Найти определитель матрицы

[svv]

Platon555
Вы на пути к тому, чтобы получить ещё одно решение задачи. Оно, конечно, будет гораздо ближе к авторскому, чем Ваше предыдущее. Но всё же мы рискуем опять пройти мимо ключевых моментов авторского решения.
Вы правильно нашли геометрическую кратность собственного значения $\lambda=0$ матрицы $uu^T$. Авторы сделали это чуть иначе: они рассмотрели подпространство $\langle u \rangle^\perp$. Это ортогональное дополнение к линейной оболочке вектора $u$, а проще — множество векторов $x$, ортогональных вектору $u$, т.е. таких, что $u^Tx=0$.
Что можно сказать об этом подпространстве? Какова его размерность? Какие его векторы являются собственными для матрицы $uu^T$ и какому собственному значению они соответствуют?

[Munin]

svv

(Оффтоп)

Ваши советы немного напоминают

Ktina в сообщении #737497 писал(а):

Timmy в сообщении #660849 писал(а):

Добрый вечер. Помогите аналитически оценить сверху интеграл...

ИСН в сообщении #660898 писал(а):

Оценить его сложно: один неосторожный шаг, и нечаянно найдёшь точное значение.

[Platon555]

svv в сообщении #1437880 писал(а):

Platon555
Вы на пути к тому, чтобы получить ещё одно решение задачи. Оно, конечно, будет гораздо ближе к авторскому, чем Ваше предыдущее. Но всё же мы рискуем опять пройти мимо ключевых моментов авторского решения.
Вы правильно нашли геометрическую кратность собственного значения $\lambda=0$ матрицы $uu^T$. Авторы сделали это чуть иначе: они рассмотрели подпространство $\langle u \rangle^\perp$. Это ортогональное дополнение к линейной оболочке вектора $u$, а проще — множество векторов $x$, ортогональных вектору $u$, т.е. таких, что $u^Tx=0$.
Что можно сказать об этом подпространстве? Какова его размерность? Какие его векторы являются собственными для матрицы $uu^T$ и какому собственному значению они соответствуют?

Рассмотрим $\langle u \rangle^\perp$. Найдем эти вектора $x = (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}...x_{n})$. Они должны быть ортогональны вектору $u = (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...a_{n})$, то есть их скалярное произведение должно быть равно нулю, получаем $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n} = 0$ Размерность данного подпространства равна $n-1$ Теперь какие из них будут собственные для $uu^T$. Я так понимаю все для $\lambda = 0$ поскольку $(uu^T)x=u(u^Tx)= \lambda x$, а $u^Tx=0$

[svv]

Да, верно, все. Кроме $x=0$, который принадлежит $\langle u \rangle^\perp$, но по определению собственным вектором быть не может.

А справедливо ли обратное: что любой собственный вектор $uu^T$, соответствующий собственному значению $\lambda=0$, ортогонален $u$?
Достаточно краткого ответа.

[vpb]

Platon555 в сообщении #1437861 писал(а):

Вы имеете ввиду подбор собственного вектора?

Именно так. Правильнее сказать, догадаться, какой вектор является собственным вектором с ненулевым (если матрицы рассматриваются над действительными числами) собственным значением.

[Platon555]

svv в сообщении #1437947 писал(а):

Да, верно, все. Кроме $x=0$, который принадлежит $\langle u \rangle^\perp$, но по определению собственным вектором быть не может.

А справедливо ли обратное: что любой собственный вектор $uu^T$, соответствующий собственному значению $\lambda=0$, ортогонален $u$?
Достаточно краткого ответа.

Справедливо.

[Platon555]

vpb в сообщении #1438005 писал(а):

Platon555 в сообщении #1437861 писал(а):

Вы имеете ввиду подбор собственного вектора?

Именно так. Правильнее сказать, догадаться, какой вектор является собственным вектором с ненулевым (если матрицы рассматриваются над действительными числами) собственным значением.

