2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 14:57 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Даны две точки $A,B$ на сфере. Найти все повороты сферы, переводящий первую точку во вторую. Кое-как решить я могу, но мне нужно красивое решение, идеально через кватернионы. Я так понимаю, если поворот сферы переводит $A$ в $B$, то центр поворота лежит на срединном перпендикуляре к $[AB]$. Итого, поворот определяется одним углом, задающим точку на срединном перпендикуляре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 15:04 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Сфера при этом переходит сама в себя? Просто если да, то ответ тривиален, если нет - задача явно недоформулирована.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 15:07 
Заслуженный участник


31/12/15
922
В себя. А почему тривиален?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 15:14 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
george66 в сообщении #1433097 писал(а):
А почему тривиален?
Один очевидный ответ (с точностью до $2\pi$), если точки не лежат на одном диаметре, и континуум ответов, если лежат. Формульное выражение зависит от того, как вы будете задавать точки, но в любом случае окажется достаточно простым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 15:19 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Может быть, имеет смысл описать всю задачу. Нужно не просто переводить одну точку в другую, а чтобы поворот непрерывно зависел от точки. Это, видимо, невозможно. Допустим, берём поворот на 180 градусов относительно середины $[AB]$. Тогда что делать, если $A,B$ диаметрально противоположны? Особенности возникают. Но есть надежда решить, если к точке $B$ добавить дополнительную информацию (что у меня в задаче само собой возникает, потому что точка $B$ задаётся как векторная часть кватерниона нормы единица, а это как раз точка на сфере плюс некоторый угол)

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 15:30 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
george66 в сообщении #1433102 писал(а):
Может быть, имеет смысл описать всю задачу.
Да, наверное. :-)
george66 в сообщении #1433102 писал(а):
Нужно не просто переводить одну точку в другую, а чтобы поворот непрерывно зависел от точки. Это, видимо, невозможно.
Кхм... кажется, если задать каждый поворот касательным вектором (для простоты единичным), приложенным к положительному полюсу поворота и лежащим в плоскости, содержащей ось поворота и точку $B$ (если ее считать изменяющейся), то задача сведется к условию теоремы о причесывании ежа. С соответствующим результатом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 15:40 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Pphantom в сообщении #1433101 писал(а):
george66 в сообщении #1433097 писал(а):
А почему тривиален?
Один очевидный ответ (с точностью до $2\pi$), если точки не лежат на одном диаметре, и континуум ответов, если лежат. Формульное выражение зависит от того, как вы будете задавать точки, но в любом случае окажется достаточно простым.

А почему один очевидный ответ? Можно брать поворот на 180 градусов вокруг середины $[AB]$. Можно брать поворот вдоль большой окружности, соединяющей $A,B$ (если точки лежат на экваторе, повернём вокруг полюса). Вообще, если представить, что точки $A,B$ лежат на экваторе, надо взять меридиан, проходящий посередине меду ними. Тогда есть поворот вокруг любой точки этого меридиана, переводящий $A$ в $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Pphantom в сообщении #1433101 писал(а):
Один очевидный ответ (с точностью до $2\pi$), если точки не лежат на одном диаметре, и континуум ответов, если лежат.
Континуум в обоих случаях (однопараметрическое семейство с угловым параметром из $[0,2\pi)$). Зафиксируем любой один поворот, переводящий $A$ в $B$, и представим произвольный такой поворот как комбинацию этого зафиксированного и последующего поворота, переводящего $B$ в $B$. Это можно сделать, потому что повороты образуют группу. Итак, поворотов, переводящих $A$ в $B$, столько же, сколько поворотов, переводящих $B$ в $B$. А их континуум - это в точности повороты вокруг диаметра, проходящего через $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 16:18 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Да, это понятно, но тут опять возникает разрыв (выбрать один поворот нельзя непрерывно по $B$, надо разбор случаев делать). А нельзя ли поворот находить непрерывно по "точке $B$ и дополнительному углу"? Если центр поворота скользит по большой окружности, равноудалённой от $A$ и $B$ ("срединному меридиану"), возникает один дополнительный параметр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
george66 в сообщении #1433109 писал(а):
Да, это понятно, но тут опять возникает разрыв (выбрать один поворот нельзя непрерывно по $B$, надо разбор случаев делать). А нельзя ли поворот находить непрерывно по "точке $B$ и дополнительному углу"?
Топологическая группа $SO(3)$ поворотов сферы гомеоморфна проективному пространству $\mathbb{R}P^3$. Насколько я знаю, оно не представляется в виде прямого произведения двух многообразий меньшей размерности, в частности сферы (которую пробегает точка $B$) и окружности (которую пробегает угол). То есть $\mathbb{R}P^3$ и $S^2\times S^1$ - два разных многообразия. Так что гомеоморфизма меду многообразием поворотов и многообразием пар "точка-угол" Вы не получите. Уточню ещё, что из соображений компактности, здесь гомеоморфизм и взаимно-однозначное непрерывное отображение - одно и то же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 16:33 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
george66 в сообщении #1433107 писал(а):
А почему один очевидный ответ? Можно брать поворот на 180 градусов вокруг середины $[AB]$.
Да, действительно. Тогда идея отменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 16:35 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Взаимной однозначности не нужно, нужна сюръекция (по точке сферы и углу непрерывно находим поворот). Я пытаюсь по кватернионам как-то сделать. Точку $A$ зафиксируем, пусть это будет кватернион $i$. Точка $B$ задаётся единичным кватернионом
$\cos(\varphi) + B \sin(\varphi)$
где $B$ чисто мнимый кватернион нормы единица. По кватерниону надо непрерывно находить поворот, переводящий $A$ в $B$ (при условии $\sin(\varphi)\neq 0$). Идеально сам поворот находить в виде кватерниона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 17:21 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
george66 в сообщении #1433095 писал(а):
Даны две точки $A,B$ на сфере. Найти все повороты сферы, переводящий первую точку во вторую.

я бы генерировал повороты так. Проводим через эти две точки произвольную плоскость. И поворачиваем сферу двумя способами вокруг прямой проходящей через центр сферы перпендикулярно плоскости

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 18:45 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Не совсем понял. Проводим плоскость через $A,B$ и центр сферы. Один способ вижу, а где второй?
Мне кажется, тут надо как-то задействовать расслоение Хопфа. Там по точке $S^2\times S$ выдаётся точка $S^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поворот сферы между двумя точками
Сообщение02.01.2020, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Можно воспользоваться тем, что любой поворот $\mathbb{R}^3$ однозначно задаётся отображением "площадки". Т.е. двумя линейно независимыми векторами и их образами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group