Вычисление символов Кристоффеля

[toshqaaa]

Здравствуйте. В универе на зачет предложили следующую задачу: вычислить $\Gamma _{ij}^{k}$ в точке $(0,...,0)$, если $g_{ij}=x^{i}+x^{j}+\delta_{ij}$.
Все, что я знаю по этой задачке, что нужно вычислить символ Кристоффеля, и знаю формулу, но даже не уверен, что она здесь нужна: $\Gamma_{ij}^{k}=\frac{1}{2}g^{kp}(\frac{\partial g_{ip}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial g_{jp}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x_{p}})$
Помогите разобраться с тем, как это считать. Сомневаюсь, что надо просто в лоб взять частные производные

[Утундрий]

Не сомневаетесь.

[Eule_A]

toshqaaa в сообщении #1423104 писал(а):

если $g_{ij}=x^{i}+x^{j}+\delta_{ij}$.

Что-то тут не так с индексами...

Upd. Своё замечание снимаю. Я ошибся.

[Утундрий]

$x^\mu$ не вектор, так что всё правильно.

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423108 писал(а):

Не сомневаетесь.

Глупый вопрос: а что вообще значат индексы сверху/снизу?
Будет ли верным следующее:
$g_{ip}=x^{i}+x^{p}+\delta{ip}$?
или с индексами этими дело обстоит не так?
Ибо если мы их просто можем заменить на те индексы, что в формуле, то получается, что каждая частная производная равна нулю. Да, знаний в римановой геометрии у меня нет, а литература, которая была найдена, не особо помогла, а вогнала лишь в большую грусть

[Утундрий]

Рассмотрим размерность $n=2$. Координаты $x^\mu \equiv \left( {x^1 ,x^2 } \right)$ - это просто точки арифметического пространства $\mathbb{R}^2 $. Дадим им имена без индексов $x^1 = \xi , \enspace x^2 = \eta $. Метрический тензор - это тупо три следующие функции от двух переменных:

$$g_{11} = 1 + 2\xi , \enspace g_{12} = \xi + \eta , \enspace g_{11} = 1 + 2\eta $$

Частные производные считаются так:

$$g_{11,1} = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {1 + 2\xi } \right) = 2, \enspace g_{12,2} = \frac{\partial }{{\partial \eta }}\left( {\xi + \eta } \right) = 1, \enspace ...$$

Дальше нужно собрать из них величины $\Gamma _{\alpha \mu \nu } $ и сообразить, в чём заключается замечательность точки $(0,0)$ и как это поможет при вычислении величин $\Gamma _{\mu \nu }^\alpha $.

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423144 писал(а):

Рассмотрим размерность $n=2$. Координаты $x^\mu \equiv \left( {x^1 ,x^2 } \right)$ - это просто точки арифметического пространства $\mathbb{R}^2 $. Дадим им имена без индексов $x^1 = \xi , \enspace x^2 = \eta $. Метрический тензор - это тупо три следующие функции от двух переменных:

$$g_{11} = 1 + 2\xi , \enspace g_{12} = \xi + \eta , \enspace g_{11} = 1 + 2\eta $$

Частные производные считаются так:

$$g_{11,1} = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {1 + 2\xi } \right) = 2, \enspace g_{12,2} = \frac{\partial }{{\partial \eta }}\left( {\xi + \eta } \right) = 1, \enspace ...$$

Дальше нужно собрать из них величины $\Gamma _{\alpha \mu \nu } $ и сообразить, в чём заключается замечательность точки $(0,0)$ и как это поможет при вычислении величин $\Gamma _{\mu \nu }^\alpha $.

А вот в формуле, которая была мной приведена выше: какую роль там играет индекс $p$? Это просто "номер" какого-то элемента? Просто некоторый номер отличный от $i$,$j$ и $n$-го? Или я совсем неверно всё понимаю?
Вы написали, что метрический тензор - "тупо три следующие функции...". Это по определению?

[Утундрий]

toshqaaa в сообщении #1423612 писал(а):

метрический тензор - "тупо три следующие функции...". Это по определению?

Это применительно к данной ситуации. Так-то их $n(n+1)/2$.

toshqaaa в сообщении #1423612 писал(а):

какую роль там играет индекс $p$? Это просто "номер" какого-то элемента? Просто некоторый номер отличный от $i$,$j$ и $n$-го?

По дважды повторяющимся индексам (один раз сверху и один раз снизу) подразумевается суммирование: $a^i b_i = a^1 b_1 + a^2 b_2 + ... + a^n b_n $.

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423629 писал(а):

toshqaaa в сообщении #1423612 писал(а):

метрический тензор - "тупо три следующие функции...". Это по определению?

Это применительно к данной ситуации. Так-то их $n(n+1)/2$.

toshqaaa в сообщении #1423612 писал(а):

какую роль там играет индекс $p$? Это просто "номер" какого-то элемента? Просто некоторый номер отличный от $i$,$j$ и $n$-го?

По дважды повторяющимся индексам (один раз сверху и один раз снизу) подразумевается суммирование: $a^i b_i = a^1 b_1 + a^2 b_2 + ... + a^n b_n $.

Так, я понял почему Вы написали $g_{11}, g_{12}, ...$ такими!
Одним неизвестным меньше. Что еще мне удалось узнать: вот в формуле вычисления символов Кристоффеля, которую я указывал в первом сообщении: $g^{kp}$ - это по сути матрица, обратная к $g_{ij}$, так ведь?
Но даже если это так, я смутно представляю, как все нужные величины находить в данной задаче

[Утундрий]

toshqaaa в сообщении #1423639 писал(а):

$g^{kp}$ - это по сути матрица, обратная к $g_{ij}$, так ведь?

