Система дифуров

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1444786 писал(а):

Да.

Ага. Да и вообще, там ошибка у меня была, в выкладках.

svv в сообщении #1444794 писал(а):

Оно не имеет отношения к задаче.

Ну, какое-то отношение имеет, хотя эт и не решение...

Утундрий в сообщении #1444409 писал(а):

за интеграл

Ну вот пусть он есть $J$ и равен $\frac{1}{C}$, так что $C>0$ и $\dot{a}^2 +\dot{b}^2+1 =C^2a^2b^2$. На этой поверхности получается вполне себе приличный дифур (хотя и не решабельный в элементарных). Так что решения с какими-то нач. условиями (в том числе, и со странным ограничением, непонятно откуда взявшимся, из первого поста) есть.
Понятно, что исходный функционал не ограничен ни сверху, ни снизу: мы можем уехать за границу - в область отрицательных а-бэ, зашибить там бешеные (отрицательные) бабки, и за небольшую плату вернуться в нужное место. Тем не мене, вопрос о его критических точках - решениях ур-я Эйлера-Лагранжа - вполне себе законен, они - есть, непонятно какие, правда. Ну и ладно.
Единственно, что боле-мене решабельно - это отыскание частных решений с $a=b$ (что, собственно, уже и делалось). Это приводит к дифуру $\ddot{a}=C^2a^3 $, решая который, находим $\dot{a}^2=\frac{C^2}{2}a^4+c$, и из условия $J=C$ получим окончательно $2\dot{a}^2= C^2a^4-1$ (т.е., случай $c=0$ - не подходит.
Он, фактически, будет предельным для построенных решений, но решением - не, не будет). Ну, и решение теперь выражается через эллиптические интегралы. Что, конечно, не фонтан.
Впрочем, что-то уже и можно сказать. Типа: если $a(t_0)= b(t_0)= a_0, a(t_1)=b(t_1)= a_1$, то: по этим данным ищем такое $C$, что
$\int\limits_{a_0}^{a_1}\sqrt{\frac{2}{C^2a^4-1}}da=t_1-t_0$. Уже отсюда видно: иногда решение единственно; иногда их - два (?), но иногда - когда разность $t_1-t_0$ уж очень велика - их нет. Вроде - так.

[Утундрий]

DeBill в сообщении #1444911 писал(а):

со странным ограничением, непонятно откуда взявшимся, из первого поста

Это условие монотонности новой переменной по старой.

[mihiv]

Утундрий
То есть в новой системе ограничения $\dot a^2+\dot b^2<1$ нет?

[Утундрий]

Чтобы не вспоминать, кто там новый, а кто старый, повторю здесь постановку задачи:

$$\[ \left\{ {\begin{array}{ccl} {\ddot a &=& ab^2 } \\ {\ddot b &=& a^2 b} \\ {a^2 b^2 &=& 1 + \dot a^2 + \dot b^2 } \\ \end{array} } \right. \] $$

[DeBill]

Домножая уравнения на $\dot{a}$, $\dot{b}$, и складывая, найдем первый интеграл ее. Видим: третье уравнение есть линия уровня этого интеграла. Поэтому третье уравнение можно безболезненно выбросить (если, конечно, начальная точка ему удовлетворяет).

(Оффтоп)

(закопаем стюардессу)

Тогда из первых двух по теореме существования и про продолжение видим: решение существует с (теми) любыми нач. условиями, и продолжаемо на всю ось. Но тогда из третьего

(Оффтоп)

(откопаем стюардессу)

видим: оно не обращается в нуль. Значит оно ВСЕГДА положительно.
Так что ответ на вопрос о существовании положительных решений простой: они существуют, причем ВСЕ всегда и везде положительны.. (ну, если начальная точка - положительная).
Другое дело, если нач. условия задаются в начале и в конце временного интервала (а я подозреваю, что в исходной вар. задаче оно именно так) - тут я пас (кроме соображений, написанных ране - ничего не видно).

[mihiv]

Утундрий в сообщении #1444542 писал(а):

Впрочем, извлёк оттуда удобную параметризацию начальных данных:

$$\[ \begin{gathered} a(0) = \sqrt {\ch k_0 } ~e^{k_1 } ,~b(0) = \sqrt {\ch k_0 } ~e^{ - k_1 } \hfill \\ \dot a(0) = \sh k_0 \cos k_2 ,~\dot b(0) = \sh k_0 \sin k_2 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Судя по этому отрывку, начальные данные задаются на одном конце отрезка, так что, как показал DeBill, положительные решения всегда существуют. Но, конечно, начальные данные должны удовлетворять неравенству (в силу существования первого интеграла):

$$a_0^2b_0^2-\dot a_0^2-\dot b_0^2>0$$

.

[Утундрий]

mihiv в сообщении #1446439 писал(а):

Но, конечно, начальные данные должны удовлетворять неравенству (в силу существования первого интеграла):

$$a_0^2b_0^2-\dot a_0^2-\dot b_0^2>0$$

Поскольку единица больше нуля, беспокоиться не о чем.