2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение03.02.2020, 19:56 
Тензор типа $(0, 3)$ в базисе $\xi=\left\lbrace e_1, e_2\right\rbrace$ пространства $V_2$ задан матрицей $A$. Найти его матрицу в базисе $\xi '=\left\lbrace e_1 ', e_2 '\right\rbrace$, если $A=$\begin{bmatrix}
 1 & -1 & | & 2 & 1\\
 1 & 1 & | & 1 & 1\\
\end{bmatrix}$$, $\left\{
\begin{array}{rcl}
 e_1 '=e_1 + e_2 \\
 e_2 '=e_1 + 2e_2 \\
\end{array}
\right$.

Относительно данного базиса ($\xi$) задано $2^3$ элементов $a_{ijk}$ с тремя индексами. Закон преобразования элементов тензора третьего ранга имеет вид: $a_{i'j'k'} = V_{i'i}V_{j'j} V_{k'k} a_{ijk}$. Коэффициент $V_{i'i}$ есть направляющий косинус вектора $e_{i'}$ и тд. Но тензор задан в двумерном пространстве. На этом моменте понимание задачи обрывается. Да и не очень понятно, как перейти от индексной записи к матричной.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение03.02.2020, 20:20 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение03.02.2020, 22:49 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение03.02.2020, 23:11 
Аватара пользователя
pinkyfox_13 в сообщении #1438131 писал(а):
не очень понятно, как перейти от индексной записи к матричной
Пока что "не очень понятно" как по известным компонентам строится сама матрица.

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение03.02.2020, 23:16 
Как я понял, эта матрица - простой кубик со стороной 2х2. До черты матрицы представлена его фронтальная сторона, после - тыльная.

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение03.02.2020, 23:24 
Аватара пользователя
Такое представление является фантазией автора задачи и потому должно было где-то явно приводиться.

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение03.02.2020, 23:28 
Согласен, до меня на вторые сутки только дошло, что автор хотел этим сказать.

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение03.02.2020, 23:35 
Аватара пользователя
Так поделитесь. Потому как такое представление сильно не единственно. Например, WM выводит матрицу $2 \times 2 \times 2$ так
$$\[
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {a_{111} }  \\
   {a_{112} }  \\

 \end{array} } \right)} & {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {a_{121} }  \\
   {a_{122} }  \\

 \end{array} } \right)}  \\
   {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {a_{211} }  \\
   {a_{212} }  \\

 \end{array} } \right)} & {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {a_{221} }  \\
   {a_{222} }  \\

 \end{array} } \right)}  \\

 \end{array} } \right]
\]
$$

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение04.02.2020, 02:08 
Аватара пользователя
pinkyfox_13 в сообщении #1438190 писал(а):
автор

Как зовут автора? И какую книгу он написал?

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение04.02.2020, 09:57 
Аватара пользователя
pinkyfox_13 в сообщении #1438131 писал(а):
Закон преобразования элементов тензора третьего ранга имеет вид: $a_{i'j'k'} = V_{i'i}V_{j'j} V_{k'k} a_{ijk}$. Коэффициент $V_{i'i}$ есть направляющий косинус вектора $e_{i'}$ и тд.
Лучше так: $a_{i'j'k'} = V^i{}_{i'}\;V^j{}_{j'}\;V^k{}_{k'}\;a_{ijk}$.
Коэффициенты $V^i{}_{i'}$ образуют матрицу перехода от базиса $(e_i)$ к базису $(e'_i)$. В общем случае я бы не называл их направляющими косинусами.

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение04.02.2020, 14:18 
Ну, для тензора второго ранга, например $T_{k_1 k_2}$, можно написать закон преобразования так: $T_{i_1i_2}=a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}T_{k_1k_2}$. Перейдем к матричной форме, но перед этим упростим выражение. Выражение $a_{i_1k_1}T_{k_1k_2}$ описывает перемножение компонент $i$-строки матрицы поворота и $k$-столбца матрицы $T$. А выражение $T_{k_1k_2}a_{k_2i_2}^T$ описывает перемножение компонент $k$-строки матрицы $T$ и $i$-столбца матрицы поворота. После всех преобразований имеем: $T'_{i_1i_2}=(aTa^T)_{i_1i_2}$. [Предположение. Вероятно, это бред] Получается тензор третьего ранга содержит в себе два тензора второго ранга. Может разбить данный тензор на два тензора ($ B=\begin{bmatrix}
 1 & -1 \\
 1 & 1 \\
\end{bmatrix}$ и $C= \begin{bmatrix}
 2 & 1 \\
 1 & 1 \\ 
\end{bmatrix}$). Составить матрицу перехода ($G = \begin{bmatrix}
 1 & 1 \\
 1 & 2 \\
\end{bmatrix}$). Поочередно выполнить преобразования ($B'=GBG^T$ и $C'=GCG^T$). Теперь объединяем преобразованные матрицы в тензор третьего ранга ($A'=\begin{bmatrix}
 2 & 2 & | & 5 & 7  \\
 4 & 5 & | & 7 & 10  \\
\end{bmatrix}$).

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение04.02.2020, 14:28 
Аватара пользователя
pinkyfox_13, а что там насчёт названия книги и автора?

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение04.02.2020, 15:27 
К сожалению, мне название книги и ФИО автора не известны. У меня есть только фотография типового варианта.

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение04.02.2020, 16:58 
Вот фото варианта. Возможно, это поможет опознать книгу и автора.
ИзображениеИзображение

 
 
 
 Re: Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.
Сообщение04.02.2020, 18:13 
Аватара пользователя
pinkyfox_13 в сообщении #1438248 писал(а):
У меня есть только фотография типового варианта.
Довольно странно решать задание, имея только страницу 69, на коей написано "Решить задание 3 на странице 33".

 
 
 [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group