Ну да.

toshqaaa в сообщении #1423639 писал(а):

Но даже если это так, я смутно представляю, как все нужные величины находить в данной задаче

В таком случае, возможно, имеет смысл отложить на время эту задачу и порешать более простые?

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423653 писал(а):

toshqaaa в сообщении #1423639 писал(а):

$g^{kp}$ - это по сути матрица, обратная к $g_{ij}$, так ведь?

Ну да.

toshqaaa в сообщении #1423639 писал(а):

Но даже если это так, я смутно представляю, как все нужные величины находить в данной задаче

В таком случае, возможно, имеет смысл отложить на время эту задачу и порешать более простые?

Я бы рад другие порешать, но зачёт в среду, да и выпала именно эта задача.
Я тут кое-что понял!
Если расписывать формулу получается:

$$ \Gamma_{\operatorname{rk}}^{\operatorname{m}}=\frac{1}{2}((g^{\operatorname{1m}}\frac{\partial g_{\operatorname{r1}}}{\partial x^{\operatorname{k}}}+g^{\operatorname{2m}}\frac{\partial g_{\operatorname{r2}}}{\partial x^{\operatorname{k}}}+...+g^{\operatorname{nm}}\frac{\partial g_{\operatorname{rn}}}{\partial x^{\operatorname{k}}})+(g^{\operatorname{1m}}\frac{\partial g_{\operatorname{k1}}}{\partial x^{\operatorname{r}}}+g^{\operatorname{2m}}\frac{\partial g_{\operatorname{k2}}}{\partial x^{\operatorname{r}}}+...+g^{\operatorname{nm}}\frac{\partial g_{\operatorname{kn}}}{\partial x^{\operatorname{r}}})-g^{\operatorname{sm}}\frac{\partial g_{\operatorname{rk}}}{\partial x^{\operatorname{s}}}) $$

Более того, отмечу:

$$g_{ij}=\begin{pmatrix} 2x^{1}+1& x^{1}+x^{2}& ...& x^{1}+x^{n}\\ x^{1}+x^{2}& 2x^{2}+1& ...\\ ...\\ x^{1}+x^{n}& x^{n}+x^{2}& ...& 2x^{n}+1 \end{pmatrix}$$

И получается, что если мы считаем коэффициенты Кристоффеля в точке $(0,...,0)$, то:

$$\Gamma_{\operatorname{rk}}^{\operatorname{m}}=\frac{1}{2}((E\frac{\partial g_{\operatorname{r1}}}{\partial x^{\operatorname{k}}}+E\frac{\partial g_{\operatorname{r2}}}{\partial x^{\operatorname{k}}}+...+E\frac{\partial g_{\operatorname{rn}}}{\partial x^{\operatorname{k}}})+(E\frac{\partial g_{\operatorname{k1}}}{\partial x^{\operatorname{r}}}+E\frac{\partial g_{\operatorname{k2}}}{\partial x^{\operatorname{r}}}+...+E\frac{\partial g_{\operatorname{kn}}}{\partial x^{\operatorname{r}}})-E\frac{\partial g_{\operatorname{rk}}}{\partial x^{\operatorname{s}}})$$

Все частные производные, подсчитанные в точке $(0,...,0)$, будут равны $1$, тогда мы, если не ошибаюсь, получим:

$$\Gamma_{\operatorname{rk}}^{\operatorname{m}}=\frac{1}{2}(nE+nE-nE)=\frac{nE}{2}$$

Правильно ли я сделал?
P.S. $E$ - единичная матрица
P.P.S. С последним слагаемым в последней формуле не уверен (хотя я вообще сомневаюсь в верности того, что написал)

[Утундрий]

Выпишите каждую компоненту отдельно, видней будут ошибки .

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423661 писал(а):

Выпишите каждую компоненту отдельно, видней будут ошибки .

Вы имеете в виду отдельно расписать, например $g^{\operatorname{sm}}g_{\operatorname{rs,k}}$ и прочие?

[Утундрий]

$$\begin{gathered} \Gamma _{11}^1 = ... \hfill \\ \Gamma _{12}^1 = ... \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} $$

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423665 писал(а):

$$\begin{gathered} \Gamma _{11}^1 = ... \hfill \\ \Gamma _{12}^1 = ... \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} $$

Хорошо
Вроде расписываются так:

$$\Gamma_{\operatorname{11}}^{\operatorname{1}}=\frac{1}{2}g^{\operatorname{1p}}(\frac{\partial g_{\operatorname{1p}}}{\partial x^{\operatorname{1}}}+\frac{\partial g_{\operatorname{1p}}}{\partial x^{\operatorname{1}}}-\frac{\partial g_{\operatorname{11}}}{\partial x^{\operatorname{p}}})$$

Аналогично:

$$\Gamma_{\operatorname{12}}^{\operatorname{1}}=\frac{1}{2}g^{\operatorname{1p}}(\frac{\partial g_{\operatorname{1p}}}{\partial x^{\operatorname{2}}}+\frac{\partial g_{\operatorname{2p}}}{\partial x^{\operatorname{1}}}-\frac{\partial g_{\operatorname{12}}}{\partial x^{\operatorname{p}}})$$

Только все равно не пойму, как из этого сделать какие-то выводы