Система дифуров

[Утундрий]

Функции $a(x),~b(x)$ удовлетворяют системе

$$\left\{ {\begin{array}{ccc} {a &=& \left( {abb'} \right)^\prime } \\ {b &=& \left( {baa'} \right)^\prime } \\ \end{array} } \right.$$

и условию

$$\left( {a'} \right)^2 + \left( {b'} \right)^2 < 1$$

Что можно сказать о положительных решениях?

[mihiv]

А начальные условия известны?

[Утундрий]

Корректирую.

Изначально меня интересовали не обращающиеся в нуль решения вариационной задачи

$$\delta \int {ab\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } } ~dt = 0$$

Поэтому я, глядя на уравнения

$$\[ \begin{gathered} b\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } = \frac{d} {{dt}}\left( {\frac{{ab\dot a}} {{\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } }}} \right) \hfill \\ a\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } = \frac{d} {{dt}}\left( {\frac{{ab\dot b}} {{\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } }}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \] $$

зачем-то сразу ввёл $d\eta : = dt\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } $ и получил цитированную выше систему.

А надо было не спешить и вспомнить за интеграл

$$\[ \frac{{ab}} {{\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } }} = const \] $$

который заменами $t \to kt,~a \to ka,~b \to kb$ сводится к

$$\[ \frac{{ab}} {{\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } }} = 1 \] $$

после чего уравнения принимают более приятный вид

$$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\ddot a = ab^2 } \\ {\ddot b = a^2 b} \\ \end{array} } \right. \] $$

Ну а теперь те же вопросы, но к новой системе.

[Munin]

Утундрий
Попробуйте подставить в $a,b$ их ряды Тейлора, и посмотреть, что получится.

[mihiv]

Если вопрос в том, существуют ли положительные решения системы, то да, существуют.

[=SSN=]

Утундрий в сообщении #1444409 писал(а):

после чего уравнения принимают более приятный вид:
...
Ну а теперь те же вопросы, но к новой системе.

Частное решение:

$a == b$ $\Rightarrow$

$\ddot a = a^3$ $\Rightarrow$

$a = \frac{p}{x}$ $\Rightarrow$

$\ddot a = \frac{2\cdot p}{x^3}$ $\Rightarrow$

$\frac{2\cdot p}{x^3} = \frac{p^3}{x^3}$ $\Rightarrow$

$p = \sqrt{2}$ $\Rightarrow$

$a = \frac{\sqrt{2}}{x}$

[amon]

=SSN= в сообщении #1444503 писал(а):

$a = \frac{\sqrt{2}}{x}$

Не выполняется

$$\[ \frac{{ab}} {{\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } }} = 1 \] $$

[Утундрий]

Munin в сообщении #1444477 писал(а):

Попробуйте подставить в $a,b$ их ряды Тейлора, и посмотреть, что получится.

Ну, там полный хаос получается в высших коэффициентах. Впрочем, извлёк оттуда удобную параметризацию начальных данных:

$$\[ \begin{gathered} a(0) = \sqrt {\ch k_0 } ~e^{k_1 } ,~b(0) = \sqrt {\ch k_0 } ~e^{ - k_1 } \hfill \\ \dot a(0) = \sh k_0 \cos k_2 ,~\dot b(0) = \sh k_0 \sin k_2 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

И похоже, что

$$a(t) = \frac{{A(t)}}{{T^2 - t^2 }}, \quad b(t) = \frac{{B(t)}}{{T^2 - t^2 }}$$

где $A$ и $B$ ограничены на $[ { - T,T} ].$

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1444409 писал(а):

А надо было не спешить и вспомнить за интеграл

$$\[ \frac{{ab}} {{\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } }} = \operatorname{const} \] $$

А откуда он взялся? Это странно...
Потому как для решения, найденного =SSN=, это не интеграл - а должна быб быть.
Также и для решения самой-самой исходной задачи :
$a=b=\frac{x^2}{2\sqrt{2}}$ это тоже не интеграл....Ааа, впрочем, там производные, видимо, не по тем переменным

[Утундрий]

DeBill в сообщении #1444781 писал(а):

там производные, видимо, не по тем переменным

Да.

[svv]

Дело не в этом. При выводе уравнения $a''=a^3$ использовано $\frac{a^2}{\sqrt{1+2a'^2}}=1$, поэтому константы, возникающие при интегрировании первого, должны выбираться с учётом второго. При получении решения $a=\frac{\sqrt 2}x$ это не учитывалось, поэтому неудивительно, что оно не удовлетворяет исходному уравнению Эйлера-Лагранжа. Оно не имеет отношения к задаче.

[Утундрий]

svv в сообщении #1444794 писал(а):

Оно не имеет отношения к задаче.

Некоторое - имеет: описывает поведение решения в особой точке.

[Singular]

А если так?

$$\left\{ \begin{array}{c} {\ddot a = ab^2} \\ {\ddot b = a^2b} \\ \end{array} \right.\quad\Rightarrow\left\{ \begin{array}{c} {a\ddot a = a^2b^2} \\ {b\ddot b = a^2b^2} \\ \end{array} \right.\quad\Rightarrow a\ddot{a}=b\ddot{b}=\lambda,\quad \lambda=\operatorname{const}$$

В итоге сводится к решению автономного уравнения типа

$$y\ddot{y}=\lambda$$

[svv]

Тут из $a\ddot{a}=b\ddot{b}=\lambda$ не следует, что $\lambda$ константа, она зависит от $t$.
Потому что $a$ и $b$ не являются независимыми переменными. Они обе зависят от $t$.

[Singular]

В общем случае согласен, но если предположить, что $\lambda=\operatorname{const}$, то можно оценить условие $\dot{a}^2+\dot{b}^2<1$, которое приведёт к виду

$$ab<a_0b_0e^{-\frac{\left(\dot{a}_0^2+\dot{b}_0^2\right)}{2\lambda}}$$

и оценить положительные решения.