Поворот сферы между двумя точками

[george66]

Даны две точки $A,B$ на сфере. Найти все повороты сферы, переводящий первую точку во вторую. Кое-как решить я могу, но мне нужно красивое решение, идеально через кватернионы. Я так понимаю, если поворот сферы переводит $A$ в $B$, то центр поворота лежит на срединном перпендикуляре к $[AB]$. Итого, поворот определяется одним углом, задающим точку на срединном перпендикуляре.

[Pphantom]

Сфера при этом переходит сама в себя? Просто если да, то ответ тривиален, если нет - задача явно недоформулирована.

[george66]

В себя. А почему тривиален?

[Pphantom]

george66 в сообщении #1433097 писал(а):

А почему тривиален?

Один очевидный ответ (с точностью до $2\pi$), если точки не лежат на одном диаметре, и континуум ответов, если лежат. Формульное выражение зависит от того, как вы будете задавать точки, но в любом случае окажется достаточно простым.

[george66]

Может быть, имеет смысл описать всю задачу. Нужно не просто переводить одну точку в другую, а чтобы поворот непрерывно зависел от точки. Это, видимо, невозможно. Допустим, берём поворот на 180 градусов относительно середины $[AB]$. Тогда что делать, если $A,B$ диаметрально противоположны? Особенности возникают. Но есть надежда решить, если к точке $B$ добавить дополнительную информацию (что у меня в задаче само собой возникает, потому что точка $B$ задаётся как векторная часть кватерниона нормы единица, а это как раз точка на сфере плюс некоторый угол)

[Pphantom]

george66 в сообщении #1433102 писал(а):

Может быть, имеет смысл описать всю задачу.

Да, наверное.

george66 в сообщении #1433102 писал(а):

Нужно не просто переводить одну точку в другую, а чтобы поворот непрерывно зависел от точки. Это, видимо, невозможно.

Кхм... кажется, если задать каждый поворот касательным вектором (для простоты единичным), приложенным к положительному полюсу поворота и лежащим в плоскости, содержащей ось поворота и точку $B$ (если ее считать изменяющейся), то задача сведется к условию теоремы о причесывании ежа. С соответствующим результатом.

[george66]

Pphantom в сообщении #1433101 писал(а):

george66 в сообщении #1433097 писал(а):

А почему тривиален?

Один очевидный ответ (с точностью до $2\pi$), если точки не лежат на одном диаметре, и континуум ответов, если лежат. Формульное выражение зависит от того, как вы будете задавать точки, но в любом случае окажется достаточно простым.

А почему один очевидный ответ? Можно брать поворот на 180 градусов вокруг середины $[AB]$. Можно брать поворот вдоль большой окружности, соединяющей $A,B$ (если точки лежат на экваторе, повернём вокруг полюса). Вообще, если представить, что точки $A,B$ лежат на экваторе, надо взять меридиан, проходящий посередине меду ними. Тогда есть поворот вокруг любой точки этого меридиана, переводящий $A$ в $B$.

[Mikhail_K]

Pphantom в сообщении #1433101 писал(а):

Один очевидный ответ (с точностью до $2\pi$), если точки не лежат на одном диаметре, и континуум ответов, если лежат.

Континуум в обоих случаях (однопараметрическое семейство с угловым параметром из $[0,2\pi)$). Зафиксируем любой один поворот, переводящий $A$ в $B$, и представим произвольный такой поворот как комбинацию этого зафиксированного и последующего поворота, переводящего $B$ в $B$. Это можно сделать, потому что повороты образуют группу. Итак, поворотов, переводящих $A$ в $B$, столько же, сколько поворотов, переводящих $B$ в $B$. А их континуум - это в точности повороты вокруг диаметра, проходящего через $B$.

[george66]

Да, это понятно, но тут опять возникает разрыв (выбрать один поворот нельзя непрерывно по $B$, надо разбор случаев делать). А нельзя ли поворот находить непрерывно по "точке $B$ и дополнительному углу"? Если центр поворота скользит по большой окружности, равноудалённой от $A$ и $B$ ("срединному меридиану"), возникает один дополнительный параметр.

[Mikhail_K]

george66 в сообщении #1433109 писал(а):

Да, это понятно, но тут опять возникает разрыв (выбрать один поворот нельзя непрерывно по $B$, надо разбор случаев делать). А нельзя ли поворот находить непрерывно по "точке $B$ и дополнительному углу"?

Топологическая группа $SO(3)$ поворотов сферы гомеоморфна проективному пространству $\mathbb{R}P^3$. Насколько я знаю, оно не представляется в виде прямого произведения двух многообразий меньшей размерности, в частности сферы (которую пробегает точка $B$) и окружности (которую пробегает угол). То есть $\mathbb{R}P^3$ и $S^2\times S^1$ - два разных многообразия. Так что гомеоморфизма меду многообразием поворотов и многообразием пар "точка-угол" Вы не получите. Уточню ещё, что из соображений компактности, здесь гомеоморфизм и взаимно-однозначное непрерывное отображение - одно и то же.

[Pphantom]

george66 в сообщении #1433107 писал(а):

А почему один очевидный ответ? Можно брать поворот на 180 градусов вокруг середины $[AB]$.

Да, действительно. Тогда идея отменяется.

[george66]

Взаимной однозначности не нужно, нужна сюръекция (по точке сферы и углу непрерывно находим поворот). Я пытаюсь по кватернионам как-то сделать. Точку $A$ зафиксируем, пусть это будет кватернион $i$. Точка $B$ задаётся единичным кватернионом
$\cos(\varphi) + B \sin(\varphi)$
где $B$ чисто мнимый кватернион нормы единица. По кватерниону надо непрерывно находить поворот, переводящий $A$ в $B$ (при условии $\sin(\varphi)\neq 0$). Идеально сам поворот находить в виде кватерниона.

[pogulyat_vyshel]

george66 в сообщении #1433095 писал(а):

Даны две точки $A,B$ на сфере. Найти все повороты сферы, переводящий первую точку во вторую.

я бы генерировал повороты так. Проводим через эти две точки произвольную плоскость. И поворачиваем сферу двумя способами вокруг прямой проходящей через центр сферы перпендикулярно плоскости

[george66]

Не совсем понял. Проводим плоскость через $A,B$ и центр сферы. Один способ вижу, а где второй?
Мне кажется, тут надо как-то задействовать расслоение Хопфа. Там по точке $S^2\times S$ выдаётся точка $S^3$.

[Утундрий]

Можно воспользоваться тем, что любой поворот $\mathbb{R}^3$ однозначно задаётся отображением "площадки". Т.е. двумя линейно независимыми векторами и их образами.