ТФКП, решение теоретических задач

[demolishka]

Понятна идея или нет, но все вычисления

Monmorancy в сообщении #1400256 писал(а):

$u(x)=\varphi(x)\cos\psy(y)$ и $v(x)=\varphi(x)\sin(\psy(y))$
И условия Коши-Римана имеют вид
$\varphi(x)'=\cos(\psy(y))$ и $\varphi(x)'=\sin(\psy(y))$

неверны.

[Monmorancy]

Поправил, просто не отобразилась функция $\psi(y)$

[amon]

Monmorancy в сообщении #1400203 писал(а):

Помогите решить следующую задачу: функция голоморфна в некоторой области, к тому же, ее модуль константа, необходимо доказать, что она Константа

Как-то затейливо все с моей рабоче-крестьянской точки зрения. Как выглядят комплексные числа, модуль которых равен константе?

[Monmorancy]

На одной окружности лежат?

[amon]

Monmorancy в сообщении #1400263 писал(а):

На одной окружности лежат?

Напишите выражение для всех комплексных чисел, модуль которых равен $a.$

[Monmorancy]

$z=x+iy$
$x^2+y^2=a^2$

[amon]

А одной формулой

[Monmorancy]

Не совсем понимаю, что Вы хотите
Есть ещё такая задачка доказать, что функция $ze^{iz}$ однолистности в круге радиуса 1 и не однолистности в круге радиуса бесконечность
Тут нужно в лоб искать какие-то склеивающиеся точки и пользоваться определением однолистности?

[amon]

Monmorancy в сообщении #1400521 писал(а):

Не совсем понимаю, что Вы хотите

Элементарную вещь. Все комплексные числа, имеющие одинаковый модуль $a$ имеют вид $z=ae^{i\varphi},$ где $\varphi$ вещественно.

[pogulyat_vyshel]

Легко сообразить, что квадрат модуля $k$-того коэффициента ряда Тейлора функции $f$ в точке $z_0$ с точностью, возможно до ненулевого множителя равен

$$\frac{\partial^k}{\partial z^k}\frac{\partial^k}{\partial \overline z^k}\Big(f(z)\overline{ f(z)}}\Big)\Big|_{z=z_0}$$

[Padawan]

Если все значения функции лежат на некоторой кривой, то якобиан отображения, задаваемого этой функцией, тождественно равен нулю. Это значит, что градиенты действительной и мнимой части линейно зависимы в любой точке области. Но условия Коши-Римана говорят о том, что эти градиенты ортогональны и равны по абсолютной величине. Следовательно, эти градиенты тождественно равны нулю. Следовательно, функция -- константа.

[pogulyat_vyshel]

а еще есть принцип максимума модуля

[Padawan]

demolishka в сообщении #1400214 писал(а):

не константная голоморфная функция - открытое отображение.

в этом вся суть, так или иначе