Вычисление символов Кристоффеля

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423843 писал(а):

toshqaaa в сообщении #1423839 писал(а):

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{\operatorname{ij}}\Gamma_{ijk}?$$

Слева $_{ij}^k $, справа $_k^{} $ - нехорошо.

Простите, но не совсем понимаю. Глупый вопрос: а что тогда должно быть слева, и как это связать с тем, что было выше? (Видимо уже перестаю здраво соображать)

[toshqaaa]

Утундрий
Или же там должен быть какой-то другой индекс, например $l$? И тогда все нормально, и от этого картина не поменяется, и все получится?
Получается, что метрический тензор $g_{ij}$ будет, в точке $(0,...,0)$, просто единичная матрица. Соответственно обратная к единичной - единичная. То есть

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=E \Gamma_{ijl}$$

А там получается, что коэффициенты Кристоффеля $1$-го рода будут либо равны $1$, в случае $i=j=l$, либо $0$, в другом случае

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1423843 писал(а):

toshqaaa в сообщении #1423839 писал(а):

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{\operatorname{ij}}\Gamma_{ijk}?$$

Слева $_{ij}^k $, справа $_k^{} $ - нехорошо.

Я понял, что Вы имели в виду. Я не соблюдаю баланс индексов.
Вообще, как я понимаю, задача решается вот как:
Чтобы посчитать символы Кристоффеля 2-го рода, нужно вычислить символы Кристоффеля 1-го рода. Применяя ту формулу, которую Вы писали:

$$\Gamma_{lij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial g_{li}}{\partial x^{j}}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}+\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^{i}})$$

Получаем:

$$\Gamma_{lij}=\begin{cases} 1,&\text{если $i=j=l$;}\\ 0,&\text{если $l \ne j, i \ne j$;} \end{cases}$$

Тогда, правильно ли, что

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{lk}\Gamma_{lij}$$

Я просто путаюсь в индексах, поэтому думаю, что ошибся сейчас

[Утундрий]

$$\[ \begin{gathered} \Gamma _{kij} = \frac{1} {2}\left( {g_{ki,j} - g_{ij,k} + g_{jk,i} } \right) = \frac{1} {2}\left[ {\left( {x^k + x^i } \right)_{,j} - \left( {x^i + x^j } \right)_{,k} + \left( {x^j + x^k } \right)_{,i} } \right] = \hfill \\ = \frac{1} {2}\left[ {\left( {\delta _{kj} + \delta _{ij} } \right) - \left( {\delta _{ik} + \delta _{jk} } \right) + \left( {\delta _{ji} + \delta _{ki} } \right)} \right] = \delta _{ij} \hfill \\ \end{gathered} \] $$

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1424021 писал(а):

$$\[ \begin{gathered} \Gamma _{kij} = \frac{1} {2}\left( {g_{ki,j} - g_{ij,k} + g_{jk,i} } \right) = \frac{1} {2}\left[ {\left( {x^k + x^i } \right)_{,j} - \left( {x^i + x^j } \right)_{,k} + \left( {x^j + x^k } \right)_{,i} } \right] = \hfill \\ = \frac{1} {2}\left[ {\left( {\delta _{kj} + \delta _{ij} } \right) - \left( {\delta _{ik} + \delta _{jk} } \right) + \left( {\delta _{ji} + \delta _{ki} } \right)} \right] = \delta _{ij} \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Да, это до меня дошло. А то, что я написал последней строчкой - это верно?

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{\operatorname{lk}}\delta_{\operatorname{ij}}$$

Где уже $g^{lk}$ это обратная к $g_{lk}$, то есть обратная к: $g_{lk}=x^{l}+x^{k}+\delta_{lk}$
Учитывая, что мы вычисляем все в точке $(0,...,0)$, то обратная матрица будет просто единичной

[Утундрий]

toshqaaa в сообщении #1424022 писал(а):

Учитывая, что мы вычисляем все в точке $(0,...,0)$, то обратная матрица будет просто единичной

Да. Осталось сформулировать, что отсюда следует.

