Производная по вектору

[Ruben]

Доброе время суток, уважаемые участники.

У меня есть вопрос, в котором я в какой-то степени разобрался, но явно недостаточно. Хотелось бы понять тему немножко глубже. Итак, у нас есть скалярная функция точки $f(\mathbf{r})$, где $\mathbf{r}$ - радиус-вектор точки. Дифференциал функции $f$ представим как скалярное произведение:

$$\mathrm{d}f(\mathbf{r}) = \nabla{f}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

Теперь, могу ли я написать так?

$$\cfrac{\mathrm{d}f(\mathbf{r})}{\mathrm{d}\mathbf{r}} = \nabla{f}$$

На сколько корректно я сделал? Если нет, хотелось бы узнать сейчас, потому что дальше я буду подобным образом брать векторную производную от сложной скалярной функции векторного аргумента $f(\mathbf{R} (\mathbf{r}))$, где $\mathbf{R} = \mathsf{A}\cdot \mathbf{r}$, и $\mathsf{A}$ - матрица.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[iifat]

Странный вопрос. Нет, приёмы работы с числами не переносятся на операции с векторами, несмотря на схожесть обозначений.

[Ruben]

iifat в сообщении #1400957 писал(а):

Странный вопрос. Нет, приёмы работы с числами не переносятся на операции с векторами, несмотря на схожесть обозначений.

Я так тоже думаю. Но против этого есть два возражения.
1. косвенное: конечная формула верна (есть вариант написания этой производной через символ $\partial$)
2. в некоторых книжках (в частности, Хорн Зрение роботов) с векторами обращаются более свободно

(Оффтоп)

[Munin]

Здесь нет деления на $d\mathbf{v}.$ Здесь используется обозначение $\dfrac{d}{d\mathbf{v}}$ (неправильное, общепринято $\dfrac{\partial}{\partial\mathbf{v}}$) для так называемой производной по направлению

https://en.wikipedia.org/wiki/Directional_derivative

Вам же нужно не это, а примерно

https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule#Higher_dimensions

-- 23.06.2019 14:09:28 --

В вашем случае

Ruben в сообщении #1400935 писал(а):

векторную производную от сложной скалярной функции векторного аргумента $f(\mathbf{R} (\mathbf{r}))$, где $\mathbf{R} = \mathsf{A}\cdot \mathbf{r}$, и $\mathsf{A}$ - матрица.

получается, если я не ошибаюсь,

$$\nabla f(\mathbf{R}(\mathbf{r}))=(\nabla f)\cdot\mathsf{A},$$

где $(\nabla f)$ понимается как вектор-строка (если у вас другое соглашение, то транспонируйте: $(\nabla f)^\mathrm{T}$).

[Ruben]

Munin в сообщении #1400978 писал(а):

В вашем случае

Ruben в сообщении #1400935 писал(а):

векторную производную от сложной скалярной функции векторного аргумента $f(\mathbf{R} (\mathbf{r}))$, где $\mathbf{R} = \mathsf{A}\cdot \mathbf{r}$, и $\mathsf{A}$ - матрица.

получается, если я не ошибаюсь,

$$\nabla f(\mathbf{R}(\mathbf{r}))=(\nabla f)\cdot\mathsf{A},$$

где $(\nabla f)$ понимается как вектор-строка

Да, так. И тогда $\mathsf{A}$ - матрица Якоби. Но вот и выходит, что я могу обращаться с производной по векторному аргументу таким же свободным образом, как и с производной по аргументу скалярному. Вы же видите, что этот правильный результат получился с использованием чисто символических правил дифференцирования.

Цитата:

(если у вас другое соглашение, то транспонируйте: $(\nabla f)^\mathrm{T}$).

Спасибо. Про это чуть позже тоже спрошу (про соглашения).

[Munin]

Ruben в сообщении #1401009 писал(а):

Но вот и выходит, что я могу обращаться с производной по векторному аргументу таким же свободным образом, как и с производной по аргументу скалярному.

Нет, не таким же свободным. Надо аккуратно использовать

Цитата:

$$\dfrac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}=\dfrac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)}\dfrac{\partial(u_1, \ldots, u_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}$$

где дроби понимаются как матрицы Якоби.

