Кардиналы

[ZVS]

По поводу периодически всплывающих задачах про черепах,Ахиллесов,шариках в ящиках и т.п.
Как известно в математике времени нет.То есть всё, что определено и формализовано как обьект анализа, рассматривается как уже имеющие все возможные свойства и во всех возможных состояниях, как бы уже имеющихся.Если множество, то все элементы уже существуют.Последовательность- уже сошлась,разошлась.Функция?Ну понятно, что всегда уже существует во всех точках множества определения и множества значения.Это врядли Вам кто обьяснит на пальцах,но вневременность,(одновременность) всего в мат.анализе, есть плата за желание расширить всё измеримое, до неограниченного-бесконечного.И использовать потом счетные множества,континиумы,потенциально ,актуальные бесконечности рассматривая во времени, естественно низзя!Только, если все УЖЕ существует,а то что происходит(изменяется), УЖЕ произошло. Но тогда надо понять тривиальную вещь,а именно, что пытаясь рассматривать ЛЮБОЙ процесс во времени,не исключая его продолжения в ту самую область, о которой говорилось выше,неопределенность результата Вам гарантирована!Ну нет последнего элемента у неограниченной последовательности.Элементарно.
Вроде умные люди,а ведут себя как изобретатели ВД,не подозревая о существовании закона сохранения энергии.
Кстати, в логике уже почти все, кто серьезно занимается предметом,определились по поводу известных парадоксов с брадобреями и т.п. Рассматривать условия задачи в изменении, как уже произошедшие, причем одновременно, в реальности нельзя.Причина – следствие.Раньше – позже.Только так. Вот только со всякими там континиумами и разного рода бесконечностями, придется при этом расстаться.Увы.

[AD]

ZVS ... Ну да, времени нет, но смоделировать его не составляет труда. Чтобы смоделировать "меняющийся во времени" объект, достаточно рассмотреть отображение из $\mathbb{R}$ в множество "проходимых" им "состояний".

[Someone]

Dan B-Yallay писал(а):

Если следовать алгоритму чертика, то на каждом шаге $N$ лента, содержащая только $N$ нулей и лента, содержащая только $N$ единиц строятся одновременно. Поэтому я и запутался, считая вполне резонным, что лента с одними бесконечными нулями как и лента с одними бесконечными единичками будут созданы одновременно.

Разница в том, что нолики пишутся на одной и той же ленте, а единички всегда на новой. Для получения бесконечного числа ноликов достаточно $\omega $ шагов. Чтобы записать на новой ленте $\omega $ единичек, нужен шаг $\omega +1$. Именно в этот момент у чертика появится $2^{\omega}$, то есть несчетное множество ленточек. Но это случится уже "после обеда".

Не появится. "В обед" у него будет счётное множество ленточек, на которых будут записаны всевозможные (бесконечные) последовательности нулей и единиц, содержащие лишь конечное число единиц. Если теперь продолжать процесс, то он получит счётное множество новых лент, на которые он скопирует свои старые ленты; после этого на старых он напишет по нолику, на новых ро единице, и это будет шаг $\omega+1$. И дальше можно продолжать это по всем счётным ординалам, и на каждом счётном шаге у него будет счётное множество лент, и на каждой написана трансфинитная последовательность нулей и единиц соответствующей длины, содержащая лишь конечное число единиц. Несчётное множество лент (мощности $\aleph_1$) появится только на шаге $\omega_1$.

Dan B-Yallay писал(а):

P.S.Так как $\omega $ - предельный ординал, то скорее всего такого "$\omega -1$" не существет.

Совершенно верно, ординал $\omega$ не имеет предшественника. Хотя, будучи аспирантом, я как-то купил в книжном киоске в МГУ книгу некоего Лобановского "Начала геометрической физики", автор которой нумеровал точки натуральными числами "от $1$ до $\infty$", а затем рассматривал точки с номерами $\infty-1$, $\infty-2$, ... Но $\infty$ - это, конечно, не $\omega$.

