Еще про группы и алгебры Ли.

[Padawan]

Так а что Вам не понятно? Если две матричные группы $G_1$, $G_2$ имеют одинаковые касательные пространства в $E$, то найдется окрестность $U\subset \mathrm{Mat}_{n\times n}$ точки $E$ такая, что $U\cap G_1=U\cap G_2$. Но это пересечение по упомянутой теореме порождает и $G_1$ и $G_2$.

$U=\exp(V)$, где $V$ -- некоторая окрестность нуля в $\mathrm{Mat}_{n\times n}$.

[Alex-Yu]

Padawan в сообщении #1439448 писал(а):

Так а что Вам не понятно?

Интуитивно понятно все. А что строгое рассуждение, а что нестрогое -- вот этого я не понимаю. ОК. В крайнем случае в точности повторю Ваши слова, приведенные здесь. Если, конечно, Вы не против такого наглого плагиата

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1439442 писал(а):

Но тут фигурирует все же окрестность в самой группе, а не касательное пространство (алгебра Ли).

Оттуда же, стр. 132
(49) Теорема. Всякой алгебре Ли однозначно сопоставляется связная односвязная группа Ли, алгеброй Ли которой она является. Т

[Slav-27]

1. Матричная алгебра Ли -- это подалгебра Ли алгебры Ли $\mathfrak {gl}(n)$ вещественных (или комплексных) $n\times n$ матриц с операцией коммутатор.

2. Пусть $\mathfrak h \subset\mathfrak{gl}(n)$ -- матричная алгебра Ли. Можно взять экспоненты от всех её элементов и породить ими подгруппу $H\subset GL(n)$. Это очевидно. Она будет связна (почти очевидно).

3. Но эта подгруппа не обязательно вложенное подмногообразие! Это группа (даже топологическая группа), но пока ещё не группа Ли, потому что непонятно, откуда взять гладкую структуру.

Матричными группами Ли обычно называют именно вложенные подмногообразия $GL(n)$.

4. Тем не менее, на $H$ можно единственным образом ввести структуру гладкого многообразия так, что $H$ станет группою Ли, а вложение $H\subset GL(n)$ -- гладким отображением. Это НЕочевидно. Более того, это вложение автоматически будет погружением (immersion). Таким образом, $H$ естественым образом есть погружённая (immersed) подгруппа Ли группы Ли $GL(n)$, но не обязательно вложенная (embedded).

5. Вообще пусть $G$ группа Ли, $\mathfrak g$ её алгебра Ли. Тогда имеется естественное взаимно-однозначное соответствие между подалгебрами Ли $\mathfrak h\subset\mathfrak g$ и связными погружёнными подгруппами Ли $H\subset G$.

6. Если нам ЗАРАНЕЕ известно, что $\mathfrak h$ соответствует вложенной подгруппе:

Alex-Yu в сообщении #1439418 писал(а):

Впрочем, пожалуй вопрос надо сформулировать точнее. Была связная (но не обязательно односвязная) матричная группа Ли. К ней построено касательное пространство в единице, которое, естественно, является алгеброй Ли. Потом исходная группа "потерялась" (но алгебра, точнее конкретное представление алгебры, сохранилась), надо ее восстановить.

-- то мы сделаем как написано в п. 2, получится вложенное подмногообразие и таким образом на $H$ автоматически возникнет структура группы Ли. Вот мы и получили (восстановили) группу Ли, как нам и хотелось. Если же мы заранее не знаем, что получится вложенная подгруппа, то может возникнуть описанная сложность.

Пример. Рассмотрим 1-мерную матричную алгебру Ли, состоящую из матриц вида $\begin{pmatrix}ix&0\\0&ix\sqrt2\end{pmatrix}$, $x$ пробегает вещественные числа. Экспоненты её элементов образуют подгруппу $H$ группы невырожденных комплексных матриц $2\times 2$, но она не вложенное подмногообразие: любая достаточно малая окрестность единичной матрицы в $H$ состоит из бесконечного количества связных компонент. Если же ввести на ней вышеупомянутую гладкую структуру, то получится группа Ли, изоморфная группе Ли вещественных чисел с операцией сложения.

[Alex-Yu]

Slav-27,

большое спасибо за очень хороший комментарий. То, что может получится иррациональная обмотка тора, я догадывался. Мне только осталось не ясно (но это уже чистая терминология) можно ли называть группу с иррациональной обмоткой группой Ли. Ясно, что она "плохая", но формально? Чем не одномерное многообразие с групповой структурой? Ну необычное подмногообразие $GL(N)$ , ну и что, про $GL(N)$ я могу и забыть, мало ли чьим подмногообразием моя группа является, мне это не интересно. У меня будут расстояния -- это вдоль линии, расстояния поперек линии (наследуемые от $GL(N)$) у меня вообще нету, не знаю их и знать не хочу.

-- Ср фев 12, 2020 06:25:09 --

Slav-27 в сообщении #1439499 писал(а):

любая достаточно малая окрестность единичной матрицы в $H$ состоит из бесконечного количества связных компонент.

