Поворот сферы между двумя точками

[Munin]

george66 в сообщении #1433125 писал(а):

Не совсем понял. Проводим плоскость через $A,B$ и центр сферы.

Нет, как раз через $A,B,$ и дальше как угодно. Получается пучок плоскостей, их можно параметризовать как захочется, например, углом.

А кроме того, через центр сферы - ось, нормальную к этой плоскости. Соответственно, уже однозначно. И поворот сферы вокруг этой оси однозначен.

[george66]

Munin в сообщении #1433131 писал(а):

george66 в сообщении #1433125 писал(а):

Не совсем понял. Проводим плоскость через $A,B$ и центр сферы.

Нет, как раз через $A,B,$ и дальше как угодно. Получается пучок плоскостей, их можно параметризовать как захочется, например, углом.

А кроме того, через центр сферы - ось, нормальную к этой плоскости. Соответственно, уже однозначно. И поворот сферы вокруг этой оси однозначен.

Тогда будет особенность, если $A,B$ совпадают.
Что-то читаю про расслоение Хопфа и в уныние прихожу
https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_fibr ... _rotations
But note that this one-to-one mapping between $S^3$ and $S^2\times S^1$ is not continuous on this circle, reflecting the fact that $S^3$ is not topologically equivalent to $S^2\times S^1$.

[Munin]

george66 в сообщении #1433147 писал(а):

Тогда будет особенность, если $A,B$ совпадают.

Боюсь, она возникнет при любой параметризации. Ну а что вы хотели? Покрыть всю полусферу $\mathrm{SO}(3)$ единой системой координат без особенностей?

[george66]

Всё получается, если в $S^2$ выколоть одну точку (но это я и сам знаю, у меня в этой точке дёргается картинка). Для меня это всё очень наглядно, при некотором угле поворота картинка дёргается.

[pogulyat_vyshel]

Что-то я не понял, что написали наши соотечественники (судя по английскому) в англоязычной википедии. Мне всегда казалось очевидным, что $SO(3)$ это расслоение с базой $S^2$ и слоем $S^1$

[arseniiv]

george66
А что вы рисуете-то в этом случае? Вы писали, что вместе с $B$ получается ещё некоторый угол, какой именно? (В том смысле, что между чем и чем, и как его предполагалось изначально учесть.)

Была ли бы та же проблема в например евклидовом случае? (Найти движения, переводящие $A$ в $B$. Тут тоже аналогично получается, что повороты, но когда $A\ne B$, среди них затёсывается параллельный перенос, но это-то ничего.)

[EtCetera]

Я заранее прошу прощения за то, что вклиниваюсь в беседу, в которой ничего не понимаю. Прицеплюсь только вот к этим словам:

george66 в сообщении #1433156 писал(а):

у меня в этой точке дёргается картинка

По описанию это похоже на типичный gimbal lock.

[george66]

Рисую нечто в трёхмерной сфере, при непрерывном изменении параметров в какой-то момент картинка дёргается. И вот сообразил, что это расслоение Хопфа виновато.

[arseniiv]

А может и не оно. Представим сферический случай в вакууме — квадратный корень из комплексного числа, лежащего на единичной окружности. Мы хотим, чтобы он менялся непрерывно при непрерывном изменении числа, но у нас ничего не выйдет, пока мы не начнём учитывать при его нахождении его недавние значения (ну и в програме одно предыдущее). Может и у вас там подобно? (Посоветовал бы что-то умнее, если бы понял, что там.)

-- Пт янв 03, 2020 18:55:29 --

Упрощённо то же сферическое вакуумное решение таково: найти все результаты и отобрать только тот, который ближе к предыдущему. Это неоптимально, если там будет континуум решений (если я правильно понял), и в таком случае надо наверно задачу оптимизации решить сначала, а потом в коде учесть, что там она дала.

[Munin]

george66 в сообщении #1433214 писал(а):

Рисую нечто в трёхмерной сфере, при непрерывном изменении параметров в какой-то момент картинка дёргается. И вот сообразил, что это расслоение Хопфа виновато.

В общем, мне тоже кажется, что как говорит arseniiv, "виноват" тот факт, что $\mathrm{SO}(3)=\mathrm{SU}(2)/2.$ (А ваши кватернионы как раз задают $\mathbb{H}\to\mathrm{SU}(2).$)

Но боюсь, мы топчемся в неопределённости, потому что мы не знаем, что именно и как именно вы рисуете.

[george66]

Да вот я чего рисую

Рисуется пузырь с дыркой (он изображает плоскость в эллиптическом пространстве, а эллиптическое пространство - это трёхмерная сфера по модулю $\{+1,-1\}$
Пузырь задаётся кватернионом, выпучен он туда, куда направлена векторная часть кватерниона. Текстуру (узор) на пузыре я научился располагать правильно (при изменении параметров пузыря нигде не возникает рывков, непрерывность вопреки расслоению Хопфа)

[Munin]

Я имел в виду:
- с каких величин вы начинаете;
- как вы их переводите в 3-мерные отображаемые $(x,y,z),$ и по каким формулам.
Как я понимаю, отрисовка $(x,y,z)$ в двумерное экранное изображение уже стандартна.

[george66]

А вот я чего подумал. Если задавать точку на сфере широтой и долготой (двумя углами). Это избыточная информация (потому что на полюсе долгота может быть любой, а точка та же самая). Можно ли по широте и долготе непрерывно находить поворот, переводящий данную точку в северный полюс? Например, берём поворот на 180 градусов вокруг середины отрезка, соединяющего точку с северным полюсом. Раньше возникала особенность, если точка - южный полюс (все меридианы равноправны, для какого брать середину?) Но теперь для южного полюса указана долгота и мы знаем, какой меридиан выбрать.

[arseniiv]

george66 в сообщении #1434332 писал(а):

Например, берём поворот на 180 градусов вокруг середины отрезка, соединяющего точку с северным полюсом. Раньше возникала особенность, если точка - южный полюс (все меридианы равноправны, для какого брать середину?) Но теперь для южного полюса указана долгота и мы знаем, какой меридиан выбрать.

Вроде непрерывно! Но смотрите, можно же не считать долготу, можно просто выбрать в южном полюсе такой поворот, который ближе всего к повороту в предыдущий раз. Тут будет какая-то доля ошибки (как и с долготой), если мы знаем путь точки только дискретно, но в вашем случае вроде известен в точности закон движения, так что можно будет найти южный поворот и точно в зависимости от параметров этого движения.

А в подходе с долготой можно вместо неё брать касательный вектор. Но это всё равно как-то неудобно ради всего одной точки таскать.

[svv]

george66 в сообщении #1434332 писал(а):

Можно ли по широте и долготе непрерывно находить поворот, переводящий данную точку в северный полюс?

Поворотов, которые переводят заданную точку в северный полюс, много. Вас сейчас интересует кратчайший? Один из? Все?