[SAN_666]

Dan B-Yallay писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Проведите два мысленных эксперимента.

Опыт 2. Есть счётное число ящиков $B_0, B_1, \ldots$, в каждом из которых перед началом эксперимента лежат все натуральные числа. На шаге $t$ из ящика $B_t$ извлекается число $t$. После завершения всех шагов в каждом из ящиков остаётся счётное количество чисел.

(*)Из ящика $B_t$ извлекаются ВСЕ первые $t$ шаров. Просмотрите процесс у чертика еще раз.

PS Кстати, это тоже интересный вопрос. Будет ли хоть один ящик пустым если вынимать по правилу (*)?

А вы попробуйте так. Сначала мама дает чертику 2 ленточки, и чертик ставит по одному символу на каждую (0 и 1). Затем мама дает ему 4 ленточки, и он ставит на них по 2 символа во всевозможных комбинациях. Далее 8 ленточек и как следствие по 3 символа во всевозможных комбинациях. И т.д. В результате вы получите бесконечные записи всевозможных нолей и единиц. Там и призидент будет

[Someone]

SAN_666 писал(а):

В результате вы получите бесконечные записи всевозможных нолей и единиц.

Ничего подобного. Получится счётное множество лент, на которых записаны всевозможные конечные последовательности нулей и единиц. Ни одной бесконечной не будет вообще.

[Dan B-Yallay]

Someone писал(а):

"В обед" у него будет счётное множество ленточек, на которых будут записаны всевозможные (бесконечные) последовательности нулей и единиц, содержащие лишь конечное число единиц.

С этим я полностью согласен:

Someone писал(а):

Если теперь продолжать процесс, то он получит счётное множество новых лент, на которые он скопирует свои старые ленты; после этого на старых он напишет по нолику, на новых ро единице, и это будет шаг $\omega+1$.

На каждом шаге чертик получает одну ленту, состоящую сплошь из единиц. Если допустить шаг $\omega+1$ то ему надо скопировать $\omega$ единиц откуда-то. Значит у него в распоряжении уже есть лента с $\omega$ единиц подряд?

[Someone]

Dan B-Yallay писал(а):

На каждом шаге чертик получает одну ленту, состоящую сплошь из единиц. Если допустить шаг $\omega+1$ то ему надо скопировать $\omega$ единиц откуда-то. Значит у него в распоряжении уже есть лента с $\omega$ единиц подряд?

Нет. На шагах с бесконечными номерами не будет ленты, содержащей только единицы. Мы же выяснили, что на каждой ленте может быть лишь конечное число единиц.

Это верно и для трансфинитной последовательности шагов.
Дело в том, что на каждой ленте всегда есть последняя единица, написанная на том шаге, на котором эта лента была скопирована с одной из предыдущих (а после этой единицы писались только нули независимо от того, сколько было после этого шагов).
Итак, берём любую ленту. На ней есть последняя единица, написанная, допустим, на шаге $\alpha_1$. Берём ту ленту, с которой была скопирована первая взятая на шаге $\alpha_1$. На ней есть последняя единица, написанная, допустим, на шаге $\alpha_2<\alpha_1$. И так далее. И получаем убывающую последовательность ординалов $\alpha_1>\alpha_2>\alpha_3>\ldots$. Поскольку всякая убывающая последовательность ординалов конечна, в этой последовательности есть наименьший ординал $\alpha_n$. Поэтому на первой взятой нами ленте имеется всего $n$ единиц.

[Sinus]

А обязательно ли в обед будут только те ленты, для которых можно точно указать момент их появления?

Если в задаче поменять местами нули и единицы - то есть на старые ленты записывать единицы, а на новые нули, то на каждом конечном шаге будут появлятся теже самые ленты, что и в задаче из первого поста этой темы, однако в обед, то есть на шаге ${\omega}$, получатся ленты, содержащии только конечное число нулей?