[Ruben]

Munin в сообщении #1401019 писал(а):

Цитата:

$$\dfrac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}=\dfrac{\partial(y_1, \ldots, y_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)}\dfrac{\partial(u_1, \ldots, u_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}$$

где дроби понимаются как матрицы Якоби.

О, спасибо! Полезная вещь. Значит, градиент - тоже матрица (строка) Якоби.

[Munin]

Дык я же на неё сразу ссылку дал: https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule#Higher_dimensions .

Да, градиент - матрица - вектор-строка. Что видно и в тензорных обозначениях: $\dfrac{\partial}{\partial x^i}$ добавляет один индекс снизу.

[Ruben]

Munin в сообщении #1401042 писал(а):

Дык я же на неё сразу ссылку дал: https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule#Higher_dimensions .

Блин..извините. Когда увидел того крокодила, то решил, что это не про меня) А вы когда процитировали, то вроде и не крокодил уже )) надо внимательнее.

Спасибо вам. Теперь хочу подойти ближе к вопросу о строках и столбцах. Скажем, нам надо найти градиент такой функции:

$$f(\mathbf{r}) = \left\lVert \mathsf{A}\cdot \mathbf{r} \right\rVert ^2$$

Пользуясь правилом цепочки, я получаю:

$$\cfrac{ \partial f (\mathbf{r})}{\partial \mathbf{r}} = 2\left (\mathsf{A}\cdot \mathbf{r} \right ) \mathsf{A} $$

И это НЕ правильный ответ - это видно хотя бы по размерности. Правильный ответ будет таким:

$$\cfrac{ \partial f (\mathbf{r})}{\partial \mathbf{r}} = 2\left (\mathsf{A}\cdot \mathbf{r} \right )^\mathrm{T} \mathsf{A} $$

Вот у меня такой вопрос. Есть ли формальный способ получать правильные ответы, в частности, правильно расставлять знаки транспонирования без использования координатной записи ?

[Someone]

Ruben в сообщении #1401056 писал(а):

Пользуясь правилом цепочки, я получаю:

$$\cfrac{ \partial f (\mathbf{r})}{\partial \mathbf{r}} = 2\left (\mathsf{A}\cdot \mathbf{r} \right ) \mathsf{A} $$

Каким образом, интересно? Если что, $\lVert\mathsf A\cdot\mathbf r\rVert^2\neq(\mathsf A\cdot\mathbf r)^2$.

[Mikhail_K]

Ruben
Используйте такое определение градиента: $f(r+h)-f(r)=f^\prime(r)h+o(\|h\|)$.
(Здесь я вместо $\frac{\partial f(r)}{\partial r}$ пишу более привычное для меня обозначение $f^\prime(r)$; векторы $r$ и $h$ одной размерности.)
Точнее это определение надо понимать так: если мы при любом $h$ и конкретном $r$ представили левую часть $f(r+h)-f(r)$ в виде $ah+o(\|h\|)$, где $a$ - некоторая вектор-строка, то она и есть $f^\prime(r)$.
(Эта конструкция носит название производной Фреше и распространяется не только на скалярные функции нескольких переменных, но и на нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах, только там $a$ будет уже не вектор-строкой, а линейным оператором в тех же пространствах.)

Распишите квадрат нормы как скалярное произведение, выпишите $f(r+h)-f(r)$, приведите его к нужному виду и получите свою $f^\prime(r)$ без использования координатной записи.
Искать "формальный способ получать правильные ответы" я бы не советовал.

[Ruben]

Someone в сообщении #1401057 писал(а):

Если что, $\lVert\mathsf A\cdot\mathbf r\rVert^2\neq(\mathsf A\cdot\mathbf r)^2$.

Да, спасибо. Сперва хотел как скалярное произведение записать, потом как модуль в квадрате. В итоге две записи смешались. Сейчас исправлю. Кажется пора делать перерыв)

ЗЫ..Хотя, сейчас подумал, что я всё правильно сделал. Не вижу, что нужно править.

[Утундрий]

Так сходу и не упомню, где еще видал эту "производную по вектору", кроме как у Ландау&Лифшица.