправку к интересующему нас гамильтониану $\hat{H}_0$, равную (с точностью до второго порядка)
$\hat{w} = \underbrace{\langle 0 | \hat{W} | 0\rangle}_{0} - \sum_{n>0} \frac{|\langle 0| \hat{W} | n \rangle|^2}{\hbar \Omega n}$
Из формы $\hat{P} = i\sqrt{\frac{M' \hbar \Omega}{2}} (\hat{a}_+ - \hat{a}_-)$ во вторично квантованном виде, очевидно, что у нас будет только вклад от $n=1$, в результате чего
$\hat{w} = - \frac{c'^2}{2m'^2 M' } \hat{p}^2 $

Отсюда получается
$\hat{H}_q = \hat{H}_0 + \hat{w} = \frac{\hat{p}^2}{2m'} ( 1 - \frac{c'^2}{m'^2 M'} ) + V(q)$, и всё бы замечательно, но
$( 1 - \frac{c'^2}{m'^2 M'} ) = \alpha$, и, следовательно
$\hat{H}_q = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(q)$, т.е. полученное увеличение эффективной массы просто компенсирует потерю при переходе из лагранжиана в гамильтониан.

Тут явно что-то нечисто, т.к. увеличение массы явно имеется (из численных экспериментов), но что нужно исправить, чтобы его получить, я не понимаю. Может у кого-нибудь есть идеи, в чём может быть ошибка/несостыковка/проблема/решение?

[Red_Herring]

Я думаю, дело в том, что $\hat{p}$ оператор обобщенного импульса,

[madschumacher]

Red_Herring в сообщении #1453141 писал(а):

Я думаю, дело в том, что $\hat{p}$ оператор обобщенного импульса,

Спасибо за ответ. Я честно говоря с обобщёнными импульсами не сталкивался особо. Могли бы Вы пояснить поподробнее в чём именно может быть проблема?
Но вообще система консервативна, и рассматриваются именно стационарные состояния системы.

[amon]

Я бы, для начала, диагонализовал кинетическую энергию, заодно изменение эффективной массы получил бы.

[madschumacher]

amon в сообщении #1453160 писал(а):

Я бы, для начала, диагонализовал кинетическую энергию

В смысле ещё в Лагранжиане? Я сохранял координаты просто из-за того, что в них потом и работаю.

[amon]

madschumacher в сообщении #1453161 писал(а):

В смысле ещё в Лагранжиане?

Да где угодно. $P$ и $p,$ как я понял, коммутируют, и обращаться с ними можно как с обычными числами.

[madschumacher]

amon в сообщении #1453162 писал(а):

Да где угодно. $P$ и $p,$ как я понял, коммутируют, и обращаться с ними можно как с обычными числами.

А получается и координаты надо будет заменить соответственно?

[amon]

madschumacher в сообщении #1453167 писал(а):

А получается и координаты надо будет заменить соответственно?

Угу. Иначе каноническая сопряженность нарушится.

[madschumacher]

amon в сообщении #1453162 писал(а):

Да где угодно. $P$ и $p,$ как я понял, коммутируют,

Ой, а это я кстати не проверял. Вообще q и Q имеют общий набор координат, через которые они выражаются.
Но в приближении коммутирующих координат получаются массы
$\frac{2m'M'}{m' +M' \pm \sqrt{m'^2 + 2m'M'(1 - 2 \alpha) +M'^2}}$,
в принципе, возможно что-то и получится.

А мои изначальный подход имеет какое-то улучшение/развитие/ошибку, т.к. очень не хотелось бы менять координаты. Это ещё тот геморрой.

[amon]

madschumacher в сообщении #1453230 писал(а):

очень не хотелось бы менять координаты

А $V(q)$ как выглядит?

[madschumacher]

amon в сообщении #1453298 писал(а):

А $V(q)$ как выглядит?

Считается численно, квантовой химией. Потом аппроксимируется страшными и огромными полиномами.

[amon]

madschumacher в сообщении #1453305 писал(а):

Потом аппроксимируется страшными и огромными полиномами.

Это замечательно. А потом система, случаем, не в окрестности его минимума болтается?

[madschumacher]

amon в сообщении #1453352 писал(а):

Это замечательно. А потом система, случаем, не в окрестности его минимума болтается?

Ох, если б это было так... болтается в яме сложной конфигурации с несколькими минимумами.
К сожалению, модель гармонического осциллятора для q не прокатывает.

[amon]

madschumacher в сообщении #1453427 писал(а):

болтается в яме сложной конфигурации с несколькими минимумами.

А всякие Ян-Теллеровские трюки не канают?

[madschumacher]

amon в сообщении #1453429 писал(а):

А всякие Ян-Теллеровские трюки не канают?

Ян-Теллер -- это не одна поверхность, а несколько, соединённых коническим пересечением. Поэтому полуколичественные по постановке не подходят, а полноценное описание динамики в таких случаях гораздо сложнее, чем обычный малоразмерный Шрёдингер на одной поверхности (там тоже Шрёдингер, но на нескольких поверхностях потенциальной энергии).