[Someone]

Sinus писал(а):

А обязательно ли в обед будут только те ленты, для которых можно точно указать момент их появления?

"В обед" будут только те ленты, которые появились "до обеда".

Sinus писал(а):

Если в задаче поменять местами нули и единицы - то есть на старые ленты записывать единицы, а на новые нули, то на каждом конечном шаге будут появлятся теже самые ленты, что и в задаче из первого поста этой темы, однако в обед, то есть на шаге $\omega$, получатся ленты, содержащии только конечное число нулей?

Разумеется. А какой смысл в том, чтобы поменять местами нули и единицы?

[ZVS]

Как всё запущено.(С)
Пусть счетная последовательность Xn сходится к X.Чему равен последний член последовательности?А предпоследний?
Вот что значит, заучить на первом курсе формальные определения и бездумно везде применять.Продолжайте,господа.
Эта музыка будет вечной.

[SAN_666]

Someone писал(а):

SAN_666 писал(а):

В результате вы получите бесконечные записи всевозможных нолей и единиц.

Ничего подобного. Получится счётное множество лент, на которых записаны всевозможные конечные последовательности нулей и единиц. Ни одной бесконечной не будет вообще.

Упростите ситуацию до одной ленты (история одной ленты). Мама дает одну ленту и чертик ставит либо ноль, либо еденицу. Затем мама дает ему новую ленту. - он ставит уже два символа (какие? - все равно). И т.д. В результате получается бесконечная запись.

Добавлено спустя 10 минут 21 секунду:

Someone, обраите внимание на то, что количество символов и номер ленточки совпадают на каждом шаге. не вижу причин, чтобы одно количество ушло в бесконечность, а другое осталось, когда они выражены одним числом.

[AD]

SAN_666 писал(а):

Упростите ситуацию до одной ленты (история одной ленты). Мама дает одну ленту и чертик ставит либо ноль, либо еденицу. Затем мама дает ему новую ленту. - он ставит уже два символа (какие? - все равно). И т.д. В результате получается бесконечная запись.

Укажите, на какой именно ленточке эта бесконечная запись будет записана.

SAN_666 писал(а):

количество символов и номер ленточки совпадают на каждом шаге. не вижу причин, чтобы одно количество ушло в бесконечность, а другое осталось, когда они выражены одним числом.

В первый год не нашей эры (н.н.э.) рождается человек, который живет 1 год. Во второй год н.н.э. - человек, который живет два года. И т. д. В каком году родится человек, который будет жить вечно?

И вообще, ни на какой ленточке количество символов не идет к бесконечности. Оно остаётся каким было.

[MaximKat]

SAN_666 писал(а):

обраите внимание на то, что количество символов и номер ленточки совпадают на каждом шаге. не вижу причин, чтобы одно количество ушло в бесконечность, а другое осталось, когда они выражены одним числом.

совпадают на каждом конечном шаге

[AD]

Число ленточек совпадает на каждом шаге с разным параметром системы. То есть на первом шаге оно совпадает с количеством символов на первой ленточке, а на втором уже не совпадает, а совпадает с количеством символов на второй ленточке, то есть с чем-то совсем другим.

[SAN_666]

AD писал(а):

SAN_666 писал(а):

Упростите ситуацию до одной ленты (история одной ленты). Мама дает одну ленту и чертик ставит либо ноль, либо еденицу. Затем мама дает ему новую ленту. - он ставит уже два символа (какие? - все равно). И т.д. В результате получается бесконечная запись.

Укажите, на какой именно ленточке эта бесконечная запись будет записана.

На той, которая получается в пределе.

Добавлено спустя 9 минут 11 секунд:

Можно еще упростить. Мама дает чертику одну ленту и после записи отбирает. Потом снова дает сделать запись.... В результате - ленточка исписана полностью.