Для:

$$\[ \begin{bmatrix} a_{1}^2 & a_{1}a_{2} & a_{1}a_{3} \\ a_{2}a_{1} & a_{2}^2 & a_{2}a_{3}\\ a_{3}a_{1} & a_{3}a_{2}& a_{3}^2\\ \end{bmatrix} % \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} \] $$

собственный вектор имеет вид
\begin{bmatrix} x \\ (xa_{2})/a_{1} \\ (xa_{3})/a_{1} \\ \end{bmatrix}

подставил получил $\lambda=a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2$

[svv]

Platon555 в сообщении #1438007 писал(а):

Справедливо.

Правильно.
Итак, к чему Вы пришли: подпространство $\langle u \rangle^\perp$ совпадает с множеством собственных векторов матрицы $uu^T$ для $\lambda=0$ (дополненным нулевым вектором).
Иначе говоря — с собственным подпространством матрицы $uu^T$, отвечающим $\lambda=0$.

Далее, геометрическая кратность собственного значения и есть размерность отвечающего этому значению собственного подпространства.
Следовательно, геометрическая кратность собственного значения $\lambda=0$ равна $n-1$.

Это — ответ на Вашу жалобу:

Platon555 в сообщении #1437774 писал(а):

Нетрудно видеть что оба слагаемых являются собственными подпространствами для $uu^T$(мне трудно)

Правда, пока исследовано только $\langle u \rangle^\perp$. Но, мне кажется, Вы теперь можете по той же схеме исследовать и $\langle u \rangle$.

[vpb]

Platon555 в сообщении #1438010 писал(а):

собственный вектор имеет вид

Правильно. Но обратите внимание, что когда $x=0$, этот вектор нулевой, а когда $a_1=0$, он не определен. На что его надо домножить, чтоб он был и ненулевой, и всегда определен ? Далее, каковы в итоге выводы о собственных значениях $M$, а затем и $M+kE$ ?

-- 03.02.2020, 18:51 --

svv в сообщении #1438022 писал(а):

Но, мне кажется, Вы теперь можете по той же схеме исследовать и $\langle u \rangle$.

Вот, вам собственно и подсказали, каково одномерное собственное подпространство.

[svv]

(Оффтоп)

vpb
Так ведь оба собственных подпространства были упомянуты уже в стартовом сообщении:

Platon555 в сообщении #1437774 писал(а):

Пространство $V$, на котором действует $uu^T$, раскладывается в прямую сумму $<u>\oplus<u>^{\perp}$(второе непонятное утверждение). Нетрудно видеть что оба слагаемых являются собственными подпространствами для $uu^T$

[vpb]

svv в сообщении #1438144 писал(а):

оба собственных подпространства были упомянуты уже в стартовом сообщении:

Да, действительно. Но я думаю, что товарищ легче поверит, если одну и ту же мысль ему и в книжке напишут, и ЗУ подтвердит.

[Platon555]

vpb в сообщении #1438125 писал(а):

Правильно. Но обратите внимание, что когда $x=0$, этот вектор нулевой, а когда $a_1=0$, он не определен. На что его надо домножить, чтоб он был и ненулевой, и всегда определен ?

А ну да, умножаем на $a_1/x$ получим
\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix}

[vpb]

vpb в сообщении #1438125 писал(а):

Далее, каковы в итоге выводы о собственных значениях $M$, а затем и $M+kE$ ?

[Platon555]

vpb в сообщении #1438171 писал(а):

vpb в сообщении #1438125 писал(а):

Далее, каковы в итоге выводы о собственных значениях $M$, а затем и $M+kE$ ?

0, $\sum_{n=1}^{\ n} a_{i}^2$

по формуле

$\det(M) = \det(kE + uu^T) = \prod\limits_{i}^{}(\lambda_{i}+k)$

получаем

$\det(M) = k^{n-1}(k + \sum_{n=1}^{\ n} a_{i}^2)$

[vpb]

Вот, определитель нашли, с чем и поздравляю. А смысл записи $V=\langle u\rangle\oplus \langle u\rangle^\bot$ понятен, или нет ? Если нет, можно почитать в учебнике (в Кострикине второй том, например, или в Мальцев, Основы линейной алгебры), что такое "пространство с билинейной формой" и "ортогональное дополнение".