Это если брать окрестности из $GL(N)$. А если из линии (обмотки) -- то нет.

[Slav-27]

Alex-Yu в сообщении #1439501 писал(а):

Мне только осталось не ясно (но это уже чистая терминология) можно ли называть группу с иррациональной обмоткой группой Ли.

Только если сначала объяснить, как на ней введена гладкая структура.

Можно сказать: $\mathbb R$ (с обычною гладкою структурою) -- группа Ли, и задано (так-то и так-то) её погружение в $GL(2,\mathbb C)$.

Или: матрицы такого-то вида составляют погружённую подгруппу Ли группы Ли $GL(2,\mathbb C)$. Здесь мы не указываем явно гладкую структуру, имея в виду, что такая гладкая структура существует и единственна (но это НЕочевидно, особенно существование).

[Someone]

На всякий случай: иррациональная обмотка не даёт вложения прямой в тор ни в топологическом смысле, ни как подмногообразия. Топология на образе сильно отличается от стандартной топологии прямой.

[Munin]

Someone
А если жить над полем $\mathbb{Q},$ то можно ли иррациональную обмотку воспринять как двумерное подмногообразие?

[Alex-Yu]

Someone в сообщении #1439527 писал(а):

матрицы такого-то вида составляют погружённую подгруппу Ли

А где можно почитать про погруженные группы Ли? Да и вложенные тоже. Желательно в максимально простом виде.

[vpb]

Ой, не знаю... Могу по своему опыту кое-что посоветовать, но я не уверен, что это такой уж хороший путь.
Небыстрый --- это уж точно.
Начать с многомерного анализа, прежде всего (Зорич, или Камынин, или, возможно, Спивак, Анализ на многообразиях (но там очень кратко). Потом из Дубровин, Новиков, Фоменко, Современная геометрия первые две главы из первой части, и первая глава из второй. Еще Постников, Гладкие многообразия, из начала (первая треть). И потом Постников, Группы и алгебры Ли, тоже где-то из начала (из первой половины), но далеко не всё. А про фундаментальные группы и накрывающие пространства Масси, Столлингс, Алгебраическая топология. Введение. (Здесь "введение" --- часть названия книжки, а не в том смысле, чтоб читать из книжки одно введение).

Моя оценка качества этих книжек такая. Масси-Столлингс --- безусловно хорошая, Зорич и Камынин --- хорошие тоже. ДНФ и Постников --- своеобразные, но, как бы там ни было, все-таки на студентов рассчитанные. Но и та, и другая --- с определенными придурями (больше всего их в ДНФ). (Какие именно там придуря --- писать не будем, не до того сейчас. Собственно, про ДНФ можно сказать: главное --- какая-то нездоровая мозаичность).

[Munin]

vpb в сообщении #1439551 писал(а):

ДНФ и Постников --- своеобразные, но, как бы там ни было, все-таки на студентов рассчитанные.

Оба-на, не знал, что ДНФ на студентов. Спасибо.
(Смотрел на неё всё время как на обзорную монографию, пугался и не брался читать.)

[Padawan]

Munin в сообщении #1439556 писал(а):

Оба-на, не знал, что ДНФ на студентов.

Причем младших курсов, второго, максимум третьего. Прочитайте предисловие.

vpb в сообщении #1439551 писал(а):

Собственно, про ДНФ можно сказать: главное --- какая-то нездоровая мозаичность

Ага, у меня от нее такие же впечатления, как от учебника Зорича по мат.анализу. Неосновательная какая-то. Хотя ДНФ получше.

[Munin]

Padawan
Спасибо!

[Someone]

Munin в сообщении #1439529 писал(а):

А если жить над полем $\mathbb{Q},$ то можно ли иррациональную обмотку воспринять как двумерное подмногообразие?

Я ничего не слышал о многообразиях над полем $\mathbb Q$. Все счётные метризуемые пространства без изолированных точек гомеоморфны $\mathbb Q$.

[Slav-27]

Alex-Yu в сообщении #1439541 писал(а):

А где можно почитать про погруженные группы Ли? Да и вложенные тоже.

Не бывает вложенных и погружённых групп Ли, бывают вложенные или погружённые подгруппы какой-нибудь группы Ли.

Винберг, Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. Глава 1, § 1, п. 2 (вложенные), § 2, п. 9 (погружённые).

Терминология везде разная (к сожалению), в этой книжке вложенные называются "подгруппы Ли", а погружённые -- "виртуальные подгруппы Ли".

-- 13.02.2020, 16:14 --

vpb в сообщении #1439551 писал(а):

Постников, Гладкие многообразия,

По-моему, это ужас, летящий на крыльях ночи. Там гладкие многообразия определяются где-то очень далеко от начала книги, определение занимает 6 страниц, до определения гладкого отображения проходит ещё 20 страниц, всё перемешано с общей топологией и со всякой ерундой, я месяц это читал в своё время и так ничего и не понял (не бросал, потому что предыдущая книжка, "Линейная алгебра", была нормальная, кроме отдельных мест, и я думал, что дело во мне).