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1424023 писал(а):

toshqaaa в сообщении #1424022 писал(а):

Учитывая, что мы вычисляем все в точке $(0,...,0)$, то обратная матрица будет просто единичной

Да. Осталось сформулировать, что отсюда следует.

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=E \delta_{ij}=\begin{cases} E,&\text{если $i=j$;}\\ 0,&\text{если $i \ne j$;} \end{cases}$$

[Утундрий]

$E$ вычеркните.

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1424026 писал(а):

$E$ вычеркните.

А почему мы так смело можем вычеркнуть её, оставив чисто символ Кронекера? Потому что символ Кристоффеля - это число, а не матрица?

[toshqaaa]

Утундрий в сообщении #1424023 писал(а):

toshqaaa в сообщении #1424022 писал(а):

Учитывая, что мы вычисляем все в точке $(0,...,0)$, то обратная матрица будет просто единичной

Да. Осталось сформулировать, что отсюда следует.

Хотел уточнить, такая форма записи будет корректной?

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{lk}\Gamma_{kij}$$

В том плане, что слева индексы и снизу и сверху у $\Gamma$, а справа - только снизу.
И как объяснить, что за $g^{lk}$ такое?
Я понимаю, что по сути:

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}g_{ks}=\Gamma_{ij,s}$$

Тогда, что поднять индекс, мы умножаем $\Gamma_{ij,s}$ на $g^{sk}$ и получаем нашу $\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}$
Или это можно как-то переписать только в индексах $i,j,k$, используя условие задачи? (путаюсь с индексами до жути)

[Утундрий]

toshqaaa в сообщении #1424199 писал(а):

Хотел уточнить, такая форма записи будет корректной?

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{lk}\Gamma_{kij}$$

В том плане, что слева индексы и снизу и сверху у $\Gamma$, а справа - только снизу.

Да. Считайте их просто разными наборами чисел.

toshqaaa в сообщении #1424199 писал(а):

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}g_{ks}=\Gamma_{ij,s}$$

Запятая там не нужна.

toshqaaa в сообщении #1424199 писал(а):

это можно как-то переписать только в индексах $i,j,k$, используя условие задачи?

уже сделано

[toshqaaa]

Утундрий
Большое Вам спасибо! Разобрался!

[Geen]

toshqaaa в сообщении #1424199 писал(а):

Хотел уточнить, такая форма записи будет корректной?

$$\Gamma_{\operatorname{ij}}^{\operatorname{k}}=g^{lk}\Gamma_{kij}$$

Нет. Слева не может фигурировать немой индекс (по которому суммирование справа).
(и индексы это не "operatorname")

[Утундрий]

Согласен, Передаю эстафету, ибо задолбался утомлён.

[out]

Правильно ли я понял, что такая запись

$$\Gamma _{kl}^i = \frac{1}{2}{g^{im}}\left( {\frac{\partial {g_{mk}}}{\partial {x^l}} + \frac{\partial {g_{ml}}}{\partial {x^k}} - \frac{\partial {g_{kl}}}{\partial {x^m}}} \right)$$

при составлении системы уравнений в ОТО означает

$$\Gamma _{kl}^i = \frac{1}{2}\left( {g^{i0}}\left( {\frac{\partial {g_{0k}}}{\partial {x^l}} + \frac{\partial {g_{0l}}}{\partial {x^k}} - \frac{\partial {g_{kl}}}{\partial {x^0}}} \right) + {g^{i1}}\left( {\frac{\partial {g_{1k}}}{\partial {x^l}} + \frac{\partial {g_{1l}}}{\partial {x^k}} - \frac{\partial {g_{kl}}}{\partial {x^1}}} \right) + {g^{i2}}\left( {\frac{\partial {g_{2k}}}{\partial {x^l}} + \frac{\partial {g_{2l}}}{\partial {x^k}} - \frac{\partial {g_{kl}}}{\partial {x^2}}} \right) + {g^{i3}}\left( {\frac{\partial {g_{3k}}}{\partial {x^l}} + \frac{\partial {g_{3l}}}{\partial {x^k}} - \frac{\partial {g_{kl}}}{\partial {x^3}}} \right) \right)$$

и при этом нет дополнительного суммирования в выражениях в скобках по индексам $l$ и $k$?